総和

英

summation

関

相加、加重、合計

WordNet

1. (physiology) the process whereby multiple stimuli can produce a response (in a muscle or nerve or other part) that one stimulus alone does not produce
2. the arithmetic operation of summing; calculating the sum of two or more numbers; "the summation of four and three gives seven"; "four plus three equals seven" (同)addition, plus
3. a concluding summary (as in presenting a case before a law court) (同)summing up, rundown

PrepTutorEJDIC

1. 〈C〉(弁護人の)最終弁論 / 〈U〉足し算 / 〈C〉合計

Wikipedia preview

出典(authority):フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』「2016/07/22 07:44:19」(JST)

wiki ja

[Wiki ja表示]

演算の結果
加法 (+)
加法因子 + 加法因子 = 和 被加数 + 加数 = 和
減法 (−)
被減数 − 減数 = 差
乗法 (×)
因数 × 因数 = 積 被乗数 × 乗数 = 積 被乗数 × 倍率 = 積
除法 (÷)
被除数 ÷ 除数 = 商 被約数 ÷ 約数 = 商 実 ÷ 法 = 商 分子/分母 = 商
剰余算 (mod)
被除数 mod 除数 = 剰余 被除数 mod 法 = 剰余
冪
底冪指数 = 冪
冪根 (√)
次数√被開方数 = 冪根
対数 (log)
log底(真数) = 対数

数学において、総和（そうわ、summation）とは与えられた数を総じて加えることである。

概説

有限個の数を加えるためには 2 つの数を加えるという操作を帰納的に繰り返せばよく、加法については交換法則が成り立つので、このとき数を加える順序は気にする必要もない。一方で、無限個の数を加えるということはそれほど自明な操作ではない。18世紀以前には、無限個の和に対しても有限和と同じように、加える順序について放漫に扱われる傾向にあり、奇妙な矛盾を結果として導いてしまうこともたびたびあったようである。

無限和についての正しい取り扱いは、ディリクレ、リーマン、コーシーといった数学者によって極限の概念が整備される19世紀を待たなければならなかった。

定義

総和は、加法が定義された集合 M の元の列 x₁, x₂, ..., x_n に対する n 項演算（n は順序数）である。それは、再帰的に次のように定義される。

• s₁ = x₁,
• s_i = s_i−1 + x_i.

こうして得られる s_i は i 番目の部分和 (partial sum) と呼ばれる。n が有限であれば、この操作は有限回で終了し、x₁, x₂, ..., x_n の総和は部分和 s_n に等しい。これを

$s_{n}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}$

と記す。記号 ∑ は、ギリシャ文字のシグマの大文字である。これは、Sum（和）を意味するラテン語 Summa の頭文字 S の翻字である。この記号は、LaTeX においては \sum、HTML においては文字参照 ∑ を用いて表わされる。また、∑ の上下の添字は、添え字 i の値を 1 より始めて n まで順に動かすことを表す。総和は、線型性を持つ演算である。

$\sum _{i=a}^{b}\left(x_{i}+y_{i}\right)=\left(\sum _{i=a}^{b}x_{i}\right)+\left(\sum _{i=a}^{b}y_{i}\right),$

$\sum _{i=a}^{b}\lambda x_{i}=\lambda \sum _{i=a}^{b}x_{i}.$

また、有限集合 R の濃度を n とすると、R は有限の順序数 n で添え字付けられるので、R の全ての元に適当に番号を振って x₁, x₂, ..., x_n とすれば、集合 R の元すべての総和を定義できる。これを

$\sum R=\sum _{x\in R}x=\sum _{i=1}^{n}x_{i}$

などと記す。もちろん R が空集合であっても構わない。特に、和の定義された集合 M に和に関する単位元（零元）0_M が存在するとき、あるいは基点が定められているとき、便宜的に空集合を添え字集合 I とする列（つまりは空な列）の総和は零元あるいは基点とする。すなわち、

$\sum \emptyset =0_{M}.$

（空和も参照。）

級数

詳細は「級数」および「総和法」を参照

有限和の場合を拡張して、可算無限個の元の列 x₁,x₂, ... に対しても総和を定義することができる。これを特に無限和 (infinite sum)、無限級数 (infinite series) あるいは単に級数（きゅうすう、series）と呼ぶ。

総和と同様に、部分和をとる操作を行う。しかし、この操作は、元が有限個である場合と違って有限回で終了しない。ここで、部分和 s_i の極限を級数の値とする（ただし、チェザロ和などのように値の算出法が異なる総和法も存在する）。部分和の列 s_i が収束または発散することを以って、級数は収束 (converge) あるいは発散 (diverge) するという。与えられた列から作られる級数が収束するとき、その級数の値をもとの列の和と呼ぶ。

可算列 {x_i}_i∈N の級数を記号で

$\sum _{i=1}^{\infty }x_{i}$

と表す。このようにして、可算無限集合の全ての元に対しても、先程と同様に級数として総和を定義することができる。なお上の級数は、

$\sum _{i=1}^{\infty }x_{i}=\sum _{i\in \mathbf {N} }x_{i}$

とも書かれる。

なお一般に（可算とは限らない）無限集合で添え字付けられるような元の族 (x_λ)_λ∈Λ の総和も形式的には

$\sum _{\lambda \in \Lambda }x_{\lambda }$

として表すことができるが、この場合きちんと収束性について調べなければ、これが定義されているのかすら分からない。

絶対収束・条件収束

無限数列の級数

$\sum _{i=1}^{\infty }x_{i}$

に対して

$\sum _{i=1}^{\infty }\left|x_{i}\right|$

が収束する場合、この級数は絶対収束する (converge absolutely) という。絶対収束していれば、級数は収束する。

絶対収束していないが収束する場合、この級数は条件収束する (converge conditionally) という。

注意すべきこととして､有限和に対しては和の順序を変えても結果は変わらないのに対して、無限和の場合には順序を変えると結果が変わってしまうことがあり得る。正確に述べると φ を自然数の集合 N 上の置換とするとき、

$\sum _{i=1}^{\infty }x_{\phi (i)}\neq \sum _{i=1}^{\infty }x_{i}$

となることが起こり得る。

ただし、級数が絶対収束しているならば（有限和の場合と同じく）和の順序を変えても結果は変わらないので、収束性を調べる場合に絶対収束はとても重要な性質の一つになる。

公式

• $\sum _{i=1}^{n}i={\frac {n(n+1)}{2}}$
• $\sum _{i=1}^{n}i^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}$
• $\sum _{i=1}^{n}i^{3}=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}$
• $\sum _{i=1}^{n}i^{4}={\frac {n(n+1)(2n+1)(3n^{2}+3n-1)}{30}}$
• $\sum _{i=1}^{n}i^{5}={\frac {n^{2}(n+1)^{2}(2n^{2}+2n-1)}{12}}$
• $\sum _{i=1}^{n}{i(i+1)(i+2)\cdots (i+k)}={\frac {n(n+1)(n+2)\cdots (n+k+1)}{k+2}}$
• $\sum _{i=0}^{n}i^{m}={\frac {(n+1)^{m+1}}{m+1}}+\sum _{k=1}^{m}{\frac {B_{k}}{m-k+1}}{m \choose k}(n+1)^{m-k+1},$（B_k はベルヌーイ数）
• $\sum _{i=1}^{n}(2i-1)=n^{2}$
• $\sum _{i=0}^{n}x^{i}={\frac {x^{n+1}-1}{x-1}}$
• $\sum _{i=0}^{\infty }x^{i}={\frac {1}{1-x}}\qquad \left(|x|<1\right)$
• $\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}=2^{n}$
• $\sum _{i=0}^{n-1}{i \choose k}={n \choose k+1}$

脚注

参考文献

• 遠山啓 『数学入門（下）』 岩波書店〈岩波新書〉、1960年10月20日、初版、pp. 61-66。2009年3月5日閲覧。

• Marko Petkovsek, Herbert Wilf and Doron Zeilberger: "A=B", A K Peters, Ltd., 1996. url=<https://www.math.upenn.edu/~wilf/AeqB.html> ※ 超幾何級数を用いた総和法など。
• マーコ ペトコブセク、ドロン ザイルバーガー、ハーバート・S. ウィルフ、小林 [ゆう]治 (翻訳)、伊藤 尚史 (翻訳) ：「A=B―等式証明とコンピュータ」(AKピータース・トッパン数理科学シリーズ) 、トッパン、ISBN 978-4810189728（1997年9月）。※上記書籍の邦訳。

関連項目

• 加法
• 級数
• 総乗
• 冪級数
• テイラー級数
• ローラン級数
• フーリエ級数

UpToDate Contents

全文を閲覧するには購読必要です。 To read the full text you will need to subscribe.

• 1. Allergen extracts: Composition, manufacture, and labeling
• 2. 心筋梗塞または不安定狭心症の予後における心電図 electrocardiogram in the prognosis of myocardial infarction or unstable angina
• 3. 強イオンおよび酸塩基障害の解析（スチュワート法） strong ions and the analysis of acid base disturbances stewart approach
• 4. 周産期死亡率 perinatal mortality
• 5. 持続的腹膜透析における溶質クリアランスの測定：Kt/Vとクレアチニンクリアランス measurement of solute clearance in continuous peritoneal dialysis kt v and creatinine clearance

Japanese Journal

• AI最前線(第40回)安全が保証された強化学習 リアプノフ関数で制約満たす方策を導出

• Nikkei robotics (40), 36-38, 2018-11
• NAID 40021700558

• タイセット系における要素の総和と共有変数との相関分析 (非線形問題)

• 電子情報通信学会技術研究報告 = IEICE technical report : 信学技報 118(243), 13-17, 2018-10-18
• NAID 40021713661

• タイセット系における要素の総和と共有変数との相関分析 (回路とシステム)

• 電子情報通信学会技術研究報告 = IEICE technical report : 信学技報 118(242), 13-17, 2018-10-18
• NAID 40021713294

---

★リンクテーブル★

リンク元	「相加」「summation」「合計」
関連記事	「和」

「相加」

　　[★]

英

addition、summation、additional

関

追加、添加、加えること、付加、付加的、さらなる、余分、加重、加算、合計、総和

「summation」

　　[★]

• n.

• 合計、総和、相加、加重

関

addition、additional、sum、weighted

　 　 　 　

「合計」

　　[★]

英

summation、sum

関

相加、要約、和、加重、総和

「和」

　　[★]

英

sum

関

要約、合計