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出典(authority):フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』「2016/11/06 13:34:07」(JST)

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この項目では、物理学上の半減期について説明しています。薬学上の半減期については「半減期 (薬学)」をご覧ください。

放射性元素が減少していく様子のシミュレーション結果。上の数値は半減期の何倍の時間が経過したかを示す。左図では最初に1ブロックあたり4個、右図では1ブロックあたり400個の原子が含まれる

半減期（はんげんき、half-life）とは、ある放射性同位体が、放射性崩壊によってその内の半分が別の核種に変化するまでにかかる時間を言う^[1]。

1 概要
- 1.1 半減期の利用
2 半減期 (half-life) の計算法
- 2.1 放射性同位体の原子数の時間的変化
- 2.2 半減期 (half-life)
- 2.3 放射能 (activity)
3 生物学的半減期と実効半減期
- 3.1 体内濃度の時間変化の数理
4 崩壊系列 (decay series) と放射平衡 (radioactive equilibrium)
- 4.1 逐次崩壊の数理
  - 4.1.1 崩壊が分岐する場合について
5 いろいろな物質の半減期の一覧
6 脚注
7 参考文献
8 関連項目
9 外部リンク

概要

放射能を持つ元素（放射性同位体^[2]）の原子核は時間経過に伴い確率的に放射性崩壊をして他の元素に変化していくが、はじめの原子数が N 個であるとき、その半分 N/2 個が放射性崩壊するまでの時間をその放射性同位体の半減期 (half-life) と呼ぶ^[3]。または、ある放射性同位体の放射能 (activity) を A [Bq] とするとき、それが時間経過によって半分 A/2 [Bq] になるまでの時間を言う（同値性については後述）^[4]。

半減期は放射性同位体（核種）の安定度を示す値でもあり、半減期が長ければ安定であり、逆に半減期が短ければ短いほど不安定な核種ということになる^[5]。

放射性同位体の放射性崩壊は自然に発生するもので、放射性同位体ごとに定まる確率（崩壊定数）のみによって左右されるものである^[6]。すなわち、崩壊までの期間はその物質の置かれている古典物理学的・化学的環境（熱・電磁場・化学反応など）には一切依存しない^[7]。もともと原子力は放射性物質の半減期を短くすれば、放射性物質の崩壊エネルギーをより短期間に取り出せるだろうということで半減期を短くする研究が行われたが古典物理学的な手法によるものはことごとく失敗した^[8]^[9]。

人工的に原子核の崩壊を起こすには加速器などを用いなくてはならない^[10]。また、人工的に原子核の崩壊を起こして、半減期よりも早く放射性核子を減らす手法としては核変換技術と呼ばれる技術が研究されている。

「加速器」および「核変換」も参照

なお、一つの放射性核種を対象として、その放射性核種がいつ崩壊するかを決定論的に予想することも出来ない^[11]^[12]。

半減期の利用

詳細は「放射性炭素年代測定」を参照

半減期 (half-life) の計算法

ある特定の放射性同位体の個数、放射能の時間変化は以下のように計算される^[13]。

放射性同位体の原子数の時間的変化

放射性同位体の時間経過にともなう原子数の変化は微分方程式として記述することができる。放射性同位体の種類によって固有の崩壊定数を持つが、いま原子数の時間的変化をもとめたい放射性同位体の崩壊定数を λ とする。なお、t=0 のときのその放射性同位体の原子数を N₀ とする。

時刻 t における原子数を N(t) とする。崩壊定数の定義から、N(t) 個の原子が存在すれば Δt 秒間経過によって原子数は λN(t)Δt 個減少する。すなわち、

ΔN = N(t + Δ) - N(t) = -λN(t)Δt

ΔN/Δt = -λN(t)

が成り立つ。Δt → 0 の極限を取れば微分方程式

であり、この解は t=0 のとき N(0) = N₀ であることから、

N(t) = N₀ e^-λt

となる。これが、崩壊定数 λ をもつ放射性同位体の時間経過にともなう原子数の変化を表す式である。

半減期 (half-life)

はじめに1ベクレルあった放射性物質がどれだけの速さで減衰するのか表したグラフ。放射能(単位はベクレルなど)も指数関数的に減衰する。崩壊定数は半減期に反比例するため、崩壊定数が大きい(=半減期が短い)ほど早く減衰していることがわかるだろう。グラフで上の線ほど崩壊定数が小さいため減衰していないが一番下では凄まじい速さで減衰しているのがわかる。ここでy軸が放射能(単位:ベクレル)、x軸は時間の単位を秒ととった場合半減期は有効数字3桁で上から17.3秒、3.47秒、0.693秒、0.139秒、0.0277秒である。

崩壊定数 λ から半減期を求める計算式を導出する。

いま、崩壊定数 λ を持つ放射性同位体の半減期を t_1/2 とする。t=0 のときその放射性同位体は前節同様 N(0) = N₀ 個あるとし、半減期 t_1/2 の定義から、

N(t_1/2) = N₀/2

が成り立つ。

N(t_1/2) = N₀ e^-λt_1/2

から、

N₀ e^-λt_1/2 = N₀/2

e^-λt_1/2 = 1/2

両辺自然対数 log_e を取り

-λt_1/2 = log_e(1/2) = - log_e(2)

t_1/2 = log_e(2)/λ

log_e(2) ≒ 0.693 であることから半減期は崩壊定数から

t_1/2 ≒ 0.693/λ

によって算出することができる^[14]。

放射崩壊において半減期と崩壊定数は核種に固有な値をとるので、半減期または崩壊定数の測定・推定値から核種を推定できる。また、物質の流出入が閉じた系（化石、火成岩など）では放射能の減衰度合いと半減期から逆算して年代測定に用いられる。

放射能 (activity)

ある放射性同位体が単位時間あたりに崩壊する個数 [個/秒]をその放射性同位体の放射能 (activity) と呼ぶ。放射能の単位はベクレル（記号:Bq）である。いま放射能を A(t) [Bq] とすれば、A(t) は以下のように定義される。

A(t) = |dN/dt|

前節のように原子数の時間変化の式を考慮すれば、

A(t) = |dN/dt| = λ N(t) = λN₀ e^-λt

と具体的に表すことができることがわかる。式からわかるように、放射能は放射性同位体の原子数に比例する。このことから、半減期を放射能が半減するまでにかかる時間と定義しても同値であることがわかる。

崩壊定数が不明な放射性同位体が存在すれば、単純に放射能（ベクレル数）の減衰を測定し、その結果から半分になる時間を計算すれば半減期（さらには崩壊定数）を求めることができる。なお、半減期を基に 1/2 だけではなく 1/4、1/8 になる時間も算出できる^[15]。

生物学的半減期と実効半減期

元素にもよるが、放射性物質を体内に取り込んだ場合、時間が経つにつれ放射性物質は代謝によって体外に排出されてゆく。そこで、体内にある放射性物質の量が代謝により半分にまで減少するときの時間を生物学的半減期 (biological half-life) と言う。

生物学的半減期は物理学的半減期とはメカニズムとして全く別のものであるため、代謝によって放射性同位体が排出されるとともに放射性同位体の放射性崩壊を起こすによっても体内の放射性物質の量は減少してゆく。この生物学的代謝と放射性崩壊による減少を合算して、実際に体内の放射性物質の量が半分になるまでの時間を実効半減期 (effective half-life) と呼ぶ。実効半減期 T_e は、その逆数が生物学的半減期 T_b の逆数と物理的半減期 T_p の逆数との和となることから求める^[16]。つまり、実効半減期 T_e、物理学的半減期 T_p及び生物学的半減期 T_b は、

1/T_e = 1/T_p + 1/T_b

を満たす^[17]。

体内濃度の時間変化の数理

崩壊定数 λ の放射性物質が、単位時間あたりにQずつ増える系を考えれば、微分方程式

${\frac {dN(t)}{dt}}=Q-\lambda {N(t)}$

で与えられる^[18]。この解は、

$N(t)={\frac {Q}{\lambda }}(1-e^{-\lambda {t}})$

である^[19]。この式は単位時間あたりにQベクレル摂取し（単位時間あたりの一定量増加）、壊変による減衰を無視し、生物学的半減期による減衰（崩壊定数は生物学的半減期のものを用いる）を考えれば一定量の放射性物質を毎日摂取し続けた場合の体内濃度が計算できることは明らかであろう^[20]。

崩壊系列 (decay series) と放射平衡 (radioactive equilibrium)

ウラン235とその娘核種であるアクチニウム崩壊系列の図。ここで安定同位体である鉛207になるまでさまざまな核種を経由して崩壊していく

放射性核種の原子は放射性崩壊によって別の原子へと変化するが、その変化した原子の核種が放射線を出さない安定した原子の核種であるとは限らない^[21]。放射性崩壊によって生成された原子の核種も放射性核種であるとき、崩壊する元の核種を親核種 (parent nuclide) と呼び、崩壊によって生成された核種を娘核種 (daughter nuclide) と呼ぶ。

逐次崩壊の数理

過渡平衡（上）と永続平衡（下）

1.過渡平衡の親核種 2.過渡平衡の娘核種 3.永続平衡の親核種 4.永続平衡の娘核種

娘核種も放射能を持つとき、放射性物質の放射能の減衰は単純な時間的な指数関数的減少とは異なり、親核種と娘核種に関する連立微分方程式を立てなくてはならない。一般に、娘核種の半減期が親核種の半減期よりも長い場合、時間とともに親核種が崩壊してゆくため、娘核種のみが残ることになる。また逆に、娘核種の半減期が親核種よりも短い場合、放射性平衡 (radioactive equilibrium) と呼ばれる平衡状態が成立する^[22]。放射性平衡が成り立つときは単純な結果を得ることができる。

たとえば放射性物質Aが崩壊してB、Bも放射性物質であり、これが崩壊してCになりこれは安定核であったとすれば、それらの任意の時刻tにおける量は連立微分方程式

${\frac {dN_{A}}{dt}}=-\lambda _{A}{N_{A}}$

${\frac {dN_{B}}{dt}}=\lambda _{A}{N_{A}}-\lambda _{B}{N_{B}}$

${\frac {dN_{C}}{dt}}=\lambda _{B}{N_{B}}-\lambda _{C}{N_{C}}$

によって表される^[23]。これを逐次崩壊という^[24]。容易に拡張されるように、プルトニウムなどの3つ以上の崩壊系列をなす核種ではn番目の放射能の量は

${\frac {dN_{n}}{dt}}=\lambda _{n-1}{N_{n-1}}-\lambda _{n}{N_{n}}$

で与えられることが推測できるが、ここではおもに三段階の崩壊の場合についてのみ述べる。ここでAのみがあった状態で初期条件 t = 0 を与えれば明らかに、Aの量がそのまま初期値であり、2番目以降はゼロであることは明らかである。Aの初期値をN₀とおけばそれぞれの任意の時刻の放射能は

$N_{A}(t)=N_{0}e^{-\lambda _{A}t}$

$N_{B}=N_{0}\lambda _{A}(e^{-\lambda _{A}t}-e^{-\lambda _{B}t})/(\lambda _{B}-\lambda _{A})$

$N_{C}={\frac {N_{0}\lambda _{A}}{\lambda _{C}}}\left({\frac {\lambda _{B}}{{\lambda _{B}}-\lambda _{A}}}{\frac {\lambda _{C}}{\lambda _{C}-\lambda _{A}}}e^{-\lambda _{A}t}+{\frac {\lambda _{B}}{\lambda _{A}-\lambda _{B}}}{\frac {\lambda _{C}}{\lambda _{C}-\lambda _{B}}}e^{-\lambda _{B}t}+{\frac {\lambda _{B}}{\lambda _{A}-\lambda _{C}}}{\frac {\lambda _{C}}{\lambda _{B}-\lambda _{C}}}e^{-\lambda _{C}t}\right)$

で与えられる。ここで、Aは単調減少であり、B、C等は最初は増加するものの平衡に達すると減少へと転ずる。AよりBの崩壊定数が大きい、すなわち λ_A < λ_B

十分大きな時間 t が経過すれば

$\exp({-\lambda _{A}t})>>\exp({-\lambda _{B}t})$

すなわちBのほうが早く減少するゆえ、Aの量のほうがBのそれよりも多くなるため、Bの任意の時刻の放射能の公式でBの量をゼロとおいて

$N_{B}={\frac {N_{0}\lambda _{A}}{\lambda _{B}-\lambda _{A}}}e^{-\lambda _{A}t}$

のように近似できるわけであるが、これこそが過度平衡である。さらに、Aの半減期が圧倒的に長く、λ_A ≪ λ_B といった状態では適当な時間が経過するならば

$\lambda _{A}N_{A}=\lambda _{B}N_{B}=\lambda _{C}N_{C}=...$

と崩壊率が等しくなる。存在比は上記式より

$N_{A}:N_{B}:N_{C}:...=1/\lambda _{A}:\lambda _{B}:\lambda _{C}:...=T_{A}:T_{B}:T_{C}...$

がただちに得られる。これを永年平衡^[25]または永続平衡という。

崩壊が分岐する場合について

ある放射性物質が一定の確率で、n個の別の核種（より正確には別の崩壊モードで崩壊することである）にそれぞれ崩壊する場合、全崩壊定数 λ（分岐を問わずに崩壊する確率）はi番目に崩壊する崩壊定数を λ_i とすれば、

$\lambda =\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}=\lambda _{1}+\lambda _{2}+...+\lambda _{n}$

という関係が成り立つ^[26]。崩壊定数は半減期の逆数であるため

${\frac {\ln(2)}{T_{1/2}}}=\lambda$

という関係が成立する。つまり、同じ核種が異なる半減期 t_i や崩壊モードで複数の娘核種・状態に壊変する現象では上記式に代入することによって

${\frac {1}{T}}=\ln(2)\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{t_{i}}}=\ln(2)\left({\frac {1}{t_{1}}}+{\frac {1}{t_{2}}}+...+{\frac {1}{t_{n}}}\right)$

のような関係が得られる。ここで1/Tは全半減期である。これが崩壊定数の総和と同値であることは明らかであろう。また平均寿命については崩壊定数と逆数であるため、（どのような崩壊かを問わずに）崩壊する場合の平均寿命についてはその各々の平均寿命の逆数の総和が、前者について成立するということである。つまり

${\frac {1}{\tau }}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{\tau _{i}}}={\frac {1}{\tau _{1}}}+{\frac {1}{\tau _{2}}}+...+{\frac {1}{\tau _{n}}}$

であり、

$\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{\tau _{i}}}=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}$

という関係が成立するという意味である。

これを仮に全崩壊定数と名付け、ここで全崩壊定数を λ とおいたとき、各々の事象 λ₁、λ₂、… に崩壊する確率はそれぞれ λ₁/λ、λ₂/λ … によって与えられ、これを分岐比と呼ぶ^[27]。

いろいろな物質の半減期の一覧

ここでは主要な放射性同位体の物理的半減期、生物学的半減期の一覧などを載せておく。各数値の出典は[1]に従ったが、半減期の有効数字は簡単のため1 - 2ケタとした。また、崩壊定数の時間の単位はすべて半減期に準ずる。崩壊定数は物理的半減期のものである。また体内から9割排出される期間とは、生物学的半減期から計算し、初期値から一切放射性物質を摂取せず、かつ壊変により減少することを無視したものである。詳細は参考文献や外部リンクにあるデータベースなども参照のこと。

核種名	核種名（元素記号）	物理的半減期	崩壊定数	物理的に 10分の1になる期間	生物学的半減期	体内から9割が排出される期間（崩壊は考慮しない）	有効半減期
トリチウム	³H, T	12.3年	0.056	41年	12日	40日	12日
塩素38	³⁸Cl	37分	0.01873	2時間3.6分	N/A	N/A	N/A
コバルト58	⁵⁸Co	70.86日	0.00978	235.26日	N/A	N/A	N/A
コバルト60	⁶⁰Co	5.275年	0.1314	17.51年	10日	33.2日	9.9日
ヒ素74	⁷⁴As	17.77日	0.039	59日	N/A	N/A	N/A
ストロンチウム90	⁹⁰Sr	29年	0.0239	96年	49年	163年	18年
イットリウム91	⁹¹Y	58.5日	0.0118	194.22日	N/A	N/A	N/A
モリブデン99	⁹⁹Mo	66時間	0.0105	219.12時間	N/A	N/A	N/A
テクネチウム99m	^99mTc	6時間	0.1155	19.92時間	N/A	N/A	N/A
テルル132	¹³²Te	77時間	0.009	255.64時間	N/A	N/A	N/A
ヨウ素131	¹³¹I	8日	0.0866	26.5日	138日	458日	7.6日
ヨウ素132	¹³²I	2時間17分	0.005	7時間38.16分	N/A	N/A	N/A
ヨウ素133	¹³³I	20.8時間	0.0333	69.056時間	N/A	N/A	N/A
ヨウ素134	¹³⁴I	53分	0.013075	2時間2.84分	N/A	N/A	N/A
セシウム134	¹³⁴Cs	2年	0.346	6.63年	70日	232日	64日
セシウム136	¹³⁶Cs	13日	0.0533	43.16日	N/A	N/A	N/A
セシウム137	¹³⁷Cs	30年	0.0231	100年	70日	232日	70日
セリウム144	¹⁴⁴Ce	285日	0.00243	946.2日	N/A	N/A	N/A
バリウム140	¹⁴⁰Ba	12.75日	0.0543	42.33日	65日	215.8日	11日
ランタン140	¹⁴⁰La	40.3時間	0.0172	133.8時間	N/A	N/A	N/A
ラドン222	²²²Rn	92時間	0.00753	305.44時間	N/A	N/A	N/A
ラジウム226	²²⁶Ra	1600年	0.000433	5312年	44年	146.08年	43年
ウラン235	²³⁵U	7億年	0.00000000099	23億年	15日	50日	15日
ウラン238	²³⁸U	45億年	0.000000000154	150億年	15日	50日	15日
プルトニウム238	²³⁸Pu	87.8年	0.00789	291.5年	N/A	N/A	N/A
プルトニウム239	²³⁹Pu	24000年	0.0000289	80000年	200年	663年	198年
プルトニウム240	²⁴⁰Pu	6561年	0.000105	21783年	N/A	N/A	N/A
プルトニウム241	²⁴¹Pu	14.3年	0.0485	47.5年	N/A	N/A	N/A

脚注

^ 素粒子物理学においては、半分ではなく自然対数の底の逆数、すなわち約0.368...にまで減少する時間を平均寿命というが、数学的性質には半分になるか自然対数の底の逆数になるかの時間という意味で半減期と殆ど違いがない。
^ 原子番号が同じで質量数の異なる元素を同位体（isotope、アイソトープ）という。さらに、放射線を放出して原子核が放射性崩壊する性質（放射能）をもつ同位元素は放射性同位体（radioisotope、ラジオアイソトープ）と呼ばれる。
^ 例えば、アボガドロ定数個のある放射性同位体で構成されるサンプルをつくると、崩壊する確率に応じて一定の速度で内部の原子核が崩壊をしていくことになる。この速度を言い換えた値が半減期であり、はじめに存在した状態の半分が崩壊するまでにかかる時間のことである。
^ なお、崩壊する量は放射性物質の量に比例する。たとえば10万ベクレルの放射性物質があったとして、半減期が経過すれば5万ベクレルであるが、100ベクレルの前者と同様の放射性物質があり、半減期が経過しても50ベクレルしか減らないというわけである。さらに言えば、半減期や半減期の10倍の時間が経過すれば、放射性物質が完全にゼロになると勘違いしている者もいるが、半減期とは一定の期間ごとに半分になっていくのであって、完全にゼロになるということは実質上ありえない。なぜならばアボガドロ定数で考えれば放射性物質は、たとえば1ベクレルといったようにベクレルで表示すればとても少なく見えたとしてもかなりの量になるからである。それに原子数がゼロに近づけば、大数の法則が成立せず確率ゆらぎも大きくなるため半減期による計算の精度も落ちる（上の図のシミュレーションも参考）。ただ、指数表示で何桁ベクレルが1ベクレル、0.1ベクレル…実質上検出下限値ベクレルに減少する時間であれば、後述の手法で計算が可能である。放射性物質がほとんどなくなると言った場合、ベクレルが検出下限値に近くゼロに近づくと解釈すべきであろう。また明らかにこの手法をベクレルではなく原子数に当てはめれば、このような殆どゼロになるということは極めて長い時間が掛かってしまうため実質上ありえないとただちに理解される。
^ 中性子、中間子などの素粒子も不安定であり、放射性核種と同じように一定の半減期で他の素粒子に変わっていく。
^ 放射性崩壊は指数過程によって記述されるため無記憶過程であり、崩壊していく速度は物質の出入りがゼロであれば一定である。
^ これは理論的には、原子核の結合エネルギーが数千万eVと原子の結合エネルギーに比してきわめて大きいため、原子核外部の物理現象では内部変化が起こらないためであると理解される。

ランダウ、アヒエゼール、リフシッツ（共著）『物理学ー力学から物性論までー』小野周・豊田博慈(訳)、岩波書店、1969年、108頁。ISBN 4-00-005911-4。
^ 例えばラザフォードによってラジウムに対して、
- 2500度、1000気圧の環境に置く
に始まり、
- 絶対零度近くの極低温、超高温の環境に置く
- 2000気圧に達する圧力をかける
- 8万3000ガウスの磁場をかける
- 地球引力の1000倍の遠心力をかける
などの古典物理学的実験を行ったが、ラジウムの半減期は一切変化しなかった。

K・ホフマン『オットー・ハーン―科学者の義務と責任とは―』山崎正勝・小長谷大介・栗原岳史（訳）、シュプリンガー・ジャパン、2006年、32-33頁。ISBN 4-431-71217-8。
^ ただし、これは崩壊の速度を変化させることが原理的に絶対不可能という意味ではない。これらの作用が原子核の放射性崩壊に影響を及ぼしていないという結論が重要である。

E.シュポルスキー『原子物理学III』玉木英彦他（訳）、東京図書株式会社〈物理学選書〉、180,181頁。ISBN 978-4-489-01103-0。
^ 熊谷寛夫 (1959), 加速器,融合反応, http://ci.nii.ac.jp/naid/110002070470
^ この一つ一つの崩壊する時間間隔の確率は指数分布に従い、単位時間あたりの崩壊はポアソン分布になる。これはガイガーカウンターなどを用いて放射線を計測すると、単位時間あたり計測値がポアソン分布になり、放射線を計測すると音が鳴る機種であれば、その音の間隔が指数分布となる所以である。
^ また指数分布の無記憶性により、ガイガーカウンターである期間放射線を計測しなくても、それから時間tが経過するまでに計数する期待値は変わらない（当然、平均値が等しいという大前提の上でだが）。このように確率現象である放射性物質の崩壊であっても、十分大きな量の放射性同位体や素粒子などが崩壊する際に、いわゆる大数の法則として定式化されたものが半減期である。つまり極微量であれば誤差が大きくなるが（それだけ計測に必要な時間も長くなるが）、放射性物質が大量にあるのであれば計測時間が短く精度も高くなるという理由でもある。
^ ただし、以下は一次反応のみであり、娘核種も放射能を持ち時間変化により親・娘量核種の総放射能を求めるといった場合を考慮していない。その場合は連立微分方程式を立てて解かねばならない。なお、これらの半減期の長さによって任意の時間が経過したときの放射能の強さは放射平衡によって論じられる。
^ 半減期 t_1/2 は t_1/2 = log_e(2)/λ で計算することができるが、同様に n 分の 1 になる期間 t_1/n は

t_1/n = log_e(n)/λ

で計算することができる。放射能の数値の桁が一桁小さくなる期間を算出するにあたって

t_1/10 = log_e(10)/λ

は重要である。例えばプルトニウム239の場合24000×3.3≒80000と約8万年でようやく一桁減少するということである。二桁減少するまでの期間は8万年の二倍の16万年、三桁であれば24万年と暗算で何桁減るのに何年かかるということが簡単に求めることができる。
なお、t_1/10 半減期から算出できる。半減期 t_1/2 は log_e(2) であることから log_e(10) = a×log_e(2) となる係数 a は

a = log_e(10)/log_e(2) ≒ 2.3/0.693 ≒ 3.3

と半減期を約3.3倍すれば10分の1になる時間 t_1/10 の近似値が得られることがわかる。

^

半減期と残留放射能計算早見表

半減期 t_1/2 をもつ放射性同位体は半減期が経過するごとにその放射能は半分となる。例えば、半減期の3倍の時間が経過すれば放射能は 2³分の1（8分の1）となる。

次の表は半減期の1 - 5倍（整数値）が経過した時点での残留放射能を求めるための簡易表である。

例えば初期値が1万ベクレル (10,000[Bq]) で、半減期の5倍経過したときの放射能は

3.125/100 × 10000 = 312.5

と計算できる。すなわち、5×t_1/2[s] だけ経過すれば 10,000[Bq] は 312.5[Bq] まで減少することがわかる。

経過した時間（半減期の倍数）	残っている割合	百分率での表示
0	1/1	100%
1	1/2	50%
2	1/4	25%
3	1/8	12.5%
4	1/16	6.25%
5	1/32	3.125%
...	...	...
n	2^-n	100/(2ⁿ)%

^ 福田覚『放射線技師のための物理学三訂版』東洋書店、1991年、170頁。ISBN 4-88595-309-X
^ ここで生物学的半減期が物理的半減期に比べて十分長い場合（ヨウ素131の場合物理的半減期8日に対して生物学的半減期が138日であるため、このケースになる）、体内で壊変によって壊れるほうが多いのでほとんど排出されずに体内で崩壊し、被曝の影響が大きくなる。一方で、逆に生物学的半減期に対して物理的半減期が長い場合（これは生物学的半減期が70日程度のセシウムのケースである）、体内で壊変するよりも体外に排出される割合のほうが多くなるわけである。あくまでこれは1度限り摂取した場合であって、継続的に摂取した場合は簡単に計算すれば、1日あたりの摂取量が同じと計算すれば摂取量と排出量が平衡に達する程度までは濃縮する危険性があるわけである。
この度合いは生物学的半減期が長いほど影響が大きい。このことから生物学的半減期が長い核種は短い核種よりも1日あたりの排出量が少ないため、ほとんど体外に排出されずに体内にたまっていき、したがって前者とくらべ多く濃縮されるため、なるべく摂取を避ける事が望ましい。また排出を促す薬などを用いた場合、数学的には生物学的半減期を短くする効果があると解釈すれば、濃縮する割合も減らせるとも理解できる。
^ 永江知文・永宮正治『原子核物理学』裳華房、2000年、43から44頁の例題4.1を参考。ISBN 4-7853-2094-X。
^ （導出）両辺に e^λt を掛ければ

$e^{\lambda {t}}{\frac {dN(t)}{dt}}+\lambda {N(t)e^{\lambda {t}}}=Qe^{\lambda {t}}$

であるが、合成微分律により

${\frac {d}{dt}}(N(t)e^{\lambda {t}})=Qe^{\lambda {t}}$

となる。これを積分すれば

$N(t)e^{\lambda {t}}={\frac {Q}{\lambda }}e^{\lambda {t}}+C$

となる。N について解いて

$N(t)={\frac {Q}{\lambda }}e^{(\lambda {t}-\lambda {t})}+Ce^{-\lambda {t}}={\frac {Q}{\lambda }}+Ce^{-\lambda {t}}$

ここで初期条件 t = 0 を考えれば、明らかに N = 0 であるから、初期値問題について解けば積分定数 C は

$N(0)=0={\frac {Q}{\lambda }}+Ce^{-\lambda \times {0}}$

$\therefore {C=-{\frac {Q}{\lambda }}}$

と定まる。つまり

$N(t)={\frac {Q}{\lambda }}(1-e^{-\lambda {t}})$

である。
^

具体例

例えばセシウムの生物学的半減期を70日とすれば崩壊定数を日の単位で求めれば

$\lambda ={\frac {\ln(2)}{70}}\approx {0.01}$

であり、1日あたり100ベクレル摂取したとすれば

${\frac {100}{0.01}}(1-e^{-0.01{t}})\approx 10000(1-e^{-0.01{t}})$

でt日目の体内濃度が得られる。ここで 0 < λ < 1 であるから、

$\lim _{t\rightarrow {\infty }}{\frac {Q}{\lambda }}(1-e^{-\lambda {t}})={\frac {Q}{\lambda }}$

である。これは体内濃度に上限がある事を示しており、セシウムの場合で計算すれば

${\frac {Q}{0.01}}=100Q$

であり、1日あたり摂取量 Q の100倍に濃縮する。例えば100ベクレル摂取し続ければ10000ベクレル、500ベクレルで50000ベクレル体内に濃縮するわけである。
^ ウラニウム、プルトニウム、トリウムなどの核種は、一旦崩壊すれば安定同位体とはならず、崩壊してできた娘核種もまた放射性同位体となるが、このように娘核種も放射性同位体となる事を崩壊系列を成すという。ウラニウムなどについては大きく分けて4種類の系列に分けられる。詳細は崩壊系列も参照。
^ 草間(1995)
^ 真田順平『原子核・放射線の基礎』共立出版〈共立全書163〉、1966年、29 - 30頁。ISBN 4-320-00163-X
^ Graham Woam著、堤正義訳『ケンブリッジ物理公式ハンドブック』、共立出版、2007年、101頁。ISBN 978-4-320-03452-5
^ 真田順平『原子核・放射線の基礎』共立出版〈共立全書163〉、1966年、30頁。ISBN 4-320-00163-X
^ 岩波理化学辞典第五版、1998年、ISBN 4-00-080090-6、項目「崩壊定数」より。
^ 物理学事典. 講談社. (2009). p. 86. ISBN 978-4-06-257642-0.

参考文献

長倉三郎ほか編集『理化学辞典』岩波書店、1998年2月。ISBN 4-00-080090-6。
日本アイソトープ協会『アイソトープ手帳』丸善、2011年。ISBN 978-4-890-73211-1。
真貝寿明『徹底攻略常微分方程式』共立出版、2010年、46頁。ISBN 978-4-320-01934-8。
草間朋子、甲斐倫明、伴信彦『放射線健康科学』杏林書院、1995年。

外部リンク

The Lund/LBNL Nuclear Data Search - 半減期などの放射性物質の詳細なデータが調べられるサイト。英文
Wolfram|Alpha - 核種名を英語（または元素記号）で入力すると半減期など簡単な性質を出力してくれる。

UpToDate Contents

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1. 薬理ゲノム学の概要 overview of pharmacogenomics
2. 栄養の吸収および吸収不良の機序 mechanisms of nutrient absorption and malabsorption
3. アミノグリコシド aminoglycosides
4. ヌクレオシド系逆転写酵素阻害剤の薬理学 pharmacology of nucleoside reverse transcriptase inhibitors
5. 成人におけるバンコマイシン投与および血清濃度のモニタリング vancomycin dosing and serum concentration monitoring in adults

Japanese Journal

操作された「記憶の半減期」 : フクシマ報道の4年間を考察する

七沢潔
サステイナビリティ研究 5, 71-89, 2015-03
NAID 40020416049

半減期み短いヨウ素が危険

食品と暮らしの安全 = Safety of our foods and life (310), 9, 2015-02
NAID 40020334565

コマーシャル鶏における移行抗体半減期

永井寿宗
鶏卵肉情報 45(1), 86-88, 2015-01-10
NAID 40020318322

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★リンクテーブル★

国試過去問	「105E025」
リンク元	「血糖降下薬」「ヨウ素」「ストロンチウム」「トリウム」「セシウム」
拡張検索	「短半減期蛋白」「血中半減期」「生物学的半減期」

「105E025」

　　[★]

MRSA敗血症に対してバンコマイシンで治療を開始した。治療5日目に解熱したが腎機能障害が出現した。
バンコマイシンの血中薬物モニタリングで予想されるのはどれか。

a　濃度時間曲線下面積減少
b　蛋白結合率低下
c　トラフ値上昇
d　ピーク値低下
e　半減期短縮

[正答]

※国試ナビ4※　［105E024］←［国試_105］→［105E026］

「血糖降下薬」

　　[★]

英: hypoglycemics
同: hypoglycemic agent、antidiabetic agent、antidiabetic drug、antidiabetics、glucose-lowering agent、hypoglycemic、hypoglycemic drug、hypoglycemics
関: [[]]

→経口血糖降下薬

投稿記事

k氏より

歴史

インスリンの抽出は大変意図的に行われたのに対し、スルフォニルウレア薬(SU)は偶然に見つかりました。で、1950年代にはじめに二型糖尿病の患者に使われるようになりました。いまでは20種類くらいのSUが広く世界で使われています。 1997にはメグリチニドが臨床適用されました。食後高血糖の治療薬としてはじめて使用された薬です。メタフォルミンというビグアナイド薬(BG)は、ヨーロッパで広く使われていましたが、1995年にアメリカでも認可されました。チアゾリジン1997年に市場導入され、二番目にメジャーなインスリン刺激薬として使用されています。この種類の薬には、広汎な肝障害を起こしにくく、世界中で使われています。

スルフォニルウレア薬 SU薬

作用機序

膵臓のβ細胞の刺激によって、インスリンを放出させ、血糖値を下げます。治療が長引くと、インスリン分泌というSUのβ細胞刺激性の効果が薄れてきますが、β細胞上のSU受容体のダウンレギュレーションによるものです。また、SUはソマトスタチンの放出を刺激します。ソマトスタチンはグルカゴン分泌を抑制しているので、これも関係 SUの糖を下げる効果と関係しています。 SUはATP感受性Kチャンネルを抑制します。Kレベルが下がると、まく表面における、脱分極を促し、電位依存性カルシウムチャンネルを通じたカルシウムイオンの流入を促進します。 SUには無視できない膵臓外作用があるという議論があります。確かにありうべきことですが、2型糖尿病の患者の治療においては、それほど重要なことではないようです。

ADME

SU薬はそれぞれが似たような作用スペクトラムを持っているので、薬物動態的な特性がここの薬を区別する手がかりです。腸管からのSU薬の吸収の割合は薬によって違いますが、食物や、高血糖は、この吸収を抑制します。高血糖はそれ自身、腸管の運動を抑制するので、ほかの薬の吸収も阻害します。血漿濃度が効果的な値にまで達する時間を考えると、半減期の短いSUは、食前三十分に投与するのが適切です。SU薬は90から99パーセントくらい血中たんぱく質と結合し、特にアルブミンと結合します。第一世代のSUは半減期や分布において、大きく違っています。この半減期や作用時間の不一致の理由はいまだはっきりしていません。 SUはすべて肝臓で代謝を受け、尿中に排泄されます。なので、肝不全、腎不全患者には要注意で処方します。

adverse effect

めったにありませんが、第一世代服用患者では、4パーセントの割合でおきます。第二世代ではもっと少ないでしょう。低血糖による昏睡がしばしば問題になります。腎不全や肝不全がある高齢者の患者でおきやすいです。重症の低血糖は脳血管障害も起こしうる。急性の神経障害が見つかった高齢患者では血中グルコースレベルを測るのが大事です。半減期の長いSUもあるので、24から48時間のグルコースを輸液します。第一世代は多くの薬物と相互作用を持っています。ほかに、吐き気嘔吐、胆汁うっ滞性黄疸、脱顆粒球症、再生不良性・溶血性貧血、全身性のアレルギー症状があります。 SUが心血管障害による死亡率を上げるのかについては議論の余地あり。

治療的使用

SUは、食事療法だけでは十分なコントロールを得られない2型糖尿病患者の血糖コントロールに用いられます。禁忌はtype 1 DM(diabetes mellitus:糖尿病)、妊婦、授乳中の患者、腎障害や肝障害の患者です。普通の患者なら五割から八割くらい、経口の糖尿病治療薬が効きます。インスリン療法が必要になる患者もいます。トルブタマイドの一日量は500ミリグラムで、3000ミリグラムが最大の許容量です。SUの治療成績の評価は患者の様子を頻繁に観察しながら、行います。 SUとインスリンの併用療法はtype 1, type 2 両方の糖尿病で用いられていますが、βセルの残存能力がないとうまくいきません。

メトフォルミンは腎不全の患者には投与しないこと。肝障害や、乳酸アシドーシスの既往、薬物治療中の心不全、低酸素性の慢性肺疾患なども合併症として挙げられる。乳酸アシドーシスはしかしながら、めちゃくちゃまれである。1000人年(たとえば100人いたら、10年のうちにという意味の単位。または1000人いたら1年につき、ということ。)につき0.1という割合。メトフォルミンの急性のAEは患者の20パーセントに見られ、下痢、腹部不快感、吐き気、金属の味、食欲不振などです。メタフォルミンを飲んでいる間はビタミン B12や葉酸のきゅうしゅうが　落ちています。カルシウムをサプリで取ると、ビタミン B12の吸収が改善されます。血中乳酸濃度が3ミリMに達するとか、腎不全・肝不全の兆候が見られたら、メタフォルミンは中止しましょう。

αGI(グルコシダーゼ・インヒビター)

αGIは小腸の刷子縁におけるαグルコシダーゼの働きを阻害することによって、でんぷん・デキストリン・ダイサッカリダーゼの吸収を抑制します。インスリンを増やす作用はないので、低血糖もおきません。吸収がよくない薬なので、食事の開始と一緒に飲むとよいです。アカルボースとミグリトールは食後高血糖の抑制に使われます。 αGIは用量依存性に、消化不良・ガス膨満・下痢などをきたします。αGIとインスリンを併用中に低血糖症状が出たら、、グルコースを補充します。

GLP1(グルカゴン様ペプチド)

経口から、グルコースが静脈を通ると、インスリンが上がることがわかっていました。消化管の上部からはGIP、消化管下部からはGLP1というホルモンが出ていて、糖依存性のインスリン放出を促していることがわかりました。これらのホルモンはインクレチンといわれています。この二つのホルモンは別の働き方でインスリンの放出を促進します。GIPはtype 2 DMではインスリン分泌を促進する能力がほとんど失われています。一方でGLP1は糖依存性のインスリン分泌を強く促しています。つまりtype 2 DMの治療ではGIPをターゲットにすればよいということになります。GLPはグルカゴンを抑制し。空腹感を押さえ、食欲を抑えます。体重減少も実現できます。この長所を相殺するように、GLP1は迅速にDPPIV(ヂペプチジルペプチダーゼ4エンザイム)によって負活化されます。つまり、GLP1を治療に使うなら、連続的に体に入れなければなりません。GLP1受容体のアゴニストが研究され、これはDPPIVにたいして抵抗性があります。そのほかのGLP1療法のアプローチに仕方としては、DPPIV プロテアーゼの不活性化で、それによって GLP1の循環量を増やそうとするものです。type 2 DM 治療に新しい薬がでるかもしれないですね。

「ヨウ素」

　　[★]

英: iodine
同: ヨード
商

PA・ヨード、イソジン、イソジンガーグル、エルネオパ1号、エレジェクト、エレメンミック、オラロン、カデックス、カルディオダイン、シザナリンN、ネオグリセロール、パーヒューザミン、ハイポピロン、フェニルアラニン除去ミルク配合、プレポダイン、ベンゾダイン、ポビドンヨード、ポピヨード、ポピヨドン、ポピラール、ボルビサール、ボルビックス、ミネラミック、ミネラリン、ミネリック-4、ミネリック-5、メドレニック、ヨウチン、ヨウレチン、ヨーチン、ヨード・グリセリン歯科用消毒液、ヨードコート、ヨードチンキ、ヨードヨード亜鉛カントップ用消毒液、ルゴール、ロイシン・イソロイシン・バリン除去ミルク配合、希ヨーチン、希ヨードチンキ、産婦人科用イソジンクリーム、歯科用ヨード・グリセリン、複方ヨード・グリセリン、複方ヨード・グリセリンFM、デクラート

関: 外皮用殺菌消毒剤

同位体

参考2

同位体	NA	半減期	DM	DE (MeV)	DP
123I	syn	13 h	ε/γ	0.16	123Te
127I	100 %	中性子74個で安定
129I	trace	15.7×10^6 y	β-	0.194	129Xe
131I	syn	8.02070 d	β-/γ	0.971	131Xe

¹²³I:電子捕獲:T1/2 = 13 hr
¹²⁵I::T1/2 = 60 d
¹³¹I::T1/2 = 8 d

131Iは甲状腺癌の内部照射療法、グレーブス病の治療のために用いられる。

参考

1.

http://home.hiroshima-u.ac.jp/er/Rmin_GL_053.html

2. wiki ja

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A8%E3%82%A6%E7%B4%A0

「ストロンチウム」

　　[★]

英: strontium, Sr

原子番号：38
骨に取り込まれやすい

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B9%E3%83%88%E3%83%AD%E3%83%B3%E3%83%81%E3%82%A6%E3%83%A0

	第1族元素	元素の周期表																第18族元素
第1周期元素	H	第2族元素											第13族元素	第14族元素	第15族元素	第16族元素	第17族元素	He
第2周期元素	Li	Be											B	C	N	O	F	Ne
第3周期元素	Na	Mg	第3族元素	第4族元素	第5族元素	第6族元素	第7族元素	第8族元素	第9族元素	第10族元素	第11族元素	第12族元素	Al	Si	P	S	Cl	Ar
第4周期元素	K	Ca	Sc	Ti	V	Cr	Mn	Fe	Co	Ni	Cu	Zn	Ga	Ge	As	Se	Br	Kr
第5周期元素	Rb	Sr	Y	Zr	Nb	Mo	Tc	Ru	Rh	Pd	Ag	Cd	In	Sn	Sb	Te	I	Xe
第6周期元素	Cs	Ba	*	Hf	Ta	W	Re	Os	Ir	Pt	Au	Hg	Tl	Pb	Bi	Po	At	Rn
第7周期元素	Fr	Ra	**	ラザホージウム	ドブニウム	シーボーギウム	ボーリウム	ハッシウム	マイトネリウム	ダームスタチウム	レントゲニウム	未発見元素の一覧


		*	La	Ce	Pr	Nd	Pm	Sm	Eu	Gd	Tb	Dy	Ho	Er	Tm	Yb	Lu
		**	Ac	Th	Pa	U	Np	Pu	Am	Cm	Bk	Cf	Es	Fm	Md	No	Lr

化合物

塩化ストロンチウム

同位体

同位体	NA	半減期	DM	DE (MeV)	DP
82Sr	syn	25.36 d	ε	～	82Rb
83Sr	syn	1.35 d	ε	～	83Rb
			β+	1.23	83Rb
			γ	0.76, 0.36	～
84Sr	0.56 %	中性子46個で安定
85Sr	syn	64.84 d	ε	～	85Rb
85Sr	syn	64.84 d	γ	0.514 D	～
86Sr	9.86 %	中性子48個で安定
87Sr	7.0 %	中性子49個で安定
88Sr	82.58 %	中性子50個で安定
89Sr	syn	50.52 d	ε	1.49	89Rb
89Sr	syn	50.52 d	β-	0.909 D	89Y
90Sr	trace	28.90 y	β-	0.546	90Y

「トリウム」

　　[★]

英: thorium、Th
関: トロトラスト、232Th

概念

参考1

原子番号：90
元素記号：Th
アクチノイド元素の一つ
銀白色の金属。
安定同位体は存在しない。
北欧神話の軍神または雷神トールにちなんで名づけられた。

同位体

参考1

同位体	NA	半減期	DM	DE (MeV)	DP
228Th	trace	1.9116 y	α	5.52	224Ra
229Th	syn	7340 y	α	5.168	225Ra
230Th	trace	75380 y	α	4.77	226Ra
231Th	trace	25.5 h	β	0.39	231Pa
232Th	100 %	1.405 × 1010 y	α	4.083	228Ra
234Th	trace	24.1 d	β	0.27	234Pa

参考

1. wikipedia ja

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%88%E3%83%AA%E3%82%A6%E3%83%A0

「セシウム」

　　[★]

英: cesium、caesium、Cs

放射線医学

核分裂により生成する放射性核種：セシウム-137。半減期30年。β線、γ線。筋肉、全身。

同位体

同位体	NA	半減期	DM	DE (MeV)	DP
133Cs	100 %	中性子78個で安定
134Cs	syn	2.0648 y	ε	1.229	134Xe
134Cs	syn	2.0648 y	β-	2.059	134Ba
135Cs	trace	2.3×106 y	β-	0.269	135Ba
137Cs	trace	30.17 y[2]	β-	1.174	137Ba

「短半減期蛋白」

　　[★]

英: rapid turnover protein
同: 急速代謝回転蛋白質

急性の肝機能の変化、栄養状態の変化、蛋白代謝の変化をとらえることができる。

~~アルブミン~~：20日くらいだっけ？

血液凝固因子：半減期は数時間から1週間のものがあり、総じて半減期は短い。

「血中半減期」

　　[★]

英: half-life in blood
関: 半減期、薬物動態

血液の中の物質の濃度が1/2になるまでの時間。

「生物学的半減期」

　　[★]

英: biological half-life, biological half life
関: 半減期、有効半減期

[1] 素粒子物理学においては、半分ではなく自然対数の底の逆数、すなわち約0.368...にまで減少する時間を平均寿命というが、数学的性質には半分になるか自然対数の底の逆数になるかの時間という意味で半減期と殆ど違いがない。

[2] 原子番号が同じで質量数の異なる元素を同位体（isotope、アイソトープ）という。さらに、放射線を放出して原子核が放射性崩壊する性質（放射能）をもつ同位元素は放射性同位体（radioisotope、ラジオアイソトープ）と呼ばれる。

[3] 例えば、アボガドロ定数個のある放射性同位体で構成されるサンプルをつくると、崩壊する確率に応じて一定の速度で内部の原子核が崩壊をしていくことになる。この速度を言い換えた値が半減期であり、はじめに存在した状態の半分が崩壊するまでにかかる時間のことである。

[4] なお、崩壊する量は放射性物質の量に比例する。たとえば10万ベクレルの放射性物質があったとして、半減期が経過すれば5万ベクレルであるが、100ベクレルの前者と同様の放射性物質があり、半減期が経過しても50ベクレルしか減らないというわけである。さらに言えば、半減期や半減期の10倍の時間が経過すれば、放射性物質が完全にゼロになると勘違いしている者もいるが、半減期とは一定の期間ごとに半分になっていくのであって、完全にゼロになるということは実質上ありえない。なぜならばアボガドロ定数で考えれば放射性物質は、たとえば1ベクレルといったようにベクレルで表示すればとても少なく見えたとしてもかなりの量になるからである。それに原子数がゼロに近づけば、大数の法則が成立せず確率ゆらぎも大きくなるため半減期による計算の精度も落ちる（上の図のシミュレーションも参考）。ただ、指数表示で何桁ベクレルが1ベクレル、0.1ベクレル…実質上検出下限値ベクレルに減少する時間であれば、後述の手法で計算が可能である。放射性物質がほとんどなくなると言った場合、ベクレルが検出下限値に近くゼロに近づくと解釈すべきであろう。また明らかにこの手法をベクレルではなく原子数に当てはめれば、このような殆どゼロになるということは極めて長い時間が掛かってしまうため実質上ありえないとただちに理解される。

[5] 中性子、中間子などの素粒子も不安定であり、放射性核種と同じように一定の半減期で他の素粒子に変わっていく。

[6] 放射性崩壊は指数過程によって記述されるため無記憶過程であり、崩壊していく速度は物質の出入りがゼロであれば一定である。

[7] これは理論的には、原子核の結合エネルギーが数千万eVと原子の結合エネルギーに比してきわめて大きいため、原子核外部の物理現象では内部変化が起こらないためであると理解される。

ランダウ、アヒエゼール、リフシッツ（共著）『物理学ー力学から物性論までー』小野周・豊田博慈(訳)、岩波書店、1969年、108頁。ISBN 4-00-005911-4。

[8] 例えばラザフォードによってラジウムに対して、

2500度、1000気圧の環境に置く

に始まり、

絶対零度近くの極低温、超高温の環境に置く

2000気圧に達する圧力をかける

8万3000ガウスの磁場をかける

地球引力の1000倍の遠心力をかける

などの古典物理学的実験を行ったが、ラジウムの半減期は一切変化しなかった。

K・ホフマン『オットー・ハーン―科学者の義務と責任とは―』山崎正勝・小長谷大介・栗原岳史（訳）、シュプリンガー・ジャパン、2006年、32-33頁。ISBN 4-431-71217-8。

[9] 2500度、1000気圧の環境に置く

[10] 絶対零度近くの極低温、超高温の環境に置く

[11] 2000気圧に達する圧力をかける

[12] 8万3000ガウスの磁場をかける

[13] 地球引力の1000倍の遠心力をかける

[9] ただし、これは崩壊の速度を変化させることが原理的に絶対不可能という意味ではない。これらの作用が原子核の放射性崩壊に影響を及ぼしていないという結論が重要である。

E.シュポルスキー『原子物理学III』玉木英彦他（訳）、東京図書株式会社〈物理学選書〉、180,181頁。ISBN 978-4-489-01103-0。

[10] 熊谷寛夫 (1959), 加速器,融合反応, http://ci.nii.ac.jp/naid/110002070470

[11] この一つ一つの崩壊する時間間隔の確率は指数分布に従い、単位時間あたりの崩壊はポアソン分布になる。これはガイガーカウンターなどを用いて放射線を計測すると、単位時間あたり計測値がポアソン分布になり、放射線を計測すると音が鳴る機種であれば、その音の間隔が指数分布となる所以である。

[12] また指数分布の無記憶性により、ガイガーカウンターである期間放射線を計測しなくても、それから時間tが経過するまでに計数する期待値は変わらない（当然、平均値が等しいという大前提の上でだが）。このように確率現象である放射性物質の崩壊であっても、十分大きな量の放射性同位体や素粒子などが崩壊する際に、いわゆる大数の法則として定式化されたものが半減期である。つまり極微量であれば誤差が大きくなるが（それだけ計測に必要な時間も長くなるが）、放射性物質が大量にあるのであれば計測時間が短く精度も高くなるという理由でもある。

[13] ただし、以下は一次反応のみであり、娘核種も放射能を持ち時間変化により親・娘量核種の総放射能を求めるといった場合を考慮していない。その場合は連立微分方程式を立てて解かねばならない。なお、これらの半減期の長さによって任意の時間が経過したときの放射能の強さは放射平衡によって論じられる。

[14] 半減期 t_1/2 は t_1/2 = log_e(2)/λ で計算することができるが、同様に n 分の 1 になる期間 t_1/n は

t_1/n = log_e(n)/λ

で計算することができる。放射能の数値の桁が一桁小さくなる期間を算出するにあたって

t_1/10 = log_e(10)/λ

は重要である。例えばプルトニウム239の場合24000×3.3≒80000と約8万年でようやく一桁減少するということである。二桁減少するまでの期間は8万年の二倍の16万年、三桁であれば24万年と暗算で何桁減るのに何年かかるということが簡単に求めることができる。
なお、t_1/10 半減期から算出できる。半減期 t_1/2 は log_e(2) であることから log_e(10) = a×log_e(2) となる係数 a は

a = log_e(10)/log_e(2) ≒ 2.3/0.693 ≒ 3.3

と半減期を約3.3倍すれば10分の1になる時間 t_1/10 の近似値が得られることがわかる。

[15] 

半減期と残留放射能計算早見表

半減期 t_1/2 をもつ放射性同位体は半減期が経過するごとにその放射能は半分となる。例えば、半減期の3倍の時間が経過すれば放射能は 2³分の1（8分の1）となる。

次の表は半減期の1 - 5倍（整数値）が経過した時点での残留放射能を求めるための簡易表である。

例えば初期値が1万ベクレル (10,000[Bq]) で、半減期の5倍経過したときの放射能は

3.125/100 × 10000 = 312.5

と計算できる。すなわち、5×t_1/2[s] だけ経過すれば 10,000[Bq] は 312.5[Bq] まで減少することがわかる。

経過した時間（半減期の倍数）残っている割合百分率での表示

0 1/1 100%

1 1/2 50%

2 1/4 25%

3 1/8 12.5%

4 1/16 6.25%

5 1/32 3.125%

... ... ...

n 2^-n 100/(2ⁿ)%

[16] 福田覚『放射線技師のための物理学三訂版』東洋書店、1991年、170頁。ISBN 4-88595-309-X

[17] ここで生物学的半減期が物理的半減期に比べて十分長い場合（ヨウ素131の場合物理的半減期8日に対して生物学的半減期が138日であるため、このケースになる）、体内で壊変によって壊れるほうが多いのでほとんど排出されずに体内で崩壊し、被曝の影響が大きくなる。一方で、逆に生物学的半減期に対して物理的半減期が長い場合（これは生物学的半減期が70日程度のセシウムのケースである）、体内で壊変するよりも体外に排出される割合のほうが多くなるわけである。あくまでこれは1度限り摂取した場合であって、継続的に摂取した場合は簡単に計算すれば、1日あたりの摂取量が同じと計算すれば摂取量と排出量が平衡に達する程度までは濃縮する危険性があるわけである。
この度合いは生物学的半減期が長いほど影響が大きい。このことから生物学的半減期が長い核種は短い核種よりも1日あたりの排出量が少ないため、ほとんど体外に排出されずに体内にたまっていき、したがって前者とくらべ多く濃縮されるため、なるべく摂取を避ける事が望ましい。また排出を促す薬などを用いた場合、数学的には生物学的半減期を短くする効果があると解釈すれば、濃縮する割合も減らせるとも理解できる。

[18] 永江知文・永宮正治『原子核物理学』裳華房、2000年、43から44頁の例題4.1を参考。ISBN 4-7853-2094-X。

[19] （導出）両辺に e^λt を掛ければ

$e^{\lambda {t}}{\frac {dN(t)}{dt}}+\lambda {N(t)e^{\lambda {t}}}=Qe^{\lambda {t}}$

であるが、合成微分律により

${\frac {d}{dt}}(N(t)e^{\lambda {t}})=Qe^{\lambda {t}}$

となる。これを積分すれば

$N(t)e^{\lambda {t}}={\frac {Q}{\lambda }}e^{\lambda {t}}+C$

となる。N について解いて

$N(t)={\frac {Q}{\lambda }}e^{(\lambda {t}-\lambda {t})}+Ce^{-\lambda {t}}={\frac {Q}{\lambda }}+Ce^{-\lambda {t}}$

ここで初期条件 t = 0 を考えれば、明らかに N = 0 であるから、初期値問題について解けば積分定数 C は

$N(0)=0={\frac {Q}{\lambda }}+Ce^{-\lambda \times {0}}$

$\therefore {C=-{\frac {Q}{\lambda }}}$

と定まる。つまり

$N(t)={\frac {Q}{\lambda }}(1-e^{-\lambda {t}})$

である。

[20] 

具体例

例えばセシウムの生物学的半減期を70日とすれば崩壊定数を日の単位で求めれば

$\lambda ={\frac {\ln(2)}{70}}\approx {0.01}$

であり、1日あたり100ベクレル摂取したとすれば

${\frac {100}{0.01}}(1-e^{-0.01{t}})\approx 10000(1-e^{-0.01{t}})$

でt日目の体内濃度が得られる。ここで 0 < λ < 1 であるから、

$\lim _{t\rightarrow {\infty }}{\frac {Q}{\lambda }}(1-e^{-\lambda {t}})={\frac {Q}{\lambda }}$

である。これは体内濃度に上限がある事を示しており、セシウムの場合で計算すれば

${\frac {Q}{0.01}}=100Q$

であり、1日あたり摂取量 Q の100倍に濃縮する。例えば100ベクレル摂取し続ければ10000ベクレル、500ベクレルで50000ベクレル体内に濃縮するわけである。

[21] ウラニウム、プルトニウム、トリウムなどの核種は、一旦崩壊すれば安定同位体とはならず、崩壊してできた娘核種もまた放射性同位体となるが、このように娘核種も放射性同位体となる事を崩壊系列を成すという。ウラニウムなどについては大きく分けて4種類の系列に分けられる。詳細は崩壊系列も参照。

[22] 草間(1995)

[23] 真田順平『原子核・放射線の基礎』共立出版〈共立全書163〉、1966年、29 - 30頁。ISBN 4-320-00163-X

[24] Graham Woam著、堤正義訳『ケンブリッジ物理公式ハンドブック』、共立出版、2007年、101頁。ISBN 978-4-320-03452-5

[25] 真田順平『原子核・放射線の基礎』共立出版〈共立全書163〉、1966年、30頁。ISBN 4-320-00163-X

[26] 岩波理化学辞典第五版、1998年、ISBN 4-00-080090-6、項目「崩壊定数」より。

[27] 物理学事典. 講談社. (2009). p. 86. ISBN 978-4-06-257642-0.

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