平均値

英

mean, mean value

• the mean is overly sensitive to extreme values, in a slewed distribution the median is a better reposentation of central tendency than the mean.

WordNet

1. have a specified degree of importance; "My ex-husband means nothing to me"; "Happiness means everything"
2. an average of n numbers computed by adding some function of the numbers and dividing by some function of n (同)mean_value
3. mean or intend to express or convey; "You never understand what I mean!"; "what do his words intend?" (同)intend
4. denote or connote; "`maison means `house in French"; "An example sentence would show what this word means" (同)intend, signify, stand_for
5. (used of persons or behavior) characterized by or indicative of lack of generosity; "a mean person"; "he left a miserly tip" (同)mingy, miserly, tight
6. destine or designate for a certain purpose; "These flowers were meant for you"
7. excellent; "famous for a mean backhand"
8. (sports) the ratio of successful performances to opportunities
9. achieve or reach on average; "He averaged a C"
10. a statistic describing the location of a distribution; "it set the norm for American homes" (同)norm
11. an intermediate scale value regarded as normal or usual; "he is about average in height"; "the snowfall this month is below average"
12. amount to or come to an average, without loss or gain; "The number of hours I work per work averages out to 40" (同)average out
13. compute the average of (同)average out
14. lacking exceptional quality or ability; "a novel of average merit"; "only a fair performance of the sonata"; "in fair health"; "the caliber of the students has gone from mediocre to above average"; "the performance was middling at best" (同)fair, mediocre, middling
15. around the middle of a scale of evaluation; "an orange of average size"; "intermediate capacity"; "medium bombers" (同)intermediate, medium
16. approximating the statistical norm or average or expected value; "the average income in New England is below that of the nation"; "of average height for his age"; "the mean annual rainfall" (同)mean
17. lacking special distinction, rank, or status; commonly encountered; "average people"; "the ordinary (or common) man in the street" (同)ordinary

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1. 〈人が〉…‘を'『意図する』,‘の'つもりである;…‘を'言おうとある;示そうとする / 〈単語・句・文章などが〉…‘を'『意味を持つ』,‘を'『意味する』 / (人に対して)…‘を'当てる,向ける《+『名』+『for』+『名』》 / 《受動態で》〈人・物〉‘を'(…)向きにする / 〈物事が〉…‘を'示す,表す / (結果として)〈物事が〉…‘を'もたらす,生じさせる / 《『mean』+『for』+『名』+『to』 do》《米話》(…が…するような)つもりでいる
2. 《名詞の前にのみ用いて》(品質・価値・才能などが)『劣った』,つまらない / (人・行為などが)『卑劣な』,さもしい / 《古》(身分・地位などが)卑しい / 《まれ》(身なり・建物などが)みずぼらしい,見るもあわれな / 《米話》(動物が)御しにくい;(一般に)扱いにくい
3. 中庸,中道 / (数学で) / 平均[値];(特に)算術平均,相加平均 / (比例式の)中項,内項 / (両極端の)中間の,中央に位置する / (大きさ・品質・程度などが)平均的な,平均の
4. 『平均』;並み,標準 / 平均値 / 『平均の』;並みの,標準の / 〈数〉'を'『平均する』 / 平均して…'を'する(受動態にできない) / 平均して…となる

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出典(authority):フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』「2015/06/18 16:29:02」(JST)

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平均値（へいきん、英: mean, 独: Mittelwert, 仏: moyenne）とは、観測されるデータから、算術的に計算して”得られる、統計学的な指標値である。

例えばA、B、Cという3人の体重がそれぞれ55 kg、60 kg、80 kgであったとすると、3人の体重の平均値は (55 kg + 60 kg + 80 kg)/3 = 65 kgである。これは厳密に言えば相加平均（後述）であるが、特に断らずに平均という場合の多くは相加平均を指している。

統計学では、平均には「母平均」と「標本平均」がある。母平均は、母集団の全ての要素に関する相加平均である。標本平均は、母集団から抽出した標本（母集団の部分集合）の要素に関する相加平均である。母平均はμと書き、標本平均はmなどと書いて区別する。

相加平均

詳細は「算術平均」を参照

算術平均（さんじゅつへいきん、英: arithmetic mean, 独: arithmetisches Mittel, 仏: moyenne arithmétique）とも呼ぶ。単に平均といった場合はこれを意味する。

相加平均は

と定義される。あるいは

とも表せる。

の相加平均は とも表される。

相加平均は、加法とスカラー倍が可能であるような量（実数, 複素数, ベクトル等）について定義できる。

一般化平均

相乗平均

詳細は「幾何平均」を参照

相乗平均（そうじょうへいきん）または幾何平均（きかへいきん、英: geometric mean, 独: geometrisches Mittel, 仏: moyenne géométrique）を

と定義する。相乗平均は相加平均、幾何平均は算術平均に対する用語である。

あるいは

とも表せる。

対数を取ると

となり、相乗平均は、対数の算術平均の指数関数である。あるいは、相乗平均の対数は対数の算術平均である。

データに1つ以上の0があるときは、相乗平均は0となる。データが実数であっても、積が負になる場合は、相乗平均は複素数になる可能性がある。

相乗平均は、積と累乗根が可能であるような量（実数, 複素数）について定義できる。

調和平均

調和平均（ちょうわへいきん、英: harmonic mean）を、

と定義する。あるいは

とも表せる。

調和平均は、逆数の算術平均の逆数である。あるいは、逆数の算術平均は調和平均の逆数である。

しかし、

データに1つ以上の0があるとき、調和平均の定義式はそのままでは使えないが、0への極限を取ると、調和平均は0となる（ のとき ）。データに負数があっても調和平均は計算することができる。ただし、正負が混在している場合に逆数の和が0になることがあり、その場合の極限は発散する。

一般化平均

算術平均、相乗平均、調和平均は同じ式

あるいは

で表せる。この式を一般の実数 m に対し定義した値を一般化平均と呼ぶ。

m = 1 で算術平均、m = －1 で調和平均となり、m → 0 への極限が相乗平均である。これらのほか、m = 2 の場合を二乗平均平方根 (RMS) と呼び、物理学や工学で様々な応用をもつ。m → ∞ への極限は最大値、m → －∞ への極限は最小値である。

一般化平均は、ベクトル の m-ノルムを で割った結果に一致する。

データの m 乗の平均、つまり、一般化平均の m 乗

を m 乗平均と呼ぶ。

m 乗平均・一般化平均の応用として、例えば統計学では分散と標準偏差がある。それぞれ m = 2 の場合の m 乗平均・一般化平均により定義されている。(ただし、相加平均を引いた後 m 乗平均・一般化平均を取る)。

一般化平均はさらに一般化が可能で、全単射な関数 f により

という平均が定義できる。恒等関数 f(x)= x により相加平均が、逆数 f(x)= 1/x により調和平均が、対数関数 f(x)= log x により相乗平均がそれぞれ表されている。

定義域

一般の実数 m による一般化平均は、全てが非負の実数であるデータに対してのみ定義される。これは、一般化平均の式に現れる m 乗根（冪関数）が負数に対し定義できないためである。例外は、冪関数を使わずに計算できる算術平均と調和平均 (m = ±1) である。m ≠ ±1 の場合、1つ以上の負数が含まれるデータに対し、一般化平均の定義式は実数を返さないか、実数を返したとしても結果は解釈が難しい。

m < 0 の場合、1つ以上の0が含まれるデータに対し一般化平均の定義式は使えないが、調和平均同様、0への極限を取ると一般化平均は0となる。幾何平均（m = 0 の一般化平均）も0となるので、m ≦ 0 の場合に一般化平均は0となる。

具体例

• 相乗平均
  • 78年の経済成長率 20％　79年の経済成長率80％の場合，この2年間の平均成長率はより、約47％
• 調和平均
  • 往は時速60km 復は時速90kmの場合の往復の平均速度は である。
  • 並列接続された電気抵抗の抵抗値などを考える場合に用いる（直列回路と並列回路）。

関係式

相加平均≧相乗平均≧調和平均

n 個のデータが全て正の時、次のような大小関係が成り立つ。

相加平均 ≥ 相乗平均 ≥ 調和平均

等号成立のための必要十分条件は、

である。

左側の不等式は、「対数を使った関係式」にlogの凸性（ジェンセンの不等式）を適用すれば証明できる(数学的帰納法を使った別証明も知られている)。 右側の不等式は、調和平均が逆数の相加平均の逆数という事実を左側の不等式に適用すれば証明できる。

相加平均と調和平均の相乗平均

データ数nが2のときの相加平均、相乗平均、調和平均をそれぞれA、G、Hとすると、

なので、

が成立する。すなわち、もとのデータの相乗平均は相加平均と調和平均の相乗平均に等しくなる。

様々な平均

加重平均

観測される値それぞれに重みがある時には、単に相加平均をとるのでなく重みを考慮した平均をとるのが便利である。各データ x_i に、重み w_i がついているときの加重平均（重み付き平均）は

と定義される。全ての重みが等しければ、これは通常の相加平均である。

相乗平均についての重み付き平均は

と定義される。ただし、 とする。

連続分布の相加平均

観測されるデータ x(t) が区間 [a, b] 上に連続的に分布しているとき、その相加平均は積分

と定義される。これは離散分布の相加平均に対して、無限個の平均を算出する操作を極限により表したものである。

ベクトルの平均

ベクトルに対し、 の（相加）平均を、

により定義する。

相加平均と違い、相乗平均や調和平均はベクトルの場合に一般化できない。

ベクトルの数が3の場合、の平均は、 の作る三角形の重心に一致する。 ベクトルの数が4の場合も同様で、の平均は、 の作る四面体の重心に一致する。

この事実は一般にベクトルの数が n の場合も拡張でき、の平均は、 の作るn-単体の重心に一致する。

また、後述するように、ベクトルの平均は物理学における質点の重心と関係がある。

加重平均も同様にベクトルに拡張でき、

と定義される。

m 乗平均・一般化平均はスカラー

として定義される。ただしここでは、ベクトルのノルムである。

m = 2 の場合、 は内積 に一致するので、m = 2 の場合の m 乗平均や一般化平均が特に重要である。たとえば物理学では速さの平均値として、m = 2 の場合の一般化平均を使うことがある。

ベクトルの加重平均の概念には、物理的な解釈を与える事ができる。質点 がそれぞれ位置 にあり、それぞれの質量が であるとき、 の重心は、加重平均

に一致する。

よって特にベクトルの（相加）平均は、質量1の質点達の重心に一致する。

算術幾何平均

詳細は「算術幾何平均」を参照

を、 を満たす2つの非負実数とする。 を

により定義する。

このとき、

を と の算術幾何平均という。

移動平均

詳細は「移動平均」を参照

平均を用いる際の注意

調査では、平均は代表値としてしばしば使われる。ただし、それが調査の目的に適切かどうかは検討を必要とする。例を挙げる。

世帯の貯蓄の事例では、一部の大金持ちの巨大な貯蓄が平均値を引き上げてしまうため、最も多い数の貯蓄額が仮に300万円だとしても平均は700万円くらいになる。従って、一般的な世帯の貯蓄について考察するのが目的ならば中央値や最頻値を用いるべきである。より一般に、このように分布が左右対称でない際は平均値以外の使用も考えるべきである。

参考文献

• 岡田泰栄 『平均値の統計』、共立出版<数学ワンポイント双書>、1981年。
• 鷲尾泰俊 『推定と検定』、共立出版<数学ワンポイント双書>、1978年。

関連項目

• 統計学
  • 中央値（メジアン）
  • 最頻値（モード）

UpToDate Contents

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• 1. 自動血液分析装置 automated hematology instrumentation
• 2. 貧血を有する成人患者に対するアプローチ approach to the adult patient with anemia
• 3. Macrocytosis/Macrocytic anemia
• 4. 鎌状細胞貧血における臨床的ばらつき clinical variability in sickle cell anemia
• 5. 糖尿病における血糖コントロールの評価 estimation of blood glucose control in diabetes mellitus

Japanese Journal

• ロボットが表出する感情の社会機能的評価

• 寺田和憲 ,勅使宏武 ,伊藤昭
• 情報処理学会研究報告. HCI, ヒューマンコンピュータインタラクション研究会報告 2014-HCI-156(8), 1-8, 2014-01-08
• … かどうかを検証した.感情に相当する点滅パターンは,20 人の実験参加者に,プルチックの提案する基本 8 感情それぞれについて調整法によって色相,周波数,波形を決定することを求め,全参加者の選択した値の平均値として決定した.社会的機能の検証には最後通牒ゲームを用いた.実験参加者は提案者,ロボットは応答者であった.実験参加者は 90 秒以内にスライダーバーを操作することによって提案割合を決定することを …
• NAID 110009658236

• ランキング・コーナー 全国銀行の投信/投信・個人預金比率 全行の9割弱で上昇 : 平均値は5.5%に反転

• 月刊金融ジャーナル 55(1), 109-115, 2014-01
• NAID 40019933761

• 雑音下における発話で変化した音響特徴が音声の聞き取りやすさに与える影響 (応用音響)

• 高山 貴史,齋藤 毅,三好 正人
• 電子情報通信学会技術研究報告 = IEICE technical report : 信学技報 113(349), 73-78, 2013-12-13
• NAID 40019943062

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★リンクテーブル★

リンク元	「中央値」「最頻値」「手段」「意味」「average」
拡張検索	「平均値の標準誤差」「最小二乗平均値」
関連記事	「平均」「値」

「中央値」

　　[★]

英

median

同

メディアン、メジアン、中数、中間数、中位数

関

平均値、最頻値

• 観測されたデータを大きさの順に並べた時、真ん中にくる値。

• the mean is overly sensitive to extreme values, in a slewed distribution the median is a better reposentation of central tendency than the mean.

「最頻値」

　　[★]

英

mode

同

モード

関

平均値、中央値

• 観測されたデータの中で、最も頻繁に出現する値。
• the mode is generally only used to represent central tendency when the distribution is excessively skewed, sych as when close to 50% of the students received the same score.

「手段」

　　[★]

英

means、mean、tool、policy、avenue、gateway、instrumental

関

意味、機器、政策、道具、平均、平均値、方法、役立つ、用具、ツール、方針、ポリシー、出入口、街路

「意味」

　　[★]

英

meaning、sense、implication、mean、represent、imply、purport、(神経科学)semantic

関

表す、暗示、意義、感覚、関連、手段、説明、センス、表現、平均、平均値、代表

「average」

　　[★]

• n.

• 平均、平均値

• adj.

• 平均する、平均の

関

even、mean、mean value

　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　

「平均値の標準誤差」

　　[★]

英

standard error of the mean、S.E.M.、SEM

関

走査型電子顕微鏡、走査電顕

「最小二乗平均値」

　　[★]

英

least square mean, least-square mean, LSM

「平均」

　　[★]

英

average、average、mean、even、average

関

意味、偶数、手段、平ら、平均値、にもかかわらず

「値」

　　[★]

英

value

関

価値、評価