期待値

英

expected value、expectation value

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出典(authority):フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』「2015/11/02 06:39:09」(JST)

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確率論において、期待値（きたいち、英: expected value）とは、確率変数の実現値を, 確率の重みで平均した値である。

例えば、ギャンブルでは、掛け金に対して戻ってくる「見込み」の金額をあらわしたものである。ただし、期待値ぴったりに掛け金が戻ることを意味するのではなく、各試行で期待値に等しい掛け金が戻るわけではない。

類義語に平均がある。期待値と同義で使われることもあるが、標本平均を意味する場合もある。

定義

離散型確率変数

確率空間を (Ω, F, P) としたとき、実現値の集合 {x₁ , x₂ , ...} が高々可算個である離散型確率変数に対して、

と書く。

連続型確率変数

確率空間を (Ω, F, P) としたとき、実現値の集合が実数などの連続的な集合である連続型確率変数の場合、期待値は可積分な確率変数 X に対して

で定義される。ただし確率変数 X が可積分であるとは、

を満たすことであり、この積分は抽象的なルベーグ積分である。

事象 A ∈ F に対して、

と書いて期待値をとる範囲を A に制限する。ここで 1_A は指示関数である。

性質

期待値は総和や積分によって定義されるので、総和や積分のもつ性質をすべてもっている。以下, XとYを確率変数, aとbを任意のスカラーとする。

• 線形性

  E [a X + b Y ] = a E [X ] + b E [Y ]

• 単調性

• イェンゼンの不等式: 凸関数 φ に対して、

  φ(E [X ]) ≤ E [φ(X )]

• チェビシェフの不等式: (0, ∞) 上で定義された正値単調増加関数 φ と任意の正の数 ε に対して、

さらに、2 つの可積分確率変数 X と Y が独立の場合は、

E [X Y ] = E [X ] E [Y ]

が成立する。

計算法

連続型確率変数の期待値はルベーグ積分で定義されているので、計算するときには積分の変数変換をおこなって確率変数の分布で積分するのが普通である。確率変数 X の分布を P_X とすると、任意の可測関数 f に対して

となり、さらに P_X が確率密度関数 p を持つときは

により、ルベーグ測度で計算できるようになる。

例

サイコロの期待値

6 面体のサイコロを 1 回振るものとして、その時に出る目の期待値を考える。出る目の確率はすべて ¹⁄₆ とする。

となり、サイコロの出る目の期待値は 3.5 だということがわかる。

くじ引きの期待値

次のようなゲームを考える。

• 100 円支払えば、6 面サイコロ 1 個を 1 回振ることができる。
• サイコロの目に応じて、次の金額を貰える。
  • 1 : 20 円
  • 2 : 50 円
  • 3 : 100 円
  • 4 : 100 円
  • 5 : 150 円
  • 6 : 150 円

このとき、もらえる金額の期待値を求めると、

である。得られる金額の期待値 95 円が参加費 100 円を下回ることから、このゲームは参加者が得をする可能性もあるものの平均的には損をするということが分かる。特に回数を増やすほど、試行ごとに 5 円の損をした状態に限りなく近づく。

脚注

関連項目

• モーメント - 分散
• 特性関数
• 条件付期待値
• サンクトペテルブルクのパラドックス - 期待値が求められない例
• 大数の法則

UpToDate Contents

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• 1. 生物統計学および疫学に関する一般用語集 glossary of common biostatistical and epidemiological terms
• 2. 2型糖尿病における、中等度に増加したアルブミン尿（微量アルブミン尿） moderately increased albuminuria microalbuminuria in type 2 diabetes mellitus
• 3. 心筋梗塞後の冠動脈の開存および転帰 coronary artery patency and outcome after myocardial infarction
• 4. 決定分析 decision analysis
• 5. 高アニオンギャップ性代謝性アシドーシス患者におけるΔアニオンギャップ／ΔHCO3比 the anion gap hco3 ratio in patients with a high anion gap metabolic acidosis

Japanese Journal

• 期待値の線形性に基づいた一対多信頼度新評価法の検討 (コミュニケーションクオリティ)

• 荒俣 純平,林 正博
• 電子情報通信学会技術研究報告 = IEICE technical report : 信学技報 115(130), 75-80, 2015-07-06
• NAID 40020557876

• 対称安定過程におけるファインマン・カッツ型期待値の増大度 (確率論シンポジウム)

• 和田 正樹
• 数理解析研究所講究録 1952, 22-29, 2015-06
• NAID 110009929919

• ローレンツゲージ場の正準エネルギーと真空期待値

• 福間 一巳
• 香川高等専門学校研究紀要 6, 119-124, 2015-06
• … そのため、ゲージ場のある成分が真空期待値を持つかもしれない。 … この要請を外し、ローレンツゲージ場の0±成分の正準エネルギー、真空期待値を調べた。 … 正準エネルギーの運動項の正値性を仮定した場合、0±成分の真空期待値は零であることが示された。 …
• NAID 110009921720

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• 期待値 - Wikipedia

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