中央値

英

median

同

メディアン、メジアン、中数、中間数、中位数

関

平均値、最頻値

• 観測されたデータを大きさの順に並べた時、真ん中にくる値。

• the mean is overly sensitive to extreme values, in a slewed distribution the median is a better reposentation of central tendency than the mean.

WordNet

1. relating to or situated in or extending toward the middle (同)medial
2. the value below which 50% of the cases fall (同)median value
3. relating to or constituting the middle value of an ordered set of values (or the average of the middle two in a set with an even number of values); "the median value of 17, 20, and 36 is 20"; "the median income for the year was $15,000" (同)average

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1. 中央の,中間の / 中間数の,中央値の / (統計・数学で)中間数,中央値;中点

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出典(authority):フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』「2015/08/20 17:19:02」(JST)

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中央値（ちゅうおうち、英: median）とは、代表値の一つで、有限個のデータを小さい順に並べたとき中央に位置する値。たとえば5人の人がいるとき、その5人の年齢の中央値は3番目に年寄りな人の年齢である。ただし、データが偶数個の場合は、中央に近い2つの値の算術平均をとる。中央値の事を、メディアン、メジアン、中間値とも呼ぶ。ただし、「中間値の定理」の中間値はこの意味ではない。

平均値との関係

中央値は平均値と類似した目的で使うが、用途によっては中央値のほうが平均値よりも優れていることがある。これは、たとえば年収の場合を考えてみるとわかりやすい。

貧富の差が激しい国では、一部の富裕層が平均年収をつり上げてしまっている為、平均年収は「普通の人」の年収よりもずっと高い値になってしまう。この為平均年収は「普通の人」の生活水準を推し測るには向かない。例えば、人口100人の集落で、90人が年収200万円だとしても、10人が年収5000万円であれば平均年収は680万円となってしまい、実態と大きくかけ離れることになる。

一方中央値は、年収が低い順（高い順）に国民を並べたときに丁度真ん中になる人の年収を表している為、一部の富裕層の年収は中央値に影響せず、中央値は「普通の人」の生活水準により近くなる。

実際、例えば億万長者が小さな町に引っ越してくれば平均年収はつり上がってしまうが、年収の中央値はほとんど変わらない。大金持ちが一人引っ越して来たただけで、「普通の人」の生活水準が変化するとはいえず、中央値のほうがより直感に近い事がわかる。

厳密な定義

実確率変数の累積分布関数をとするとき、は実数値非単調減少関数、右連続関数となる。この時、次の不等式を満足する実数値を中央値（メディアン）と呼ぶ。

但し、積分記号はリーマンスティルチェス積分の意味である。

実数観測値が観測された場合は以下のように簡易的に記述することができる。（ただし、同一の順位が無いと仮定する。）

を実数とする。 小さい順に並べ替えたものをとするとき、 の中央値 は

$\mathrm{Q}_\frac{1}{2}(x) = \begin{cases} x'_\frac{n + 1}{2}, & \mbox{if } n \mbox{ is odd.} \\ \frac{1}{2}( x'_\frac{n}{2} + x'_{\frac{n}{2} + 1}), & \mbox{if } n \mbox{ is even.} \end{cases}$

により定義される。 ただしここで「odd」は奇数を意味し、「even」は偶数を意味する。

なお、単純に とならないのは、 の添数が ではなく だからである。

数学的には中央値には

$\mathrm{T}(t)=\sum_{i=1}^{n} |x_i-t|$ を最適化する性質をもっている。(ただし、一意に定まらない場合がある）

すなわち中央値は母集団の各要素から絶対距離の和が最も小さくするという意味で母集団を代表していると見ることができる（実際は要素の数が偶数個のときは、代表値tは一意には定まらないが便宜上、上で述べた定義を採用する）。

またこれを要素数nで割ったものを平均偏差（Mean deviation）という。

平均偏差は各データの、中央値からの距離の平均であり、同じ次元ではある標準偏差などと比べ直感的に理解しやすい。

平均値との関係（数式的なもの）

• データの分布が対称である場合は、中央値は平均値に等しい。ただし、分布が対称でなくても、中央値と平均値が等しくなる事もある。
• 以下の性質により、平均値よりも、全体の傾向を表す代表値として適切である場合が多い。
  • 平均値は、測定ミスなどによって発生する外れ値（他の値より著しく異なる値）に大きく影響され、誤差が大きくなったり、無意味な値となることがある。そのため、刈り込み、ロバスト統計などの対策が必要になる。しかし、中央値は外れ値にほとんど影響されないので、対策は不要である。
  • たとえばデータが正値のみといったように限定されている場合、そうでない場合と比べて分布はより非対称になりやすく、少数の大きな値に引きずられて平均値は大多数の分布より大きくずれることがある。しかし、中央値ではそういった影響はほとんどない。
  • を含むデータに対しても中央値は有限となることがある。（平均値は、必ず無限または不定となる）
  • 分布の谷に位置するようなケースが、平均値に比べて少ない。（平均値は、2峰分布に対ししばしば谷に位置する）
• 中央値を求めるには、線形汎用選択アルゴリズムを使うと の計算量で求められる（平均値も ）。逐次データが得られる場合は全てのデータを保持しておく必要があり、 のメモリを要する（平均値は ）。
• 代表値として平均値を使うときは、分布の広がりは分散または標準偏差で表すことが多い。それに対し、代表値として中央値を使うときは、分布の広がりは第3四分位点と第1四分位点の差である四分位範囲（英: interquartile range, IQR）で表すことが多い。

その他の性質

• 誤差はデータの誤差と同程度である。（平均値の誤差はデータの誤差の 倍である）
• 中央値は、第2四分位点、50パーセンタイル、0.5クォンタイルでもある。

確率分布の中央値

1次元の確率分布 に対し、

,

を満たす を、中央値と呼ぶ。

関連項目

• 要約統計量
• 箱ひげ図
• 順序統計量
• ホッジス・レーマン推定量

UpToDate Contents

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• 1. 中心静脈カテーテル留置 placement of central venous catheters
• 2. 顔面紅斑が認められる患者に対するアプローチ approach to the patient with facial erythema
• 3. 小児および若年成人における虚血性脳卒中：病因と臨床的特徴 ischemic stroke in children and young adults etiology and clinical features
• 4. 静脈血ガスおよび動脈血液ガスの代替 venous blood gases and other alternatives to arterial blood gases
• 5. 乳房温存手術におけるオンコプラスティックテクニック oncoplastic techniques in breast conserving surgery

Japanese Journal

• 数字は語る フォワードルッキングな金融政策の運営で利上げを探るFOMC 1.3~1.4% : 米FOMCの2015年の物価(コアPCEデフレータ)見通しの中央値 : 2015年6月16~17日開催のFOMCによる。コアPCEデフレータは食品・エネルギーを除く個人消費支出デフレータ。第4四半期の対前年同期比上昇率

• 須田 美矢子
• 週刊ダイヤモンド 103(30), 26, 2015-08-01
• NAID 40020531848

• 厚生労働省調べ 2014年 国民生活基礎調査 世帯構造,所得水準,経済生活意識 : 所得中央値は415万円,高齢者世帯の公的年金・恩給は年間203万円

• 旬刊福利厚生 (2180), 59-61, 2015-07-28
• NAID 40020534885

• メディカルトレンド 肺癌治療薬AZD9291 無増悪生存期間の中央値13.5カ月に更新 アストラゼネカ

• 医薬ジャーナル 51(6), 34-36, 2015-06
• NAID 40020502526

• 開発プロセスに組み込む : 日産自動車 QVCプロセスを100件以上に適用 過不足ない対策を効率的に実行 (特集 バラつき対策、待ったなし) -- (対策編)

• 日経ものづくり (729), 52-55, 2015-06
• … これらによって、対象となる車両性能を実現するために、どの部品の設計中央値や公差を調整すればよいのかを導き出し、その部品の特性を量… …
• NAID 40020489512

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算数や数学はにがて。でも、あきらめないで。得意な人は、ミスをなくそう。 ... （4＋1）÷2＝2．5 から、 中央値は、2番目のデータと3番目のデータの平均なので、 （11＋13）／2＝12 ・・・（答）

• 中央値とは - goo Wikipedia (ウィキペディア)

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• 中央値 - BIGLOBE百科事典

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関連記事	「中央」「値」

「最頻値」

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英

mode

同

モード

関

平均値、中央値

• 観測されたデータの中で、最も頻繁に出現する値。
• the mode is generally only used to represent central tendency when the distribution is excessively skewed, sych as when close to 50% of the students received the same score.

「正中」

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英

midline、median

関

正中線、中央値、中位、中位数

「median」

　　[★]

• n.

• 中央値

　 　 　 　

「追跡期間中央値」

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英

• median follow-up、median follow-up time、median follow-up period

「生存期間中央値」

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英

median survival、median survival time

「生存中央値」

　　[★]

英

median survival time, MST

「中央」

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英

• middle、center、middle、medial

関

センター、中間、中心、内側、内側性、中央に置く、中枢

「値」

　　[★]

英

value

関

価値、評価