連続の式

関

流体、ベルヌーイの式、流体エネルギー

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出典(authority):フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』「2016/03/02 23:41:03」(JST)

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連続の方程式（れんぞくのほうていしき、英: equation of continuity、連続方程式、連続の式、連続式などとも言う）は物理学で一般的に適用できる方程式で、「原因もなく物質が突然現れたり消えたりすることはない」という自然な考え方を表す。保存則と密接に関わっている。

狭義には流体力学における質量保存則

${\partial \rho \over {\partial t}} + \nabla \cdot (\rho \boldsymbol{v}) = 0$

（ρは密度、v は流れの速度、t は時間である。∇はナブラを参照。）

あるいは、この式を非圧縮性流体に適用した

$\nabla \cdot \boldsymbol{v} = 0$

を指す。

広義には、スカラー物理量 q についての保存則

${\partial\rho \over \partial t} + \nabla\cdot\boldsymbol{j} = 0$

（ρ：q の密度、j：q の流束）

を指し、更に一般化して、q の輸送方程式（一般の保存則）

${\partial\rho \over \partial t} + \nabla\cdot\boldsymbol{j} = \sigma$

（σ：q の湧き出し密度）

を指すこともある。

広義の連続の方程式の導出

領域 Ω における物理量 q の総量 M の時間変化を q の生成と流出と合わせて図示したもの。代表点のみの軌跡を記している。青い点の個数はΩにおけるq の総量 M (t ) を表す。ピンクの点の個数は湧き出し Δt S を、黄色の点は流れだす流量 Δt J を表す。図より

が成り立つ事がわかる。

広義の連続の式をフラックス形式あるいは一般の保存則という。q をあるスカラー物理量、Ωを固定された有界積分領域、∂ΩをΩの境界である閉曲面とする。

q についての連続の式は、

領域 Ω における q の単位時間あたりの増加量 と 境界 ∂Ω における q の単位時間あたりの流出量（流量） J との和は、 領域Ωにおける q の単位時間あたりの湧き出し量 S に等しい。

と表現できる。

ここで q は連続的に分布する量であり、上述の量はすべて何らかの「密度量」で表現できなければいけない。そこで、q の密度 ρ、q の流束 j 、q の湧き出し密度 σ を導入すると、

$\begin{align} M &= \int_\Omega \rho \,\mathrm{d}V\\ J &= \oint_{\partial\Omega}\boldsymbol{j}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}\\ S &= \int_\Omega \sigma \mathrm{d}V \end{align}$

と表せる。ここで、dS は、境界 ∂Ω 上の微小素片における外向きの面積ベクトルであり、第2式は流束と面積ベクトルとの積の総和が境界を通って流れ出す q の流量であることを表している。

これにより連続の式は

${\mathrm{d}\over\mathrm{d}t}\int_\Omega \rho \,\mathrm{d}V + \oint_{\partial\Omega}\boldsymbol{j}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S} = \int_\Omega \sigma \mathrm{d}V$

となる。

ガウスの定理を使って第2項を体積積分で書き換え、第1項の時間微分と体積積分を交換すると

$\int_\Omega \left\{ {\partial\rho\over\partial t} + \nabla\cdot\boldsymbol{j} - \sigma \right\}\mathrm{d}V = 0$

となるので、微分形

が得られる。

特に、湧き出しがないときの連続の式

を保存形、あるいは、q の保存則の微分形と呼ぶ。

流体における連続の式

質量保存則

速度が v で表される流れを考える。ρを質量密度、j を質量の流束とする。流れ、すなわち、移流あるいは対流は速度 v での物質の移動であるので、流束は

$\boldsymbol{j}=\rho\boldsymbol{v}$

となる。

質量保存則から連続の式は

となる。

輸送定理による導出

速度が v で表される流れにおける連続の方程式は、質量保存則とレイノルズの輸送定理を用いても導ける。

$0= {\mathrm{d}\over\mathrm{d}t} \int_{\Omega(t)} \rho\, dV = \int_{\Omega(t)} \left( {D\rho \over Dt} + \rho\, \nabla\cdot\boldsymbol{v} \right) dV$

ここで、 は実質微分であり、Ω(t ) は流れと共に移動する任意の積分領域とする。1番目の等式は質量保存則を、2番目の等式はレイノルズの輸送定理を表している。

これより、

が成立する。

この式は、実質微分の定義

${D \over Dt}\equiv{\partial \over \partial t}+\boldsymbol{v}\cdot\nabla$

と公式

$\nabla\cdot\left(\rho\boldsymbol{v}\right) =\rho\, \nabla\cdot\boldsymbol{v} + \boldsymbol{v}\cdot\nabla \rho$

を使って、

${\partial \rho \over {\partial t}} + \nabla \cdot (\rho \boldsymbol{v}) = 0$

と等価であることがわかる。

非圧縮性流体についての連続の方程式

連続の方程式

に対して、非圧縮性流体の性質（密度が一定であること）を付加すると、非圧縮性流体における連続の式が導き出される。密度が一定というのは、空間的に一様という意味ではなく、変形していく領域内で一定という意味である。つまり、 となるので、ρ≠ 0 であることから、

$\nabla\cdot\boldsymbol{v} = 0$

を得る。この式を非圧縮性条件ともいう。

この条件を満たす流れにおいて、流れていく流体要素の体積は不変である。

電磁気学における連続の方程式

電荷保存則

電磁気学における連続の式とは電荷の保存則の微分形である。ρ を電荷密度、j を電流密度とすれば、連続の式は

${\partial\rho \over \partial t} + \nabla\cdot\boldsymbol{j} = 0$

となる。

変位電流

マクスウェルの方程式において、電荷の保存則を満たすためにオリジナルのアンペールの式

$\nabla \times \boldsymbol{H} = \boldsymbol{j}$

に変位電流を導入する必要があった。修正されたアンペールの式

$\nabla \times \boldsymbol{H} = {\partial \boldsymbol{D} \over \partial t} + \boldsymbol{j}$

において、両辺に発散 ∇· を作用させると、左辺はゼロとなるので、

$\nabla \cdot {\partial \boldsymbol{D} \over \partial t} + \nabla \cdot \boldsymbol{j} = 0$

となり、ガウスの式

$\nabla \cdot \boldsymbol{D} = \rho$

を代入することで連続の式が得られる。

四元電流

電荷の保存則を表す連続の式は四元電流を使うことで、ローレンツ共変でコンパクトな形にすることができる。四元電流 J^μ (μ= 0, 1, 2, 3) を

$J^\mu = \left(c \rho, \boldsymbol{j} \right)$

と表す。ここで c は光速である。微分演算子

$\partial_\mu = \left(\frac{1}{c} {\partial \over \partial t} , \nabla \right)$

を定義すると、連続の式は

$\partial_\mu J^\mu = 0$

と表現できる。ただし、添字におけるアインシュタインの規約を採用した。

量子力学

量子力学における連続の式は確率の保存則を表す。

Ψ(r , t ) を規格化された波動関数とする。確率密度 ρ、確率流束 j を

$\begin{align} \rho &= \Psi^{*} \Psi\\ \boldsymbol{j} &= \frac{\hbar}{2m\mathrm{i}} \left [ \Psi^{*} \nabla \Psi - \Psi \nabla \Psi^{*} \right ] \end{align}$

と定義すると、シュレディンガー方程式

$\mathrm{i}\hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \Psi + U\Psi$

を用いて、確率に対する連続の式

${\partial\rho \over \partial t} + \nabla\cdot\boldsymbol{j} = 0$

が得られる。

連続の式の導出

シュレディンガー方程式とその複素共役の式

$\begin{align} \mathrm{i}\hbar \frac{\partial \Psi }{\partial t} &= -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \Psi + U\Psi,\\ -\mathrm{i}\hbar \frac{\partial \Psi^{*}}{\partial t} &= -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \Psi^{*} + U\Psi^{*} \end{align}$

それぞれに Ψ^* , Ψ をそれぞれ掛けて2式の差を取ると

$\mathrm{i}\hbar \Psi^{*}\frac{\partial \Psi }{\partial t} +\mathrm{i}\hbar \Psi \frac{\partial \Psi^{*}}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m}\Psi^{*}\nabla^2 \Psi +\frac{\hbar^2}{2m}\Psi \nabla^2 \Psi^{*}$

更に

$\mathrm{i}\hbar \frac{\partial \left(\Psi^{*}\Psi \right)}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla \cdot \left( \Psi^{*}\nabla \Psi - \Psi \nabla \Psi^{*} \right)$

となり、連続の式

${\partial\rho \over \partial t} + \nabla \cdot \boldsymbol{j} = 0$

ただし、

$\begin{align} \rho &= \Psi^{*} \Psi\\ \boldsymbol{j} &= \frac{\hbar}{2m\mathrm{i}} \left [ \Psi^{*} \nabla \Psi - \Psi \nabla \Psi^{*} \right ] \end{align}$

が得られる。

拡散方程式　

ブラウン運動などのミクロスケール由来の現象による物質の質量輸送現象を考える。このとき、経験則であるフィックの法則（フィックの第一法則）により流束は

$\boldsymbol{j}= -\kappa \nabla \rho$

と密度の勾配で与えられる。係数 κ は拡散係数と呼ばれ、次元 をもつ。拡散係数が定数の時、連続の式から拡散方程式

${\partial \rho \over \partial t} = \kappa \nabla^2 \rho$

が得られる。

参考文献

UpToDate Contents

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• 1. 持続的動静脈透析：技術的な懸念 continuous arteriovenous hemodialysis technical considerations
• 2. 急性腎障害（急性腎不全）における持続的腎代替療法 continuous renal replacement therapy in acute kidney injury acute renal failure
• 3. 持続的静静脈血液濾過透析：技術的な懸念 continuous venovenous hemodiafiltration technical considerations
• 4. 持続的静静脈血液透析：技術的な懸念 continuous venovenous hemodialysis technical considerations
• 5. 小児急性腎障害：腎代替療法（RRT）の適応、タイミング、治療法の選択 pediatric acute kidney injury indications timing and choice of modality for renal replacement therapy rrt

Japanese Journal

• 2E5-3 連続の式に基づく心室血流ベクトル可視化法の開発および渦度と壁せん断応力の計測(生体医用超音波)

• 板谷 慶一,岡田 孝,上嶋 徳久,田中 智彦,小野 稔,宮地 鑑,竹中 克
• 超音波エレクトロニクスの基礎と応用に関するシンポジウム講演論文集 (33), 145-146, 2012-11-13
• NAID 110009619774

• 空調・衛生設備技術者のための水理学 : (2)流れの基礎理論

• 市川 憲良
• 空気調和・衛生工学 85(11), 917-921, 2011-11-05
• NAID 10030513830

• 空調・衛生設備技術者のための水理学 : (1)概論と静止流体の力学

• 市川 憲良
• 空気調和・衛生工学 85(10), 829-834, 2011-10-05
• NAID 10030164195

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