確率変数

英

random variable

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出典(authority):フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』「2017/06/04 17:02:52」(JST)

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確率変数（かくりつへんすう、英: random variable, aleatory variable, stochastic variable）とは、確率論ならびに統計学において、ランダムな実験により得られ得る全ての結果を指す変数である。 数学で言う変数は関数により一義的に決まるのに対し、確率変数は確率に従って定義域内の様々な値を取ることができる。

用語の定義

日本工業規格では、確率変数(かくりつへんすう:random variable)を

どのような値となるかが，ある確率法則によって決まる変数。確率法則は確率分布で記述される。とることができる値が離散的であるか，連続的であるかによって，それぞれ離散（確率）変数，連続（確率）変数という。離散確率変数で表されるデータを計数値 (discrete variable)，連続確率変数で表されるデータを計量値 (continuous variable) という。(JIS Z 8101-1:1999 統計 − 用語と記号 − 第1部:確率および一般統計用語, 1.2 確率変数)

と規定している。

確率変数は、1.これから試行する実験の結果、または 2.既に試行した実験結果が未だ不確かである場合（実験結果が出揃っていない場合や測定結果が不確実である場合など）の実験結果として取り得る値である。 また概念的に、「客観的に」ランダムな過程（サイコロ振りなど）の結果や、定量的な情報が不完全であることに基づく「主観的な」ランダム性を表すこともできる。

確率変数が取り得る値によって確率が意味する処は、確率論自身の一部ではなく、確率の解釈の結果である厳然とした独立変数である。しかし解釈の如何によらず数学を用いることができる。 確率値を表現する数学の関数を確率分布と呼ぶ。

確率変数は離散数（有限または数え上げられる値の一覧で、確率分布の特性である確率質量関数により与えられる。離散確率分布参照。）であっても良いし、連続数（定義域内のあらゆる数値で、確率分布の特性である確率密度関数により与えられる。連続確率分布参照。）であっても良い。さらに両者の混合タイプもあり得る。 確率変数は確率分布に従ってランダムに選ばれた結果の値と言える。

確率変数の数学的な取り扱いは確率論を参照のこと。 本項では、確率変数を標本空間に定義された可測関数から得られた数値として考える。

定義

確率変数$X\colon \Omega \to E$は、その取り得る値 Ω から取り出した部分 E に由来する可測関数である。通常、$E=\mathbb {R}$である。そうでない場合は確率要素として考察する（概念の拡張参照）。Ω と E の両方が可測空間であるために公理的定義が必要とされる（測度論的定義参照）。

実数関数として、X はしばしば実験対象の量を記述する。例えて言えば、ある回数コイントスをした場合に表が出た回数や、様々な人々の身長などである。

X の像（あるいは範囲）が有限もしくは可算集合である時、確率変数は離散確率変数と呼ばれ、その分布は X の像の値それぞれに関連付けられた確率として確率質量関数で記述できる。像が不可算無限集合であるならばXは連続確率変数と呼ばれる。また特別な場合として、絶対連続の場合にはその分布は区間内の確率として確率密度関数で記述される。注意すべき点は、それぞれ独立した「点」で絶対連続な確率変数の値 = 0 であるという事である。全ての連続確率変数が絶対連続だというわけではない。混合分布がその例である。そのような確率変数は確率密度関数または確率質量関数で記述できない。

あらゆる確率変数は累積分布関数で記述できる。累積分布関数とは、確率変数がある値以下である確率を示すものである。

実例

例えば、ランダムに選ばれた人についてその身長を確率変数として得る場合を考える。数学的には、確率変数は 対象となる人→その身長 という関数を意味する。確率変数と関連するのは確率分布であり、妥当にあり得る範囲の確率（身長180cm以上190cm以下である確率や 150cm未満または200cm超である確率）を計算できるようになる。

もう一つの確率変数の例は、ある人に何人の子供が居るかというものである。これは非負の整数値を取る離散的確率変数である。この場合、各整数値での確率を計算することができる（確率質量関数 (PMF)）。また、無限個の仮説を想定することも可能である。例えば、偶数人の子供が居るか、といったものである。何方の場合においても、確率値はPMFの要素の和を無限に取っていくことで求めることができる。子供が0人の可能性 + 子供が2人の可能性 + 子供が4人の可能性 + … という要領である。

このような例では標本空間はしばしば有限に制限される。離散値を無限に計算していくのが数学的に困難だからである。しかしアウトカムの標本空間内で2つの確率変数が同時に測定される場合、すなわちある人について身長と子供の数とを同時に調査する場合などは、両変数に相関関係があるのか否かを知るのは容易である。

概念の拡張

統計学における基本として、確率変数がとる値は実数であり、従って期待値や分散その他の値を計算することができる。しかし、ブール変数、カテゴリカル変数、複素数ベクトル、乱数ベクトル、ランダム行列、乱数列、樹形図、データセット、ランダムな形、ランダムな多様体、ランダム関数、確率過程等もまた考えられる。確率要素という用語はこれら全ての概念を指し示す。

もう1つの拡張は確率過程、すなわち時間や空間などで添字付けられた添字付き確率変数である。

この様な、より一般化された概念は計算機科学や自然言語処理といった非数的要素を扱う分野で特に有用である。これらの確率要素は実数値の確率変数（主に乱数ベクトル）として取り扱えることが多い。

下記に実例を上げる。

• 「ランダムな単語」は語彙集合の中で整数を添字としてパラメータ化することができる。あるいは、単語に対応する特定のベクトル要素一つのみが1で他の全ての要素が0である様な指示ベクトルとして、表現し得る。
• 「ランダムな文章」はランダムな単語のベクトルとしてパラメータ化することができる。
• 数学においてV本の辺を持つ「ランダムなグラフ」は、N × N 行列を用いて各辺の重みならびに辺以外での値を0として表すことができる。（グラフに重み付けがない場合、辺の値は1とする）

要素の数値化は、非数的な独立した確率要素を扱う際の必須操作ではない。

実例

コイントスを実施した時の実験結果は標本空間$\Omega =\{{\text{heads}},{\text{tails}}\}$で記述される。表が出る方に掛けるとしてここから実測確率変数 Y を導くと、

${\displaystyle Y(\omega )={\begin{cases}1,&{\text{if}}\ \ \omega ={\text{heads}},\\\ ==Wikipedia preview== ==Wikipedia preview==$出典(authority):フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』「2017/09/17 11:18:09」(JST) ====[http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%A2%BA%E7%8E%87%E5%A4%89%E6%95%B0 wiki ja]====

確率変数（かくりつへんすう、英: random variable, aleatory variable, stochastic variable）とは、確率論ならびに統計学において、ランダムな実験により得られ得る全ての結果を指す変数である。 数学で言う変数は関数により一義的に決まるのに対し、確率変数は確率に従って定義域内の様々な値を取ることができる。

用語の定義

日本工業規格では、確率変数(かくりつへんすう:random variable)を

どのような値となるかが，ある確率法則によって決まる変数。確率法則は確率分布で記述される。とることができる値が離散的であるか，連続的であるかによって，それぞれ離散（確率）変数，連続（確率）変数という。離散確率変数で表されるデータを計数値 (discrete variable)，連続確率変数で表されるデータを計量値 (continuous variable) という。(JIS Z 8101-1:1999 統計 − 用語と記号 − 第1部:確率および一般統計用語, 1.2 確率変数)

と規定している。

確率変数は、1.これから試行する実験の結果、または 2.既に試行した実験結果が未だ不確かである場合（実験結果が出揃っていない場合や測定結果が不確実である場合など）の実験結果として取り得る値である。 また概念的に、「客観的に」ランダムな過程（サイコロ振りなど）の結果や、定量的な情報が不完全であることに基づく「主観的な」ランダム性を表すこともできる。

確率変数が取り得る値によって確率が意味する処は、確率論自身の一部ではなく、確率の解釈の結果である厳然とした独立変数である。しかし解釈の如何によらず数学を用いることができる。 確率値を表現する数学の関数を確率分布と呼ぶ。

確率変数は離散数（有限または数え上げられる値の一覧で、確率分布の特性である確率質量関数により与えられる。離散確率分布参照。）であっても良いし、連続数（定義域内のあらゆる数値で、確率分布の特性である確率密度関数により与えられる。連続確率分布参照。）であっても良い。さらに両者の混合タイプもあり得る。 確率変数は確率分布に従ってランダムに選ばれた結果の値と言える。

確率変数の数学的な取り扱いは確率論を参照のこと。 本項では、確率変数を標本空間に定義された可測関数から得られた数値として考える。

定義

確率変数$X\colon \Omega \to E$は、その取り得る値 Ω から取り出した部分 E に由来する可測関数である。通常、$E=\mathbb {R}$である。そうでない場合は確率要素として考察する（概念の拡張参照）。Ω と E の両方が可測空間であるために公理的定義が必要とされる（測度論的定義参照）。

実数関数として、X はしばしば実験対象の量を記述する。例えて言えば、ある回数コイントスをした場合に表が出た回数や、様々な人々の身長などである。

X の像（あるいは範囲）が有限もしくは可算集合である時、確率変数は離散確率変数と呼ばれ、その分布は X の像の値それぞれに関連付けられた確率として確率質量関数で記述できる。像が不可算無限集合であるならばXは連続確率変数と呼ばれる。また特別な場合として、絶対連続の場合にはその分布は区間内の確率として確率密度関数で記述される。注意すべき点は、それぞれ独立した「点」で絶対連続な確率変数の値 = 0 であるという事である。全ての連続確率変数が絶対連続だというわけではない。混合分布がその例である。そのような確率変数は確率密度関数または確率質量関数で記述できない。

あらゆる確率変数は累積分布関数で記述できる。累積分布関数とは、確率変数がある値以下である確率を示すものである。

実例

例えば、ランダムに選ばれた人についてその身長を確率変数として得る場合を考える。数学的には、確率変数は 対象となる人→その身長 という関数を意味する。確率変数と関連するのは確率分布であり、妥当にあり得る範囲の確率（身長180cm以上190cm以下である確率や 150cm未満または200cm超である確率）を計算できるようになる。

もう一つの確率変数の例は、ある人に何人の子供が居るかというものである。これは非負の整数値を取る離散的確率変数である。この場合、各整数値での確率を計算することができる（確率質量関数 (PMF)）。また、無限個の仮説を想定することも可能である。例えば、偶数人の子供が居るか、といったものである。何方の場合においても、確率値はPMFの要素の和を無限に取っていくことで求めることができる。子供が0人の可能性 + 子供が2人の可能性 + 子供が4人の可能性 + … という要領である。

このような例では標本空間はしばしば有限に制限される。離散値を無限に計算していくのが数学的に困難だからである。しかしアウトカムの標本空間内で2つの確率変数が同時に測定される場合、すなわちある人について身長と子供の数とを同時に調査する場合などは、両変数に相関関係があるのか否かを知るのは容易である。

概念の拡張

統計学における基本として、確率変数がとる値は実数であり、従って期待値や分散その他の値を計算することができる。しかし、実数以外の要素を値としてとる確率変数も考えられる。値として取る要素としては、ブール変数、カテゴリカル変数、複素数ベクトル、ベクトル、行列、数列、樹形図、コンパクト集合、図形、多様体、関数等が考えられる。確率要素という用語はこれら全ての概念を指し示す。

もう1つの拡張は確率過程、すなわち時間や空間などで添字付けられた添字付き確率変数である。

この様な、より一般化された概念は計算機科学や自然言語処理といった非数的要素を扱う分野で特に有用である。これらの確率要素は実数値の確率変数（主に乱数ベクトル）として取り扱えることが多い。

下記に実例を上げる。

• 「ランダムな単語」は語彙集合の中で整数を添字としてパラメータ化することができる。あるいは、単語に対応する特定のベクトル要素一つのみが1で他の全ての要素が0である様な指示ベクトルとして、表現し得る。
• 「ランダムな文章」はランダムな単語のベクトルとしてパラメータ化することができる。
• 数学においてV本の辺を持つ「ランダムなグラフ」は、N × N 行列を用いて各辺の重みならびに辺以外での値を0として表すことができる。（グラフに重み付けがない場合、辺の値は1とする）

要素の数値化は、非数的な独立した確率要素を扱う際の必須操作ではない。

実例

コイントスを実施した時の実験結果は標本空間$\Omega =\{{\text{heads}},{\text{tails}}\}$で記述される。表が出る方に掛けるとしてここから実測確率変数 Y を導くと、

$Y(\omega )={\begin{cases}1,&{\text{if}}\ \ \omega ={\text{heads}},\\\,&{\text{if}}\ \ \omega ={\text{tails}}.\end{cases}},&{\text{if}}\ \ \omega ={\text{tails}}.\end{cases}}}$ となる。

コインの表 (head) と裏 (tail) が出る確率が等しい時、確率質量関数 $f_{Y}$ は次式の通りである。

$f_{Y}(y)={\begin{cases}{\tfrac {1}{2}},&{\text{if }}y=1,\\\\{\tfrac {1}{2}},&{\text{if }}y=0.\end{cases}}$

標本空間を2つのサイコロを振ったときに可能な目の組合せの集合とし、注目する確率変数を2つのサイコロの目の和Sとした場合、離散確率変数Sの分布は、図のサイコロの高さで示される確率質量関数である。

確率変数は、サイコロ振りで起こりえる事象を考察する時も同様に利用できる。 2つのサイコロを振って出た目の和を確率変数Xと定義する。この場合のもっとも明瞭な表現は、"2つのサイコロを振って出た目"という標本空間の上に数を表現するために、{1, 2, 3, 4, 5, 6} から、数n₁ と n₂の対の集合を取ることである。そして、注目の確率変数Xは、この対から和

$X((n_{1},n_{2}))=n_{1}+n_{2}$

への写像であるような関数として定義される。

この時、確率質量関数 ƒ_X は、下記の式で与えられる。

$f_{X}(S)={\tfrac {\min(S-1,13-S)}{36}},{\text{for }}S\in \{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\}$

連続値の例として、水平方向に回るルーレットを挙げることができる。ここで「確率変数＝ルーレットの向き」である。 この"向き"は東西南北の他にもあらゆる方向を指すので、その標本空間の表現には実数が相応しい。 これは真北方向と成す角度で表現できる。 確率変数X=角度とすると、その値は区間[0, 360)（0度以上360度未満）の実数であり、全ての値が取る確率が等しいと期待される。 区間内のあらゆる実数の期待値は0であるが、ある範囲内の角度を成す確率は正の値である。 例えば、[0, 180]（0度以上180度以下）となる確率は¹⁄₂である。 確率質量関数の代わりに、Xの確率密度を考えると、1度の確率密度は¹⁄₃₆₀になる。 [0, 360)の範囲の確率は¹⁄₃₆₀ずつの確率を足していく事で計算できる。 一般に、連続確率変数の値は取り得る範囲の値を積分することで計算できる。

混合タイプの確率変数としては例えば、コインを投げて表が出た時のみルーレットを回すという事を考えることができる。 コインが裏であれば X = −1、表であれば X = ルーレットの角度 とすると、 この確率変数は¹⁄₂の確率で −1、その他の数[0, 360)である確率は上記の例の半分である。

測度論的定義

詳細は「測度論」を参照

最も形式的に言うと、確率関数の公理的定義は測度論を内包する。 連続確率変数は、確率関数と共に数の集合として定義される。 集合が充分に制約されていない場合には種々の問題（バナッハ＝タルスキーのパラドックス）が起こるので、σ-集合代数を導入（して集合を制約）する必要がある。 通常、ボレルσ-集合代数を用いる事で、どんな集合に対しても数の連続区間あるいは有限または可算無限の和集合の数、および／またはそのような区間の共通部分を用いることができる様になる。

測度論的定義は下記の通りである。

$(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$を確率空間、$(E,{\mathcal {E}})$を可測空間とする。 すると$(E,{\mathcal {E}})$の値を持つ確率変数は(${\mathcal {F}},{\mathcal {E}}$-)可測関数 $X\colon \Omega \to E$である。 これは、全ての部分集合$B\in {\mathcal {E}}$において、$X^{-1}(B)=\{\omega :X(\omega )\in B\}$である時の原像$X^{-1}(B)\in {\mathcal {F}}$　を意味している。 この定義は、可測であると仮定される原像に着目することで観察空間内の全ての部分集合$B\in {\mathcal {E}}$を可測にする。

Eが位相空間である時、最も一般的なσ-集合代数${\mathcal {E}}$はボレルσ-集合代数${\mathcal {B}}(E)$である。これは、Eの全ての開集合のコレクションから生成されたσ-集合代数である。このとき、$(E,{\mathcal {E}})$の値を持つ確率変数をE-valued random variableと呼ぶ。さらに、空間Eが数直線$\mathbb {R}$である時、その様な実数確率変数を単に確率変数という。

実数確率変数

ここでは観測値を実数とする。$(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$が確率空間である。 下記の場合、実測値空間として、関数$X\colon \Omega \rightarrow \mathbb {R}$を実数確率変数とする。

$\{\omega :X(\omega )\leq r\}\in {\mathcal {F}}\qquad \forall r\in \mathbb {R} .$

この定義は上記の特別な場合である。 集合$\{(-\infty ,r]:r\in \mathbb {R} \}$が実数空間内にボレル完全加法族を成し、それが集合の可測性を示す十分条件だからである。 これで$\{\omega :X(\omega )\leq r\}=X^{-1}((-\infty ,r])$を用いて生成する集合の可測性が証明される。

確率変数の分布関数

確率変数$X\colon \Omega \to \mathbb {R}$が確率空間$(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$内に定義されたとすると、「Xの値が2に等しい確率はどれほどか？」等と問うことができる。 これは事象$\{\omega :X(\omega )=2\}\,\!$の確率と同じであり、しばしば短く$P(X=2)\,\!$や$p_{X}(2)$と記述される。

実数確率変数Xが示す範囲の確率を全て記録すると、Xの確率分布が得られる。 確率分布はXの定義に使われた特定の確率空間を「忘れる」ので、Xの様々な値の確率を記録するのみである。 この様な確率分布は常に累積分布関数で捉えることができる。

$F_{X}(x)=\operatorname {P} (X\leq x)$

加えて確率密度関数$p_{X}$を使える場合も多い。 測度論的には確率変数Xは、Ω 上での P の測定から R 上での$p_{X}$の測定に「押し進める」物、と言える。根底にある確率空間Ωは確率変数の存在を保証するツールであり、しばしば変数を構成し、同一確率空間内の2つ以上の変数の同時分布における相関・依存や独立性の基礎となる。実際は、空間 Ω 全体に1つの変数を置き、数直線 R 全体で1つの変数とする。つまり、その変数が確率変数に代わって確率分布する。

モーメント

詳細は「モーメント (確率論)」を参照

確率変数の確率分布は、多くの場合実用的な意味を持つ少数のパラメータで規定される。例として、「平均値」は確率変数の期待値（E[X]）の数学的概念として捉えられ、一次モーメントと呼ばれる。一般に、E[f(X)] は f(E[X]) と等しくない。「平均値」が判ると次にXの値が平均値からどれほど離れているのかが次の疑問となる。その問いに答えるのが確率変数の分散および標準偏差である。E[X]は要素数が無限個の当該母集団から得られた平均値として直感的に了解できる。

数学的には、与えられた確率変数Xが所属する母集団に関する（一般化された）モーメント問題として知られ、確率変数Xの分布の性質を示す期待値E[f_i(X)]の関数のコレクション{f_i}である。

モーメントは確率変数が実数関数である場合（複素数等についても）に定義できる。確率変数自身が連続であるならば、変数のモーメント自身は確率変数の恒等関数$f(X)=X$と等価である。しかし、非実数の確率変数の場合にも、モーメントをその変数の実数関数として得ることができる。例えば、名義尺度変数Xとして「赤」、「青」、「緑」がある場合、実数関数$[X={\text{green}}]$を考えることができる。こうしてアイバーソンの記法を用いることで、Xが「緑」の時は1、それ以外は0と記述できるので、期待値および他のモーメントを定義できる。

確率変数の関数

実数のボレル可測関数$g\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$を実数値確率変数Xに適用すると、新たな確率変数Yを定義することができる。Y の累積分布関数は、

$F_{Y}(y)=\operatorname {P} (g(X)\leq y)$

である。

関数gに逆関数g⁻¹が定義可能であり、かつそれが増加関数かまたは減少関数である場合には、 上記の関係は以下のように展開できる。

$$ F Y ( y ) = P ⁡ ( g ( X ) ≤ y ) {\displaystyle F_{Y}(y)=\operatorname {P} (g(X)\leq y)}
	$={\begin{cases}\operatorname {P} (X\leq g^{-1}(y))=F_{X}(g^{-1}(y)),&\,\\\operatorname {P} (X\geq g^{-1}(y))=1-F_{X}(g^{-1}(y)),\,\end{cases}}$	(g−1が増加関数の場合),
		(g−1が減少関数の場合) .

さらに、同じくgの可逆性に加えて微分可能性も仮定すると、両辺をyで微分することにより、確率密度関数の関係を下記の様に記述できる。

$f_{Y}(y)=f_{X}(g^{-1}(y))\left|{\frac {dg^{-1}(y)}{dy}}\right|$

gの逆関数が存在しない場合でも、それぞれのyが高々可算個の根を持つ場合（すなわち、y = g(x_i)であるx_iの数が有限または可算無限の場合）には、上記の確率密度関数の関係は次のように一般化できる。

$f_{Y}(y)=\sum _{i}f_{X}(g_{i}^{-1}(y))\left|{\frac {dg_{i}^{-1}(y)}{dy}}\right|$

ただしx_i = g_i⁻¹(y)

この式はgが増加関数でなくとも成立する。

確率に対する公理的アプローチとしての測度論において、空間$\Omega \,\!$上の確率変数$X\!$およびボレル可測関数$g\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$を取る。可測関数を合成したものもまた可測である（しかし、$g$がルベーグ可測の場合はその限りではない)ため、$Y=g(X)\,\!$も又空間$\Omega \,\!$上の確率変数である。$Y\,\!$の分布を知るために、確率空間$(\Omega ,P)\,\!$から$(\mathbb {R} ,dF_{X})$への移行と同じ手順を利用できる。

例1

Xを実数の連続確率分布とした時、Y = X²とすると、

$F_{Y}(y)=\operatorname {P} (X^{2}\leq y)$

y < 0 の時は $\operatorname {P} (X^{2}\leq y)=0$ であるので、

$F_{Y}(y)=0$　（ただし$y<0$）である。

y ≥ 0 の時は $\operatorname {P} (X^{2}\leq y)=\operatorname {P} (|X|\leq {\sqrt {y}})=\operatorname {P} (-{\sqrt {y}}\leq X\leq {\sqrt {y}})$ であるので、

$F_{Y}(y)=F_{X}({\sqrt {y}})-F_{X}(-{\sqrt {y}})$　（ただし$y\geq 0$）である。

例2

$x$は、累積分布関数が

$F_{X}(x)=P(X\leq x)={\frac {1}{(1+e^{-x})^{\theta }}}$

であるような確率変数とする。ただし$\theta >0$ は固定されたパラメーターである。 確率変数Yを$Y=\mathrm {log} (1+e^{-X}).$ とすると、

$F_{Y}(y)=P(Y\leq y)=P(\mathrm {log} (1+e^{-X})\leq y)=P(X>-\mathrm {log} (e^{y}-1)).\,$

最後の表現はXの累積分布関数で計算できる。すなわち

$F_{Y}(y)=1-F_{X}(-\mathrm {log} (e^{y}-1))\,$

$=1-{\frac {1}{(1+e^{\mathrm {log} (e^{y}-1)})^{\theta }}}$

$=1-{\frac {1}{(1+e^{y}-1)^{\theta }}}$

$=1-e^{-y\theta }.\,$

例3

$\scriptstyle X$が標準正規分布に従う確率変数であるとすると、その密度は下記の通りである。

$f_{X}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-x^{2}/2}$

確率変数$\scriptstyle Y=X^{2}.$を考えると、上記の式を変数変換して密度を下記のように表すことができる。

$f_{Y}(y)=\sum _{i}f_{X}(g_{i}^{-1}(y))\left|{\frac {dg_{i}^{-1}(y)}{dy}}\right|$

この場合、$\scriptstyle Y$の値は2つの$\scriptstyle X$（正の値と負の値）に対応するので、変換は単調写像ではない。 しかし、関数が対称であるので、両半分をそれぞれ変形することができる。すなわち、

$f_{Y}(y)=2f_{X}(g^{-1}(y))\left|{\frac {dg^{-1}(y)}{dy}}\right|$

である。この逆変換は、

$x=g^{-1}(y)={\sqrt {y}}$

であり、両辺を微分すると

${\frac {dg^{-1}(y)}{dy}}={\frac {1}{2{\sqrt {y}}}}$

である。従って、

$f_{Y}(y)=2{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-y/2}{\frac {1}{2{\sqrt {y}}}}={\frac {1}{\sqrt {2\pi y}}}e^{-y/2}$

これは自由度1のχ²分布である。

確率変数の同値性

確率変数が同値と見なされるには「等しい」「ほとんど確実に等しい」「分布が等しい」といった、いくつかの異なる意味がある。強さの順に並べると、これらの正確な定義は以下の通り。

分布が等しい

標本空間が実数直線の部分集合の場合、確率変数 X と Y の分布が等しいとは（ $X{\stackrel {d}{=}}Y$ と表記する）下記のように同じ分布関数を持つことである。

$\operatorname {P} (X\leq x)=\operatorname {P} (Y\leq x)\quad {\hbox{for all}}\quad x.$

2つの確率変数は同じ積率母関数を持つ時に同じ分布になる。この事実は、例えば独立同一分布の確率変数による複数の異なった関数が同じ分布になるかどうかを調べるための便利な方法を提供する。しかしながら、積率母関数が存在するのは、ラプラス変換が定義される分布関数に対してのみである。

ほとんど確実に等しい

2つの確率変数 X と Y が「ほとんど確実に等しい」とは、その2つが異なる確率が0であることと同値である。

$\operatorname {P} (X\neq Y)=0.$

これは、以下で定義される距離が0であることも同値である。

$d_{\infty }(X,Y)=\mathrm {ess} \sup _{\omega }|X(\omega )-Y(\omega )|,$

(ただし、ess sup は測度論の意味での本質的上限)

確率論におけるすべての現実的な目的に関して、この同値性の概念は実際に等しい場合と同等の強さをもつ。

等しい

最後に、2つの確率変数 X と Y が等しいとは、それらが定義される可測空間上の関数として等しいことを指す。

$X(\omega )=Y(\omega )\qquad {\hbox{for all }}\omega \in \Omega$

収束

詳細は「確率変数の収束」を参照

数理統計学の重要なテーマは、例えば大数の法則や中心極限定理のように、ある確率変数の特定の列の収束結果を得る事である。

確率変数列（X_n）を確率変数Xに収束させる方法は様々な物がある。 詳細は確率変数の収束で説明する。

関連項目

• en:Aleatoricism
• en:Algebra of random variables
• en:Event (probability theory)
• en:Multivariate random variable
• en:Observable variable
• en:Random function
• en:Random measure
• 確率論
• 確率分布
• 確率要素
• ランダム
• 確率過程

注

参考文献

• 西岡康夫 『数学チュートリアル やさしく語る 確率統計』 オーム社、2013年。ISBN 9784274214073。
• 伏見康治 『確率論及統計論』 河出書房、1942年。ISBN 9784874720127。
• 日本数学会 『数学辞典』 岩波書店、2007年。ISBN 9784000803090。
• “JIS Z 8101-1:1999 統計 − 用語と記号 − 第1部 :確率及び一般統計用語”. 日本規格協会. 2016年7月6日閲覧。

• Fristedt, Bert; Gray, Lawrence (1996). A modern approach to probability theory. Boston: Birkhäuser. ISBN 3-7643-3807-5. http://books.google.com/books/about/A_Modern_Approach_to_Probability_Theory.html?id=5D5O8xyM-kMC. 
• Kallenberg, Olav (1986). Random Measures (4th ed.). Berlin: Akademie Verlag. ISBN 0-12-394960-2. MR MR0854102. http://books.google.com/books/about/Random_measures.html?id=bBnvAAAAMAAJ. 
• Kallenberg, Olav (2001). Foundations of Modern Probability (2nd ed.). Berlin: Springer Verlag. ISBN 0-387-95313-2. http://books.google.de/books/about/Foundations_of_Modern_Probability.html?hl=de&id=L6fhXh13OyMC. 
• Papoulis, Athanasios (1965). Probability, Random Variables, and Stochastic Processes (9th ed.). Tokyo: McGraw–Hill. ISBN 0-07-119981-0. http://www.mhhe.com/engcs/electrical/papoulis/. 

外部リンク

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), “Random variable”, Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104, http://eom.springer.de/p/r077360.htm 
• Zukerman, Moshe (2014), Introduction to Queueing Theory and Stochastic Teletraffic Models, http://www.ee.cityu.edu.hk/~zukerman/classnotes.pdf 
• Zukerman, Moshe (2014), Basic Probability Topics, http://www.ee.cityu.edu.hk/~zukerman/probability.pdf 

,&{\text{if}}\ \ \omega ={\text{tails}}.\end{cases}}}</annotation>

 </semantics>

</math> となる。

コインの表 (head) と裏 (tail) が出る確率が等しい時、確率質量関数 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" > <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>Y</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f_{Y}}</annotation> </semantics> </math> は次式の通りである。

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" > <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>Y</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>{</mo> <mtable columnalign="left left" rowspacing=".2em" columnspacing="1em" displaystyle="false"> <mtr> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mo>,</mo> </mtd> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>if </mtext> </mrow> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mo>,</mo> </mtd> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>if </mtext> </mrow> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <mn>0.</mn> </mtd> </mtr> </mtable> <mo fence="true" stretchy="true"></mo> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f_{Y}(y)={\begin{cases}{\tfrac {1}{2}},&{\text{if }}y=1,\\\\{\tfrac {1}{2}},&{\text{if }}y=0.\end{cases}}}</annotation> </semantics> </math>

標本空間を2つのサイコロを振ったときに可能な目の組合せの集合とし、注目する確率変数を2つのサイコロの目の和Sとした場合、離散確率変数Sの分布は、図のサイコロの高さで示される確率質量関数である。

確率変数は、サイコロ振りで起こりえる事象を考察する時も同様に利用できる。 2つのサイコロを振って出た目の和を確率変数Xと定義する。この場合のもっとも明瞭な表現は、"2つのサイコロを振って出た目"という標本空間の上に数を表現するために、{1, 2, 3, 4, 5, 6} から、数n₁ と n₂の対の集合を取ることである。そして、注目の確率変数Xは、この対から和

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" > <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>X</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msub> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X((n_{1},n_{2}))=n_{1}+n_{2}}</annotation> </semantics> </math>

への写像であるような関数として定義される。

この時、確率質量関数 ƒ_X は、下記の式で与えられる。

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" > <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>X</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>S</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <mrow> <mo movablelimits="true" form="prefix">min</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>S</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>13</mn> <mo>−</mo> <mi>S</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mn>36</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>for </mtext> </mrow> <mi>S</mi> <mo>∈</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mn>3</mn> <mo>,</mo> <mn>4</mn> <mo>,</mo> <mn>5</mn> <mo>,</mo> <mn>6</mn> <mo>,</mo> <mn>7</mn> <mo>,</mo> <mn>8</mn> <mo>,</mo> <mn>9</mn> <mo>,</mo> <mn>10</mn> <mo>,</mo> <mn>11</mn> <mo>,</mo> <mn>12</mn> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f_{X}(S)={\tfrac {\min(S-1,13-S)}{36}},{\text{for }}S\in \{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\}}</annotation> </semantics> </math>

連続値の例として、水平方向に回るルーレットを挙げることができる。ここで「確率変数＝ルーレットの向き」である。 この"向き"は東西南北の他にもあらゆる方向を指すので、その標本空間の表現には実数が相応しい。 これは真北方向と成す角度で表現できる。 確率変数X=角度とすると、その値は区間[0, 360)（0度以上360度未満）の実数であり、全ての値が取る確率が等しいと期待される。 区間内のあらゆる実数の期待値は0であるが、ある範囲内の角度を成す確率は正の値である。 例えば、[0, 180]（0度以上180度以下）となる確率は¹⁄₂である。 確率質量関数の代わりに、Xの確率密度を考えると、1度の確率密度は¹⁄₃₆₀になる。 [0, 360)の範囲の確率は¹⁄₃₆₀ずつの確率を足していく事で計算できる。 一般に、連続確率変数の値は取り得る範囲の値を積分することで計算できる。

混合タイプの確率変数としては例えば、コインを投げて表が出た時のみルーレットを回すという事を考えることができる。 コインが裏であれば X = −1、表であれば X = ルーレットの角度 とすると、 この確率変数は¹⁄₂の確率で −1、その他の数[0, 360)である確率は上記の例の半分である。

測度論的定義

詳細は「測度論」を参照

最も形式的に言うと、確率関数の公理的定義は測度論を内包する。 連続確率変数は、確率関数と共に数の集合として定義される。 集合が充分に制約されていない場合には種々の問題（バナッハ＝タルスキーのパラドックス）が起こるので、σ-集合代数を導入（して集合を制約）する必要がある。 通常、ボレルσ-集合代数を用いる事で、どんな集合に対しても数の連続区間あるいは有限または可算無限の和集合の数、および／またはそのような区間の共通部分を用いることができる様になる。

測度論的定義は下記の通りである。

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" > <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi mathvariant="normal">Ω</mi> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">F</mi> </mrow> </mrow> <mo>,</mo> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}</annotation> </semantics> </math>を確率空間、<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" > <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>E</mi> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">E</mi> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (E,{\mathcal {E}})}</annotation> </semantics> </math>を可測空間とする。 すると<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" > <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>E</mi> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">E</mi> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (E,{\mathcal {E}})}</annotation> </semantics> </math>の値を持つ確率変数は(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" > <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">F</mi> </mrow> </mrow> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">E</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {F}},{\mathcal {E}}}</annotation> </semantics> </math>-)可測関数 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" > <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>X</mi> <mo>:</mo> <mi mathvariant="normal">Ω</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>E</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X\colon \Omega \to E}</annotation> </semantics> </math>である。 これは、全ての部分集合<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" > <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>B</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">E</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B\in {\mathcal {E}}}</annotation> </semantics> </math>において、<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" > <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>X</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>B</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mi>ω</mi> <mo>:</mo> <mi>X</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>ω</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∈</mo> <mi>B</mi> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X^{-1}(B)=\{\omega :X(\omega )\in B\}}</annotation> </semantics> </math>である時の原像<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" > <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>X</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>B</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">F</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X^{-1}(B)\in {\mathcal {F}}}</annotation> </semantics> </math>　を意味している。 この定義は、可測であると仮定される原像に着目することで観察空間内の全ての部分集合<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" > <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>B</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">E</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B\in {\mathcal {E}}}</annotation> </semantics> </math>を可測にする。

Eが位相空間である時、最も一般的なσ-集合代数<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" > <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">E</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {E}}}</annotation> </semantics> </math>はボレルσ-集合代数<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" > <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">B</mi> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>E</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {B}}(E)}</annotation> </semantics> </math>である。これは、Eの全ての開集合のコレクションから生成されたσ-集合代数である。このとき、<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" > <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>E</mi> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">E</mi> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (E,{\mathcal {E}})}</annotation> </semantics> </math>の値を持つ確率変数をE-valued random variableと呼ぶ。さらに、空間Eが数直線<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" > <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math>である時、その様な実数確率変数を単に確率変数という。

実数確率変数

ここでは観測値を実数とする。<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" > <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi mathvariant="normal">Ω</mi> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">F</mi> </mrow> </mrow> <mo>,</mo> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}</annotation> </semantics> </math>が確率空間である。 下記の場合、実測値空間として、関数<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" > <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>X</mi> <mo>:</mo> <mi mathvariant="normal">Ω</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X\colon \Omega \rightarrow \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math>を実数確率変数とする。

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" > <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mi>ω</mi> <mo>:</mo> <mi>X</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>ω</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>≤</mo> <mi>r</mi> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">F</mi> </mrow> </mrow> <mspace width="2em" /> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>r</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \{\omega :X(\omega )\leq r\}\in {\mathcal {F}}\qquad \forall r\in \mathbb {R} .}</annotation> </semantics> </math>

この定義は上記の特別な場合である。 集合<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" > <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mi mathvariant="normal">∞</mi> <mo>,</mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">]</mo> <mo>:</mo> <mi>r</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \{(-\infty ,r]:r\in \mathbb {R} \}}</annotation> </semantics> </math>が実数空間内にボレル完全加法族を成し、それが集合の可測性を示す十分条件だからである。 これで<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" > <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mi>ω</mi> <mo>:</mo> <mi>X</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>ω</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>≤</mo> <mi>r</mi> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> <mo>=</mo> <msup> <mi>X</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mi mathvariant="normal">∞</mi> <mo>,</mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">]</mo> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \{\omega :X(\omega )\leq r\}=X^{-1}((-\infty ,r])}</annotation> </semantics> </math>を用いて生成する集合の可測性が証明される。

確率変数の分布関数

確率変数<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" > <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>X</mi> <mo>:</mo> <mi mathvariant="normal">Ω</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X\colon \Omega \to \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math>が確率空間<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" > <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi mathvariant="normal">Ω</mi> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">F</mi> </mrow> </mrow> <mo>,</mo> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}</annotation> </semantics> </math>内に定義されたとすると、「Xの値が2に等しい確率はどれほどか？」等と問うことができる。 これは事象<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" > <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mi>ω</mi> <mo>:</mo> <mi>X</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>ω</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mspace width="negativethinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \{\omega :X(\omega )=2\}\,\!}</annotation> </semantics> </math>の確率と同じであり、しばしば短く<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" > <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>X</mi> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mspace width="negativethinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P(X=2)\,\!}</annotation> </semantics> </math>や<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" > <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>X</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>2</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p_{X}(2)}</annotation> </semantics> </math>と記述される。

実数確率変数Xが示す範囲の確率を全て記録すると、Xの確率分布が得られる。 確率分布はXの定義に使われた特定の確率空間を「忘れる」ので、Xの様々な値の確率を記録するのみである。 この様な確率分布は常に累積分布関数で捉えることができる。

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" > <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>X</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi mathvariant="normal">P</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>X</mi> <mo>≤</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{X}(x)=\operatorname {P} (X\leq x)}</annotation> </semantics> </math>

加えて確率密度関数<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" > <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>X</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p_{X}}</annotation> </semantics> </math>を使える場合も多い。 測度論的には確率変数Xは、Ω 上での P の測定から R 上での<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" > <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>X</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p_{X}}</annotation> </semantics> </math>の測定に「押し進める」物、と言える。根底にある確率空間Ωは確率変数の存在を保証するツールであり、しばしば変数を構成し、同一確率空間内の2つ以上の変数の同時分布における相関・依存や独立性の基礎となる。実際は、空間 Ω 全体に1つの変数を置き、数直線 R 全体で1つの変数とする。つまり、その変数が確率変数に代わって確率分布する。

モーメント

詳細は「モーメント (確率論)」を参照

確率変数の確率分布は、多くの場合実用的な意味を持つ少数のパラメータで規定される。例として、「平均値」は確率変数の期待値（E[X]）の数学的概念として捉えられ、一次モーメントと呼ばれる。一般に、E[f(X)] は f(E[X]) と等しくない。「平均値」が判ると次にXの値が平均値からどれほど離れているのかが次の疑問となる。その問いに答えるのが確率変数の分散および標準偏差である。E[X]は要素数が無限個の当該母集団から得られた平均値として直感的に了解できる。

数学的には、与えられた確率変数Xが所属する母集団に関する（一般化された）モーメント問題として知られ、確率変数Xの分布の性質を示す期待値E[f_i(X)]の関数のコレクション{f_i}である。

モーメントは確率変数が実数関数である場合（複素数等についても）に定義できる。確率変数自身が連続であるならば、変数のモーメント自身は確率変数の恒等関数<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" > <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>X</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>X</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(X)=X}</annotation> </semantics> </math>と等価である。しかし、非実数の確率変数の場合にも、モーメントをその変数の実数関数として得ることができる。例えば、名義尺度変数Xとして「赤」、「青」、「緑」がある場合、実数関数<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" > <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>X</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>green</mtext> </mrow> <mo stretchy="false">]</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [X={\text{green}}]}</annotation> </semantics> </math>を考えることができる。こうしてアイバーソンの記法を用いることで、Xが「緑」の時は1、それ以外は0と記述できるので、期待値および他のモーメントを定義できる。

確率変数の関数

実数のボレル可測関数<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" > <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>g</mi> <mo>:</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mo stretchy="false">→</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math>を実数値確率変数Xに適用すると、新たな確率変数Yを定義することができる。Y の累積分布関数は、

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" > <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>Y</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi mathvariant="normal">P</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>g</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>X</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>≤</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{Y}(y)=\operatorname {P} (g(X)\leq y)}</annotation> </semantics> </math>

である。

関数gに逆関数g⁻¹が定義可能であり、かつそれが増加関数かまたは減少関数である場合には、 上記の関係は以下のように展開できる。

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" > <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>Y</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi mathvariant="normal">P</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>g</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>X</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>≤</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{Y}(y)=\operatorname {P} (g(X)\leq y)}</annotation> </semantics> </math>
	<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" > <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>{</mo> <mtable columnalign="left left" rowspacing=".2em" columnspacing="1em" displaystyle="false"> <mtr> <mtd> <mi mathvariant="normal">P</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>X</mi> <mo>≤</mo> <msup> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>X</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> </mtd> <mtd> <mspace width="thinmathspace" /> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi mathvariant="normal">P</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>X</mi> <mo>≥</mo> <msup> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>X</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mspace width="thinmathspace" /> </mtd> </mtr> </mtable> <mo fence="true" stretchy="true"></mo> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ={\begin{cases}\operatorname {P} (X\leq g^{-1}(y))=F_{X}(g^{-1}(y)),&\,\\\operatorname {P} (X\geq g^{-1}(y))=1-F_{X}(g^{-1}(y)),\,\end{cases}}}</annotation> </semantics> </math>	(g−1が増加関数の場合),
		(g−1が減少関数の場合) .

さらに、同じくgの可逆性に加えて微分可能性も仮定すると、両辺をyで微分することにより、確率密度関数の関係を下記の様に記述できる。

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" > <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>Y</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msub> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>X</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow> <mo>|</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <msup> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>y</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>|</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f_{Y}(y)=f_{X}(g^{-1}(y))\left|{\frac {dg^{-1}(y)}{dy}}\right|}</annotation> </semantics> </math>

gの逆関数が存在しない場合でも、それぞれのyが高々可算個の根を持つ場合（すなわち、y = g(x_i)であるx_iの数が有限または可算無限の場合）には、上記の確率密度関数の関係は次のように一般化できる。

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" > <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>Y</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </munder> <msub> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>X</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <msubsup> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow> <mo>|</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <msubsup> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>y</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>|</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f_{Y}(y)=\sum _{i}f_{X}(g_{i}^{-1}(y))\left|{\frac {dg_{i}^{-1}(y)}{dy}}\right|}</annotation> </semantics> </math>

ただしx_i = g_i⁻¹(y)

この式はgが増加関数でなくとも成立する。

確率に対する公理的アプローチとしての測度論において、空間<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" > <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Ω</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mspace width="negativethinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Omega \,\!}</annotation> </semantics> </math>上の確率変数<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" > <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>X</mi> <mspace width="negativethinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X\!}</annotation> </semantics> </math>およびボレル可測関数<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" > <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>g</mi> <mo>:</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mo stretchy="false">→</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math>を取る。可測関数を合成したものもまた可測である（しかし、<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" > <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>g</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g}</annotation> </semantics> </math>がルベーグ可測の場合はその限りではない)ため、<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" > <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>Y</mi> <mo>=</mo> <mi>g</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>X</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mspace width="negativethinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y=g(X)\,\!}</annotation> </semantics> </math>も又空間<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" > <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Ω</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mspace width="negativethinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Omega \,\!}</annotation> </semantics> </math>上の確率変数である。<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" > <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>Y</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mspace width="negativethinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y\,\!}</annotation> </semantics> </math>の分布を知るために、確率空間<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" > <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi mathvariant="normal">Ω</mi> <mo>,</mo> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mspace width="negativethinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (\Omega ,P)\,\!}</annotation> </semantics> </math>から<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" > <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mi>d</mi> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>X</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (\mathbb {R} ,dF_{X})}</annotation> </semantics> </math>への移行と同じ手順を利用できる。

例1

Xを実数の連続確率分布とした時、Y = X²とすると、

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" > <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>Y</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi mathvariant="normal">P</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>X</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>≤</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{Y}(y)=\operatorname {P} (X^{2}\leq y)}</annotation> </semantics> </math>

y < 0 の時は <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" > <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">P</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>X</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>≤</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {P} (X^{2}\leq y)=0}</annotation> </semantics> </math> であるので、

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" > <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>Y</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{Y}(y)=0}</annotation> </semantics> </math>　（ただし<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" > <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> <mo><</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y<0}</annotation> </semantics> </math>）である。

y ≥ 0 の時は <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" > <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">P</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>X</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>≤</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi mathvariant="normal">P</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>X</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo>≤</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>y</mi> </msqrt> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi mathvariant="normal">P</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>y</mi> </msqrt> </mrow> <mo>≤</mo> <mi>X</mi> <mo>≤</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>y</mi> </msqrt> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {P} (X^{2}\leq y)=\operatorname {P} (|X|\leq {\sqrt {y}})=\operatorname {P} (-{\sqrt {y}}\leq X\leq {\sqrt {y}})}</annotation> </semantics> </math> であるので、

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" > <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>Y</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>X</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>y</mi> </msqrt> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−</mo> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>X</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>y</mi> </msqrt> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{Y}(y)=F_{X}({\sqrt {y}})-F_{X}(-{\sqrt {y}})}</annotation> </semantics> </math>　（ただし<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" > <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> <mo>≥</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y\geq 0}</annotation> </semantics> </math>）である。

例2

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" > <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math>は、累積分布関数が

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" > <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>X</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>X</mi> <mo>≤</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mi>x</mi> </mrow> </msup> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>θ</mi> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{X}(x)=P(X\leq x)={\frac {1}{(1+e^{-x})^{\theta }}}}</annotation> </semantics> </math>

であるような確率変数とする。ただし<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" > <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>θ</mi> <mo>></mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \theta >0}</annotation> </semantics> </math> は固定されたパラメーターである。 確率変数Yを<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" > <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>Y</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">l</mi> <mi mathvariant="normal">o</mi> <mi mathvariant="normal">g</mi> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mi>X</mi> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y=\mathrm {log} (1+e^{-X}).}</annotation> </semantics> </math> とすると、

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" > <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>Y</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>Y</mi> <mo>≤</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">l</mi> <mi mathvariant="normal">o</mi> <mi mathvariant="normal">g</mi> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mi>X</mi> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>≤</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>X</mi> <mo>></mo> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">l</mi> <mi mathvariant="normal">o</mi> <mi mathvariant="normal">g</mi> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>.</mo> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{Y}(y)=P(Y\leq y)=P(\mathrm {log} (1+e^{-X})\leq y)=P(X>-\mathrm {log} (e^{y}-1)).\,}</annotation> </semantics> </math>

最後の表現はXの累積分布関数で計算できる。すなわち

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" > <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>Y</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>X</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">l</mi> <mi mathvariant="normal">o</mi> <mi mathvariant="normal">g</mi> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{Y}(y)=1-F_{X}(-\mathrm {log} (e^{y}-1))\,}</annotation> </semantics> </math>

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" > <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">l</mi> <mi mathvariant="normal">o</mi> <mi mathvariant="normal">g</mi> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>θ</mi> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle =1-{\frac {1}{(1+e^{\mathrm {log} (e^{y}-1)})^{\theta }}}}</annotation> </semantics> </math>

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" > <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>θ</mi> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle =1-{\frac {1}{(1+e^{y}-1)^{\theta }}}}</annotation> </semantics> </math>

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" > <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mi>y</mi> <mi>θ</mi> </mrow> </msup> <mo>.</mo> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle =1-e^{-y\theta }.\,}</annotation> </semantics> </math>

例3

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" > <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="1"> <mi>X</mi> </mstyle> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \scriptstyle X}</annotation> </semantics> </math>が標準正規分布に従う確率変数であるとすると、その密度は下記の通りである。

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" > <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>X</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <msqrt> <mn>2</mn> <mi>π</mi> </msqrt> </mfrac> </mrow> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f_{X}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-x^{2}/2}}</annotation> </semantics> </math>

確率変数<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" > <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="1"> <mi>Y</mi> <mo>=</mo> <msup> <mi>X</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>.</mo> </mstyle> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \scriptstyle Y=X^{2}.}</annotation> </semantics> </math>を考えると、上記の式を変数変換して密度を下記のように表すことができる。

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" > <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>Y</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </munder> <msub> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>X</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <msubsup> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow> <mo>|</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <msubsup> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>y</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>|</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f_{Y}(y)=\sum _{i}f_{X}(g_{i}^{-1}(y))\left|{\frac {dg_{i}^{-1}(y)}{dy}}\right|}</annotation> </semantics> </math>

この場合、<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" > <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="1"> <mi>Y</mi> </mstyle> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \scriptstyle Y}</annotation> </semantics> </math>の値は2つの<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" > <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="1"> <mi>X</mi> </mstyle> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \scriptstyle X}</annotation> </semantics> </math>（正の値と負の値）に対応するので、変換は単調写像ではない。 しかし、関数が対称であるので、両半分をそれぞれ変形することができる。すなわち、

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" > <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>Y</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>X</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow> <mo>|</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <msup> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>y</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>|</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f_{Y}(y)=2f_{X}(g^{-1}(y))\left|{\frac {dg^{-1}(y)}{dy}}\right|}</annotation> </semantics> </math>

である。この逆変換は、

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" > <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <msup> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>y</mi> </msqrt> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x=g^{-1}(y)={\sqrt {y}}}</annotation> </semantics> </math>

であり、両辺を微分すると

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" > <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <msup> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>y</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>y</mi> </msqrt> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {dg^{-1}(y)}{dy}}={\frac {1}{2{\sqrt {y}}}}}</annotation> </semantics> </math>

である。従って、

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" > <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>Y</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <msqrt> <mn>2</mn> <mi>π</mi> </msqrt> </mfrac> </mrow> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>y</mi> </msqrt> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <msqrt> <mn>2</mn> <mi>π</mi> <mi>y</mi> </msqrt> </mfrac> </mrow> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f_{Y}(y)=2{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-y/2}{\frac {1}{2{\sqrt {y}}}}={\frac {1}{\sqrt {2\pi y}}}e^{-y/2}}</annotation> </semantics> </math>

これは自由度1のχ²分布である。

確率変数の同値性

確率変数が同値と見なされるには「等しい」「ほとんど確実に等しい」「分布が等しい」といった、いくつかの異なる意味がある。強さの順に並べると、これらの正確な定義は以下の通り。

分布が等しい

標本空間が実数直線の部分集合の場合、確率変数 X と Y の分布が等しいとは（ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" > <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>X</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-REL"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-OP"> <mo>=</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>d</mi> </mrow> </mover> </mrow> </mrow> <mi>Y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X{\stackrel {d}{=}}Y}</annotation> </semantics> </math> と表記する）下記のように同じ分布関数を持つことである。

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" > <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">P</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>X</mi> <mo>≤</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi mathvariant="normal">P</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>Y</mi> <mo>≤</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="1em" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>for all</mtext> </mrow> <mspace width="1em" /> <mi>x</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {P} (X\leq x)=\operatorname {P} (Y\leq x)\quad {\hbox{for all}}\quad x.}</annotation> </semantics> </math>

2つの確率変数は同じ積率母関数を持つ時に同じ分布になる。この事実は、例えば独立同一分布の確率変数による複数の異なった関数が同じ分布になるかどうかを調べるための便利な方法を提供する。しかしながら、積率母関数が存在するのは、ラプラス変換が定義される分布関数に対してのみである。

ほとんど確実に等しい

2つの確率変数 X と Y が「ほとんど確実に等しい」とは、その2つが異なる確率が0であることと同値である。

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" > <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">P</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>X</mi> <mo>≠</mo> <mi>Y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>0.</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {P} (X\neq Y)=0.}</annotation> </semantics> </math>

これは、以下で定義される距離が0であることも同値である。

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" > <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">∞</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>X</mi> <mo>,</mo> <mi>Y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">e</mi> <mi mathvariant="normal">s</mi> <mi mathvariant="normal">s</mi> </mrow> <munder> <mo movablelimits="true" form="prefix">sup</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>ω</mi> </mrow> </munder> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>X</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>ω</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−</mo> <mi>Y</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>ω</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d_{\infty }(X,Y)=\mathrm {ess} \sup _{\omega }|X(\omega )-Y(\omega )|,}</annotation> </semantics> </math>

(ただし、ess sup は測度論の意味での本質的上限)

確率論におけるすべての現実的な目的に関して、この同値性の概念は実際に等しい場合と同等の強さをもつ。

等しい

最後に、2つの確率変数 X と Y が等しいとは、それらが定義される可測空間上の関数として等しいことを指す。

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" > <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>X</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>ω</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>Y</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>ω</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="2em" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>for all </mtext> </mrow> <mi>ω</mi> <mo>∈</mo> <mi mathvariant="normal">Ω</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X(\omega )=Y(\omega )\qquad {\hbox{for all }}\omega \in \Omega }</annotation> </semantics> </math>

収束

詳細は「確率変数の収束」を参照

数理統計学の重要なテーマは、例えば大数の法則や中心極限定理のように、ある確率変数の特定の列の収束結果を得る事である。

確率変数列（X_n）を確率変数Xに収束させる方法は様々な物がある。 詳細は確率変数の収束で説明する。

関連項目

• en:Aleatoricism
• en:Algebra of random variables
• en:Event (probability theory)
• en:Multivariate random variable
• en:Observable variable
• en:Random function
• en:Random measure
• 確率論
• 確率分布
• 確率要素
• ランダム
• 確率過程

注

参考文献

• 西岡康夫 『数学チュートリアル やさしく語る 確率統計』 オーム社、2013年。ISBN 9784274214073。
• 伏見康治 『確率論及統計論』 河出書房、1942年。ISBN 9784874720127。
• 日本数学会 『数学辞典』 岩波書店、2007年。ISBN 9784000803090。
• “JIS Z 8101-1:1999 統計 − 用語と記号 − 第1部 :確率及び一般統計用語”. 日本規格協会. 2016年7月6日閲覧。

• Fristedt, Bert; Gray, Lawrence (1996). A modern approach to probability theory. Boston: Birkhäuser. ISBN 3-7643-3807-5. http://books.google.com/books/about/A_Modern_Approach_to_Probability_Theory.html?id=5D5O8xyM-kMC. 
• Kallenberg, Olav (1986). Random Measures (4th ed.). Berlin: Akademie Verlag. ISBN 0-12-394960-2. MR MR0854102. http://books.google.com/books/about/Random_measures.html?id=bBnvAAAAMAAJ. 
• Kallenberg, Olav (2001). Foundations of Modern Probability (2nd ed.). Berlin: Springer Verlag. ISBN 0-387-95313-2. http://books.google.de/books/about/Foundations_of_Modern_Probability.html?hl=de&id=L6fhXh13OyMC. 
• Papoulis, Athanasios (1965). Probability, Random Variables, and Stochastic Processes (9th ed.). Tokyo: McGraw–Hill. ISBN 0-07-119981-0. http://www.mhhe.com/engcs/electrical/papoulis/. 

外部リンク

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), “Random variable”, Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104, http://eom.springer.de/p/r077360.htm 
• Zukerman, Moshe (2014), Introduction to Queueing Theory and Stochastic Teletraffic Models, http://www.ee.cityu.edu.hk/~zukerman/classnotes.pdf 
• Zukerman, Moshe (2014), Basic Probability Topics, http://www.ee.cityu.edu.hk/~zukerman/probability.pdf 

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Japanese Journal

• 確率変数の収束と中心極限定理

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• 経済学・経営学学習のために 2012(後期号), 55-62, 2012-10
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• 澤田 好秀,本谷 秀堅
• 電子情報通信学会論文誌. D, 情報・システム J95-D(8), 1541-1553, 2012-08-01
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