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この項目では、流体力学におけるベルヌーイの定理について記述しています。微分積分学におけるベルヌーイの定理については「ロピタルの定理」をご覧ください。 |
連続体力学 | ||||||||
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表・話・編・歴
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ベルヌーイの定理(ベルヌーイのていり、英語: Bernoulli's principle)またはベルヌーイの法則とは、非粘性流体(完全流体)のいくつかの特別な場合において、ベルヌーイの式と呼ばれる運動方程式の第一積分が存在することを述べた定理である。ベルヌーイの式は流体の速さと圧力と外力のポテンシャルの関係を記述する式で、力学的エネルギー保存則に相当する。この定理により流体の挙動を平易に表すことができる。ダニエル・ベルヌーイ(Daniel Bernoulli 1700-1782)によって1738年に発表された。なお、運動方程式からのベルヌーイの定理の完全な誘導はその後の1752年にレオンハルト・オイラーにより行われた[1]。 ベルヌーイの定理は適用する非粘性流体の分類に応じて様々なタイプに分かれるが、大きく二つのタイプに分類できる。外力が保存力であること、バロトロピック性(密度が圧力のみの関数となる)という条件に加えて、
である。(I)の法則は流線上(正確にはベルヌーイ面上)でのみベルヌーイの式が成り立つという制限があるが、(II)の法則は全空間で式が成立する。
最も典型的な例である
外力のない非粘性・非圧縮性流体の定常な流れに対して
が流線上で成り立つ。ただし、v は流体の速さ、p は圧力、ρ は密度を表す。
や
一様重力のもとでの非粘性・非圧縮流体の定常な流れに対して
が流線上で成り立つ。ただし、v は速さ、 p は圧力、ρは密度、g は重力加速度の大きさ、z は鉛直方向の座標を表す。
は(I)のタイプに属する。
(II)を「一般化されたベルヌーイの定理」と呼ぶこともある。
目次
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完全流体の運動方程式からベルヌーイの定理を導出する[2]。
バロトロピック性 ρ=ρ(p ) と外力が保存力であることを仮定すると、 非粘性流体の運動を記述するオイラー方程式
は
と変形できる。ただし、v は速度ベクトル、p は圧力、ρ は密度、Ω は外力のポテンシャル f =-∇Ω である。
なお、
をベルヌーイ関数と呼ぶ。
非粘性流体の運動はオイラー方程式で記述される。
ただし、v は速度、ρは密度、p は圧力、f は外力である。
バロトロピック性 ρ=ρ(p ) と外力が保存力であることを仮定すると、
と書き換えられる。ただし、Ω は外力のポテンシャルである。
左辺は速度の物質微分、すなわち、加速度であるが、加速度の回転形表示を使うと、
と変形できるので、 オイラー方程式は
となる。
これより、以下の二つの定理が導出できる。
外力が保存力である非粘性バロトロピック流体の定常な流れでは、流線と渦線から作られるベルヌーイ面上で
が、成り立つ。
なお、簡単のため、「ベルヌーイ面上」でなく「流線上」とすることが多い。
定常流の場合、オイラー方程式の左辺第1項は消え、両辺に v を内積でかけると 左辺第2項も消え、
となる。 流線上の道のりを s で表すと、速度ベクトルが流線に接していることと方向微分の考え方により、
となるので、
すなわち流線上で
は一定値をとる。
なお、渦度ベクトル ∇×v を結んで得られる渦線上でも一定値をとることも同様に示される。すなわち、流線と渦線から作られる面(ベルヌーイ面)上で
が成り立つ。
∇×v =0 となる流れを渦なしの流れと呼ぶが、このとき、 速度ポテンシャルと呼ばれる関数 φ が存在して、v =∇φと表せる。
渦なしの流れにおいては以下の定理(一般化されたベルヌーイの定理)
外力が保存力である非粘性バロトロピック流体の渦なしの流れでは、全空間において
(圧力方程式)が成り立つ。ただし、f (t ) は任意の関数である。
が導ける。
渦なしの流れでは v=∇φ と表せるので、 オイラー方程式は
となり、これを積分すると
となる。ただし、f(t) は任意の関数である。
翼の近傍を通る任意の異なる2つの流線 A, B を考える。流線 A, B はともに上流の一様流まで伸びること、さらに、一様流中では速度だけでなく圧力、密度も一定、つまり、ベルヌーイ関数も一定値をとることを考慮すると、流線A上のベルヌーイ関数の値と流線B上のベルヌーイ関数の値とは等しいことが導かれる。これより、全空間でベルヌーイの式(ベルヌーイ関数の値=一定)が成立することが導かれた。
一般にベルヌーイの定理に含まれることはないが、静止流体における圧力と保存力の関係(静水圧平衡)も運動方程式の第一積分である。 v =0 をオイラー方程式に代入すると
が全空間で成り立つ。これより外力の等ポテンシャル面(Ω =constant)の上では p =constant, ρ=constant であることが導かれる。一様重力の等ポテンシャル面である水平面に水面( p =大気圧=一定)が一致するのはこのためである[2]。
非圧縮性バロトロピック流体では密度一定だから ∫dp /ρ=p /ρ + constant とでき、一様重力のポテンシャルは Ω=gz となるので、(I)の基本形から以下の定理が導かれる。
一様重力のもとでの非粘性・非圧縮流体の定常な流れでは、流線上で
が、成り立つ。( v は速さ、 p は圧力、ρは密度、g は重力加速度の大きさ、z は鉛直方向の座標である。)
エネルギー保存則に基づいた導出 |
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非粘性・非圧縮性・定常流におけるベルヌーイの定理は、体積の保存則(質量保存則)、および、仕事とエネルギーの関係(エネルギー保存則)から導くことができる。 初期に断面A1とA2に挟まれた流体に着目する。断面A1から流入した流体粒子は時間Δt の間に、s1=v1Δt だけ移動し、 断面A2から流出した流体粒子はs2=v2Δt だけ移動する。 (1)体積の保存。断面 A1 から流入した体積と断面 A2 から流出した体積はそれぞれ A1s1 と A2s2 となり、定常な非圧縮性流体を考えているので、 が成り立つ。 (2) 系の力学的エネルギーの増分は系になされた仕事に等しい。 (2-1) 接触力(圧力由来)は、断面 A1 では正の向きに、断面 A2 では負の向きに、挟まれた流体に対して仕事をするので、 (2-2) 重力の位置エネルギー U の変化は、 高さ z1 にある質量 ρΔV の流体が、高さ z2 に移動したと考えれば、 (2-3) そして、運動エネルギー K の変化は、速度 v1 である質量 ρΔV の流体が、速度 v2 になると考えれば、 (2-4) エネルギー保存則 より、 が得られる。 (3) これは流管内の任意の断面で成り立つものであり、断面積を小さくとると流線上の任意の点で成り立つと考えてよい。 これより、流線上で が成り立つことが導けた。 |
水頭による表現
エネルギーによる表現
圧力による表現
位置エネルギーの変化が無視できる場合、
非粘性・非圧縮流体の定常な流れでは、流線上で
が、成り立つ。( v は速さ、p は圧力、ρは密度。)
となる。なお、これは非圧縮性流体(液体)だけでなくマッハ数の小さな気体の流れに対しても成立する。
左辺第一項を動圧、第二項を静圧、右辺の値を総圧という。
流速が増すと動圧は増すが、上記条件の総圧が一定の系では、そのぶん静圧が減る。
なお、「総圧」も「動圧」もベルヌーイの式における各項の呼称以上の意味はない。これらと区別するために付けられた「静圧」も「圧力」以上の意味は無い。
ベルヌーイの定理は非粘性流体の支配方程式であるオイラー方程式から直接導出できるが、 ベルヌーイの定理(I)の物理的解釈は流体粒子に対する力と加速度の関係(ニュートンの運動の第2法則)で以下のように解釈が可能である。
よって流線上で、相対的に圧力が低い所では相対的に運動エネルギーが大きく、相対的に圧力が高い所では相対的に運動エネルギーが小さい。これは粒子の位置エネルギーと運動エネルギーの関係に相当する。
ベルヌーイは液体の実験より法則を導き出したので、彼のオリジナルの理論は非圧縮性流体あるいはマッハ数の小さな圧縮性流体にしか適用できない。しかし、バロトロピック性を仮定すれば、一般の圧縮性流体に対しても適用可能である。 特に気体の場合、断熱過程として適用することが多い。以下、タイプ(I)のベルヌーイの定理の応用例について解説する。タイプ(II)のベルヌーイの定理の応用例については文献[2]を参照せよ。
気体の運動では、重力が無視でき、また、運動の時間スケールが熱伝導の時間スケールに比べて十分小さく断熱過程と見なせる場合が多い。このときポアソンの法則により p ∝ ργ ( γ=Cp / Cv は比熱比)とできるので、ベルヌーイの定理は
断熱過程に従う非粘性気体の定常な流れでは、流線上で
が、成り立つ。ただし、v は速度ベクトル、p は圧力、ρは密度、γ =Cp / Cv は比熱比、ps , ρs はよどみ点における圧力と密度である。
と書き換えられる。
音速の定義
を用いれば、ベルヌーイの定理は
となる。
真空では a =0 となるので、そのとき流速は最大値
に到達する。例えば、大きな容器に封入された気体が器壁の小さな孔から真空中に噴出する場合の流速がそれにあたる。容器の中が1気圧、15℃の空気の場合、γ=1.4, as =340m/s であるから、vmax=760m/s となる[2]。
ベルヌーイの定理(I)と流線曲率の定理とは運動方程式の流線に関する接線成分と主法線成分に対応する。
外力が無視できる非粘性バロトロピック流体の定常な流れの運動方程式
の接線成分と主法線成分は、定常流における加速度の分解により、
となる。 ただし、s は流線上の道のり(接線方向)、r は流線を円弧と近似したときの中心(曲率中心)からの距離(主法線方向)を表す。
第1式がベルヌーイの定理、第2式が流線曲率の定理に対応する。 一般には、(I)のタイプのベルヌーイの定理では異なる流線間の比較はできないが、流線曲率の定理を使えば異なる流線間での比較ができる。
ベルヌーイの定理は十分に検証された理論である[4][5][6]。翼の周りの流体の速度分布が正しくわかれば、翼に発生する揚力の大きさをベルヌーイの定理を使って十分に良い精度で計算できる。しかし、ベルヌーイの定理では翼の形から流体の速度分布を求めることはできないので、翼の周りの流体の速度分布を説明する理論は別途必要である。その理論について誤解がある。
揚力についての通俗の解説には、
「同着の原理」のため翼の上の流れが下の流れより速くなり、ベルヌーイの定理により翼の上の圧力が下の圧力より小さくなり、よって上向きの揚力が発生する
と説明しているものがある。
「同着の原理」とは、「翼の先端で上下に別れた流体は翼の後端に同着する。」という原理である。この原理により、翼の上の経路長が下の経路長より長い場合、「翼の上を流れる速さが下の速さより大きくなる」という翼の周りの流体の速度分布が「導かれる」。しかし、実際には、上面の流れの方が後端により早く到着し、同着の原理は成り立たない[7]。
現在、「同着の原理」が間違いであることは広く知られるようになった。しかし、「ベルヌーイの定理を揚力の説明に使うのは誤りで、流線曲率の定理やニュートンの運動方程式を使うべきだ」という誤解も見られるようになった。
通俗の説で誤っているのは「同着の原理」のみであり、「同着の原理」はベルヌーイの定理とは無関係である。むしろ、同着原理の不成立に導いた、上面の流れの方が後端により早く到着するという実験事実は、ベルヌーイの定理による揚力の発生を「補強こそすれ、否定的な意見とはならない」[8]。 また、ベルヌーイの定理が間違いで流線曲率の定理やニュートンの運動方程式が正しいというのは矛盾を含む。翼の周りの流体の速度分布が正しくわかれば、ベルヌーイの定理でも、流線曲率定理でも、運動量変化と力積(あるい反作用)の関係でも、正しく適用する限り、同じ結果が得られる。なぜなら、これらはニュートン力学に起源を持つ理論だからである[9][10]。
翼の周りの速度分布を説明する理論としては、「同着の原理」のほかに、コアンダ効果[12][13]やクッタの条件(英語版)などがある。
コアンダ効果は「粘性の効果によって翼の形に沿うように流れる」というもので、これと作用反作用則を使った揚力の原理の説明はベルヌーイの定理を使わない説明として知られている。ただし、コアンダ効果は本来噴流(ジェット)が物体に沿う性質であり、通常の翼には噴流は発生しないので、コアンダ効果を通常の翼の速度分布の説明に使うのは不適切であるとの意見もある[14]ので、コアンダ効果を使った揚力の説明には疑問がある。
クッタの条件は「粘性の効果によって翼の後端のエッジにおいて気流が翼から離れる」というものである。適切な形の翼に対して、クッタの条件に基づき循環量を決定(= 速度分布を決定)し、クッタ・ジュコーフスキーの定理を使って循環量と速度から計算した揚力が、実験ともよく合うことが知られている[15]。なお、「クッタ・ジュコーフスキーの定理」の導出にはベルヌーイの定理が使われている。
なお、「実在気体は粘性流体であるからベルヌーイの定理が使えない」、「ベルヌーイの定理は異なる流線での比較には使えない」などの理由で「ベルヌーイの定理は揚力の説明に使えない」という「解説」があるがこれは間違いである。#ベルヌーイの定理の適用条件を参照のこと。また「実在気体は圧縮性流体なので非圧縮性流体向けのベルヌーイの定理を使えない」というのも誤りである。実用上、マッハ数0.3以下なら非圧縮性流体向けのベルヌーイの定理でも適用可能である。離着陸時には小型機でマッハ数0.1程度、大型旅客機でもマッハ数0.3程度なので低速時の記述には非圧縮性流体向けのベルヌーイの定理も使うことができる。
リンク元 | 「ベルヌーイ式」「ベルヌーイの定理」 |
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