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出典(authority):フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』「2017/08/27 06:36:47」(JST)

40と15に関する次の要素が埋め込まれた図: 積(600)、商と剰余(40÷15=2余り10)、最小公倍数(120)、最大公約数(5)、比(8:3)

幾何学的に２つの整数(WとH)及びその最大公約数並びに最小公倍数を長さとして表せる。この図では、WとHを長方形の幅と高さに割り当て、最大公約数をユークリッドの互除法に基づく方法で長さとして求めだし、長方形の面積(WとHの積)を最大公約数で割った結果として最小公倍数も長さとして求めだしている。

最大公約数（さいだいこうやくすう、英: greatest common divisor）とは、少なくとも1個が0ではない複数の整数の公約数のうち最大のものを指す。

しばしば「G.C.D.」や「G.C.M. (Greatest Common Measure)」、「G.C.F. (Greatest Common Factor)」、「H.C.F. (Highest Common Factor)」等の省略形で記述される。

定義

2つ以上の整数 $a_{1},\ldots ,a_{n}$ の最大公約数とは、 $a_{1},\ldots ,a_{n}$ の公約数のうち最大の正整数である。

つまり、 $a_{1},\ldots ,a_{n}$ を

a_{j}=\varepsilon _{j}\prod _{p\;\mathrm {prime} }p^{e_{p}(j)}\quad (e_{p}(j)\geq 0,\;\varepsilon _{j}=\pm 1)

と素因数分解したとき、 $a_{1},\ldots ,a_{n}$ の最大公約数は

\prod _{p\;\mathrm {prime} }p^{\min\{e_{p}(1),\ldots ,e_{p}(n)\}}

で与えられる。

例えば、30 と 42 の公約数は 1, 2, 3, 6 であるから、最大公約数は 6 である。

2つ以上の整数 $a_{1},\ldots ,a_{n}$ の最大公約数が1 であるとき、 $a_{1},\ldots ,a_{n}$ は互いに素であるという。

正整数 $a, b$ に対して、 $a$ と $b$ の最大公約数 $gcd (a, b)$ と最小公倍数 $lcm (a, b)$ との間には

\operatorname {gcd} (a,b)\cdot \operatorname {lcm} (a,b)=ab

という関係がある。

しかし、この関係式は3つ以上の正整数に対しては一般には成立しない。例えば、 $a = 2, b = 6, c = 15$ とすると、 $gcd (a, b, c) = 1$ , $lcm (a, b, c) = 30$ であるが、 $abc = 180$ である。

多項式の公約数のうち、最も次数の高いものを最大公約数という。例えば、 $x^{3}-x$ と $x^{3}+x^{2}-x-1$ の最大公約数は $x^{2}-1$ である。

多項式の最大公約数は、定数倍を除いて一意に決まる。

一般にGCD整域（例えば一意分解整域）においても、最大公約数が（単元倍を除いて一意に）存在する。

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田中信治,樫田博史,斎藤豊,矢作直久,山野泰穂,斎藤彰一,久部高司,八尾隆史,渡邊昌彦,吉田雅博,工藤進英,鶴田修,杉原健一,渡邉聡明,斉藤裕輔,五十嵐正広,豊永高史,味岡洋一,一瀬雅夫,松井敏幸,杉田昭,菅野健太郎,藤本一眞,田尻久雄
日本消化器内視鏡学会雑誌 56(4), 1598-1617, 2014
… 員会編「消化器内視鏡ハンドブック」が2012年5月に刊行されているので，技術的内容に関しては可能な限り重複を避けた．この分野においてはエビデンスレベルが低いものが多く，専門家のコンセンサスに基づき推奨度を決定しなければならないものが多かったが，適応・術前診断・手技・根治性の評価・偶発症・術後長期予後・病理診断などの広範囲な領域を簡潔にまとめ，現時点での最大公約数的指針を作成した． …
NAID 130004555325