ベクトル場

英

vector field

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出典(authority):フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』「2014/10/03 00:10:55」(JST)

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ベクトル場（ベクトルば、vector field）とは、数学において、幾何学的な空間の広がりの中でベクトル的な量の分布を表すものである。単純化された設定のもとではベクトル場はユークリッド空間Rⁿ（またはその開集合）からベクトル空間Rⁿへの関数として与えられる。（局所的な）座標系のもとでベクトル場を表示するときは座標に対してベクトルを与えるような関数を考えることになるが、座標系を変更したときにこの関数は一定の規則に従って変換を受けることが要請される。

ベクトル場の概念は物理学や工学においても積極的にもちいられ、例えば動いている流体の早さと向きや、磁力や重力などの力の強さと向きなどが空間的に分布している状況を表すために用いられている。

現代数学では多様体論にもとづき、多様体上の接ベクトル束の切断として（接）ベクトル場が定義される。

定義

Mをn次元の多様体（あるいは、同値なことだが、ユークリッド空間R^mの部分集合で局所的には自由度nの座標が入るようなもの）とするとき、M上のベクトル場Xは写像V: M → R^mで次の条件を満たすものとして定義される。

pをMの任意の点とし、pのまわりに二種類の座標系(x₁,...,x_n)、(y₁,...,y_n)が考えられるとする。座標系(x₁,...,x_n)にもとづくVの表示をV_x（これはn変数のn次元ベクトル値関数である）、座標系(y₁,...,y_n)にもとづくVの表示をV_y（これもn変数のn次元ベクトル値関数である）とするとき、がなりたつ。

したがって、ベクトル場Vからは座標系実ごとにn変数のベクトル置換数による表示が得られることになるが、座標系が交わるところでは上に挙げた条件によって関数たちが張り合わされ、幾何学的に内在的なものがえられている。

現代数学ではこの定義がさらに抽象化され多様体Mの上で各点に対する接ベクトルの分布を与えるものとして理解される。Mの点pにおける接ベクトル v を考えることと、pのまわりで定義された微分可能関数にたいしてpにおいてvの方向への微分を与える作用素を考えることは同じことになる。したがってpにおける微分写像のなす空間T_pM（この概念はoのまわりの座標の取り方によらない）がpにおける接ベクトルの空間を与えていると見なせ、ベクトル場は接ベクトルの分布をあらわす写像によって与えられていると考えることができる。

ベクトル場に対する操作

ベクトルについての加法や減法、定数倍などの操作を各点ごとに考えることでこれらの操作がベクトル場についても定義される。特に、連続関数fとベクトル場Xについて各点ごとの積fXを考えることができる。

多様体Mにリーマン計量 g が与えられているとする。fがM上の微分可能関数のとき、で特徴づけられるようなベクトル場grad fを考えることができるが、これは（gに関する）勾配 grad fとよばれる。

R³上のベクトル場X = (X₁, X₁, X₁): R³ → R³に対してその発散

$\operatorname{div}\,\boldsymbol{X} = \nabla\cdot\boldsymbol{X} =\frac{\partial X_1}{\partial x} +\frac{\partial X_2}{\partial y} +\frac{\partial X_3}{\partial z}.$

や回転

$\operatorname{rot}\,\boldsymbol{X}= \nabla \times X = \begin{bmatrix} \displaystyle \frac{\partial X_3}{\partial y} - \frac{\partial X_2}{\partial z} \\[1em] \displaystyle \frac{\partial X_1}{\partial z} - \frac{\partial X_3}{\partial x} \\[1em] \displaystyle \frac{\partial X_2}{\partial x} - \frac{\partial X_1}{\partial y} \end{bmatrix}$

が定義される。多様体論の枠組みでは、これらはR³上の接ベクトル場に対する操作というよりも、2次微分形式や1次微分形式に対する外微分として自然に理解される。

ベクトル場の決定

R³上のベクトル場は、その発散と回転によって定まる。 すなわち、ベクトル場 V と W について

がなりたっていればV と W は一致している。

ヘルムホルツの定理

詳細は「ヘルムホルツの定理」を参照

全てのベクトル場 V は、スカラーポテンシャル φ 、ベクトルポテンシャル A を用いて、

と表せる。

流れ

多様体 M 上のベクトル場 X があたえられたとき、各点での速度が X によって表されるような M 上の流れ (flow) を考えることができる。通常は技術的な仮定として、X がコンパクトな台を持つことが要請される。そのときMの任意の任意の点 p について初期値付きの微分方程式

は一意に定まる解を持ち、任意のtについて写像φ_t: p → φ_t(p)はM上の微分同相を定めている。実数の加法群RからMの微分同相群Diff(M)への写像φ: t → φ_tは群の準同型になり、X の流れとよばれる。この流れ φ はXによって速度を指定されたM上の力学系を表している。

物理学におけるベクトル場の例

電磁気力や重力といった力を及ぼす空間を場（工学では「界」）といい、以下の例がある。

• 電磁場
  • 電場
  • 磁場
• 重力場

関連項目

• 葉層
• ゲージ変換
• 場

UpToDate Contents

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• 1. アデノウイルスの病因およびベクター使用 adenovirus pathogenesis and vector applications
• 2. 内臓リーシュマニア症：疫学と管理 visceral leishmaniasis epidemiology and control
• 3. デングウイルス感染症（デング熱）：疫学 dengue virus infection epidemiology
• 4. バベシア症の疫学および病因 epidemiology and pathogenesis of babesiosis
• 5. 核磁気共鳴画像法の原理 principles of magnetic resonance imaging

Japanese Journal

• 砂塵の対話的ビジュアルシミュレーション

• 中島聡 ,大野義夫 ,藤代一成
• 全国大会講演論文集 2011(1), 101-103, 2011-03-02
• … 砂塵は、発生させたベクトル場に沿って粒子を移動させることで表現した。 …
• NAID 110008601365

• 過去・現在の胸部MDCT像セットを用いた経時的差分像技術の開発

• 三宅 徳朗,金 亨燮,前田 真也 [他]
• バイオメディカル・ファジィ・システム学会誌 13(1), 73-80, 2011-06
• NAID 40018924777

Related Links

• ベクトル場 - Wikipedia

ベクトル場（ベクトルば、vector field）とは、数学において、幾何学的な空間の広がり の中でベクトル的な量の分布を表すものである。単純化された設定のもとではベクトル場 はユークリッド空間Rn（またはその開集合）からベクトル空間Rnへの関数として与え ...

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Japan Pharmaceutical Reference

薬効分類名

• たん白アミノ酸製剤

販売名

エンシュア・リキッド

禁忌

• 本剤の成分に対し過敏症の既往歴のある患者

• 牛乳たん白アレルギーを有する患者〔本剤は牛乳由来のカゼインが含まれているため，ショック，アナフィラキシー様症状を引き起こすことがある．〕

• 妊娠3カ月以内又は妊娠を希望する婦人へのビタミンA 5,000 IU/日以上の投与〔「妊婦・産婦・授乳婦等への投与」の項参照．〕

効能または効果

• 一般に，手術後患者の栄養保持に用いることができるが，特に長期にわたり，経口的食事摂取が困難な場合の経管栄養補給に使用する．

• 標準量として成人には1日1,500〜2,250mL（1,500〜2,250kcal）を経管又は経口投与する．1mL当たり1kcalである．
  

なお，年齢，症状により適宜増減する．
経管投与では本剤を1時間に100〜150mLの速度で持続的又は1日数回に分けて投与する．経口投与では1日1回又は数回に分けて投与する．
ただし，初期量は標準量の1/3〜1/2量とし，水で約倍量に希釈（0.5kcal/mL）して投与する．以後は患者の状態により徐々に濃度及び量を増し標準量とする．

慎重投与

• 短腸症候群などの高度の腸管機能障害を有する患者〔下痢を起こすおそれがある．〕
• 糖代謝異常の患者〔高血糖になるおそれがある．〕
• 水分の補給に注意を要する下記患者〔脱水状態になる，又は脱水状態が悪化するおそれがある．〕

• 昏睡状態の患者
• 意識不明の患者
• 口渇を訴えることのできない患者
• 高熱を伴う患者
• 重篤な下痢など著しい脱水状態の患者
• 腎障害のある患者

重大な副作用

ショック，アナフィラキシー様症状

（頻度不明）

• ショック，アナフィラキシー様症状を起こすことがあるので，観察を十分に行い，血圧低下，意識障害，呼吸困難，チアノーゼ，悪心，胸内苦悶，顔面潮紅，そう痒感，発汗等があらわれた場合には直ちに投与を中止し，適切な処置を行うこと．

薬効薬理

たん白質

• 本剤のたん白質源は，アミノ酸補足効果と効率的利用を考慮し，乳たん白質と大豆たん白質を87.3：12.7の割合で配合したもので，250mL中8.8g（エネルギー構成比14.0％）を含有する．
• たん白質中の必須アミノ酸／総アミノ酸比は0.409であり，アミノ酸スコアは100である．
• 成長期ラットを用いたたん白効率，正味たん白比と窒素出納試験において，本剤は市販経腸栄養剤及び標準たん白質であるカゼインと同等又はこれらを上回る成績を示した^6）．
• C／N比（非たん白カロリー／窒素比）は157である．
• 本剤の腎溶質負荷は小児に対して252mOsm，成人に対して312mOsmと低く，高齢者にも使用できる．

糖質

• 本剤の糖質源はデキストリンとショ糖を71：29の割合で配合したもので，250mL中34.3g（エネルギー構成比54.5％）を含有する．また，乳糖を含まないので，乳糖不耐症にも使用できる．

脂質

• 本剤の主要な脂肪源はトウモロコシ油であり，250mL中8.8g （エネルギー構成比31.5％）を含有する．トウモロコシ油は必須脂肪酸であるリノール酸，リノレン酸を含む．本剤2,000kcal中のコレステロール含量は20mg以下である．また，均一微細で，かつ安定な懸濁液となっており，消化されやすい．

水分量

• 本剤250mL中の水分量は213mLである．

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★リンクテーブル★

関連記事	「トル」「ベクトル」「場」

「トル」

　　[★]

英

Torr

関

圧力

• 圧力の単位。

1 torr ≒ 1 mmHg

(1) 760 mmHg = 101325.0144354 Pa

(2)
  1 torr = 1 atm(1気圧(標準大気圧)) / 760
  1 atm = 101325 Pa = 760 torr

 ∴ (1)と(2)はわずかに異なる。

「ベクトル」

　　[★]

英

vector、vectorial

関

媒介物、ベクタ、ベクター、方向性、媒介動物

「場」

　　[★]

英

field

関

分野、野、フィールド