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make a request for something; "Order me some flowers"; "order a work stoppage"
bring order to or into; "Order these files"
established customary state (especially of society); "order ruled in the streets"; "law and order"
place in a certain order; "order the photos chronologically"
a degree in a continuum of size or quantity; "it was on the order of a mile"; "an explosion of a low order of magnitude" (同)order_of_magnitude
the act of putting things in a sequential arrangement; "there were mistakes in the ordering of items on the list" (同)ordering
(architecture) one of original three styles of Greek architecture distinguished by the type of column and entablature used or a style developed from the original three by the Romans
a group of person living under a religious rule; "the order of Saint Benedict" (同)monastic order
a commercial document used to request someone to supply something in return for payment and providing specifications and quantities; "IBM received an order for a hundred computers" (同)purchase order
a body of rules followed by an assembly (同)rules of order, parliamentary law, parliamentary procedure
(biology) taxonomic group containing one or more families
(often plural) a command given by a superior (e.g., a military or law enforcement officer) that must be obeyed; "the British ships dropped anchor and waited for orders from London"
a request for something to be made, supplied, or served; "I gave the waiter my order"; "the companys products were in such demand that they got more orders than their call center could handle"
issue commands or orders for (同)prescribe, dictate
give instructions to or direct somebody to do something with authority; "I said to him to go home"; "She ordered him to do the shopping"; "The mother told the child to get dressed" (同)tell, enjoin, say
one of the elements that collectively form a system of numeration; "0 and 1 are digits" (同)figure
a finger or toe in human beings or corresponding body part in other vertebrates (同)dactyl

PrepTutorEJDIC

〈C〉《しばしば複数形で》『命令』,指図,指令 / 〈U〉(物事の)『順序』,順番 / 〈U〉(自然界の)『秣序』 / 〈U〉(社会の)治安,秣序 / 〈U〉整頓(せいとん)された状態,きちんとしていること《good,badなどを伴って》(一般に物事の)調子, 状態 / 〈U〉(商品などの)『注文』《+『for』+『名』》 / 〈C〉調文品 / 〈C〉(レストランなどでの料理の)一盛り / 〈C〉種類,等級,品資(kind, sort) / 〈C〉(動植物分類の)目(もく) / 〈C〉聖職者の階級;《複数形で》聖職 / 〈C〉《しばしばO-》教団,教派;(ある特殊な)社会 / 〈C〉《しばしばO-》勲位,勲章 / 〈C〉(古代ギリシャの)建築様式,柱式 / …‘を'『命令する』,指図する;〈人〉‘に'命令する / 《方向を表す副詞[句]を伴って》〈人〉‘に'行くように命じる / 〈商品など〉‘を'『注文する』;…‘を'あつらえる / …‘を'整頓(せいとん)する,きちんとする / 命令する;注文する
(手足の)指 / アラビア数字(0から9までの一つ;0を除くこともある)

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出典(authority):フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』「2014/05/30 10:54:53」(JST)

wiki ja

位取り記数法（くらいどりきすうほう）は、数の表現方法の一種で、適当な自然数 N (> 1) を指定して N 種類の記号（数字）を用意し、それを列べることによって数を表すための規則である。

位取り記数法で指定された自然数 N をこの記数法の底（てい）または基数といい、底が N であるような位取り記数法を「N 進法」「N 進記数法」という。N 進法では、N 種類の数字からなる記号列において、隣り合う上位の桁（けた）に下位の桁の N 倍の意味を持たせる位取りによって数を表現する。

数を N 進法で表記することを「N 進表記」という。また、N 進表記された数という意味で「N 進数」という呼称を使用することもある。

N 進法の表記において正負や小数を表現する場合には、符号や小数点が併用される。

日常的に最多用されている記数法は十進法である。また、時間は三百六十単位を基本にして、十二単位、三十単位、六十単位の組合わせで表現され、場合によってはこれらの累乗数（十二進法、六十進法。三十進法は今の所使われていない）が用いられる。

概説

日常用いられている、十倍ごとに位をとる数の表記法は十進法と呼ばれ、零から九までの十通りの数値については、それぞれを表す 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 というような専用の文字（数字）が用意されている。そして 9 より一だけ大きい十を一文字で表記せず、1 と 0 の二文字を組み合わせて 10 と桁を上げて表記する。

同時に二文字の数字を使えば、00 から 99 まで百通り（十の平方）の数を表現することができる。99 より大きな数を表現するには、更にもう一文字（桁）増やして、100 と表記する（この表記法は 0 が発見されてから可能になった）。

このように、十種類の文字を列べて十通りの数を一桁で表し、百通りの数を二桁で、千通りの数を三桁で、というように十の N 乗通りの数を N 桁で表すのが十進法である。十進表記で記された数を十進数と呼ぶ流儀もある。

ここで、「十」という数を二に変えると二進法に、二十に変えると二十進法になる。例えば、二十進法では普通、0 から 9 までの数字十種類と、A から J までのアルファベット十種類、合わせて二十種類の文字を共に数字として扱い、数を表現する。例えば、十進法では 15 と二桁で表記される数も、二十進法では F と一文字で表記できる。

逆に、八進法では 0 から 7 までの八種類の文字を数字として扱い数を表現するので、十進法で 8 と書き表される数は、八進法では 10 と表され、二桁を必要とする。

自然数の表記

任意の自然数 T に対し、r を十分大きく取れば、

を満たし、各 c_i は 0, 1, 2, 3, ..., N - 1 のいずれかであるような {c_i} を一意的に取ることができる。

実際、次のようにすれば {c_i} と r を求めることができる（底変換アルゴリズム）。

T を N で割った商を T₁ とし、余りを c₀ とする。
T₁ を N で割った商を T₂ とし、余りを c₁ とする。
以下 T_i を N で割った商を T_i+1 とし、余りを c_i とする操作を繰り返す。
T_k = 0 となったとき、r = k - 1 とする。

このとき、0 から N - 1 までの自然数に何らかの記号（数字）を対応させておいて、 c_r, c_r-1, ..., c₁, c₀ に対応する記号を順に並べれば、任意の自然数 T を有限個の記号で表記できる。この表記を T の N 進表記 という。

なお、上記の方法ではアルゴリズムが終了するまで r が幾つになるか分からないが、対数を用いれば

として事前に r を知ることもできる。ただし、

は x 以下で最大の整数である（床関数参照）。

二進表記	三進表記	六進表記	十進表記	十二進表記
1	1	1	1	1
10	2	2	2	2
11	10	3	3	3
100	11	4	4	4
101	12	5	5	5
110	20	10	6	6
111	21	11	7	7
1000	22	12	8	8
1001	100	13	9	9
1010	101	14	10	A
1011	102	15	11	B
1100	110	20	12	10

例

十進表記の 5213 を五進表記に置き換える場合：

5213 ÷ 5 = 1042 余り 3
1042 ÷ 5 = 208 余り 2
208 ÷ 5 = 41 余り 3
41 ÷ 5 = 8 余り 1
8 ÷ 5 = 1 余り 3
1 ÷ 5 = 0 余り 1

から、5213 = 3 + 2 × 5 + 3 × 5² + 1 × 5³ + 3 × 5⁴ + 1 × 5⁵ となるので、五進表記では 131323 と表すことができる。また、5⁵ = 3125, 5⁶ = 15625 であるから、5⁵ ≤ 5213 < 5⁶ が成り立っているので、対数を取ると

となり、

が分かる。

二百七十の表記は、以下のとおりになる。（便宜上、計算式を十進表記で記す）

二進表記 (100001110)₂ : 270 = 256 + 14 = 2⁸ + 2³ + 2² + 2¹
六進表記 (1130)₆ : 270 = 216 + 54 = 1×6³ + 1×6² + 3×6¹
十進表記 270₁₀ : 270 = 200 + 70 = 2×10² + 7×10¹
十二進表記 (1A6)₁₂ : 270 = 144 + 126 = 1×12² + 10×12¹ + 6
二十進表記 (DA)₂₀ : 270 = 260 ＋ 10 = 13×20¹ + 10

また、500 と表記される数は、十進表記では五百だが、十二進表記では七百二十を、二十進表記では二千を意味する。

これは、十二進表記では「五倍の百四十四（=十二の平方）」を意味し、二十進表記では「五倍の四百（=二十の平方）」を意味するからである。したがって、十二進表記の“500 ÷ 26 = 20”は、十進表記では“720 ÷ 30 = 24”となる。

整数の表記

T が負の数である場合には記号列の先頭に負符号 − を付けて、その後に絶対値 |T| の N 進表記を続けることにすれば、任意の整数を同様にして表記できる。

二進表記	三進表記	六進表記	十進表記	十二進表記
−110	−20	−10	−6	−6
−101	−12	−5	−5	−5
−100	−11	−4	−4	−4
−11	−10	−3	−3	−3
−10	−2	−2	−2	−2
−1	−1	−1	−1	−1
0	0	0	0	0

有理数・実数の表記

小数の表記

任意の有理数・実数は

（各位の a_i は 0 以上 N 未満の整数）の形に一意的に表される。これを N 進法では（0 以上 N 未満の整数にそれぞれ記号を与えて）

と表記する。

	十進表記	十二進表記	二十進表記
1 ÷ 2	0.5	0.6	0.A
1 ÷ 3	0.3333…	0.4	0.6D6D…
1 ÷ 4	0.25	0.3	0.5
1 ÷ 5	0.2	0.2497…	0.4

例えば、二進法で 0.111 と表される数は、零、二分の一、四分の一、八分の一を加えた数という意味である。

この値は、十進法では 0.875 と表される。

底の変換

十進法で表された絶対値が1未満の小数をN進法に変換する場合、次の通りにする。

Nを掛け、整数部と小数部に分ける。
その小数部にNを掛け、再度整数部と小数部に分ける。
小数部が0になるまで同様の操作を繰り返す。
整数部を上位から並べる。

例えば十進表記の 0.8125 を2進表記にする場合、

0.8125 × 2 = 1.625 = 0.625 + 1
0.625 × 2 = 1.25 = 0.25 + 1
0.25 × 2 = 0.5 = 0.5 + 0
0.5 × 2 = 1.0 = 0.0 + 1

となるので、2進表記では 0.1101 となる。

p進数

詳細は「p進数」を参照

N 進表記と関連が深い概念として、素数 p 毎に定まる p 進数というものもある。両者は別概念ではあるが非常に関連があり、整数の p進表記を（可算）無限桁の自然数の範囲に拡張したものが p進整数で、さらにそこに有限桁の小数部分を許したものが p進数である。ただし「無限桁の整数」（の一部は有理数として再解釈できるもののほとんど）は本稿で扱う普通の数（実数）とは異なる。