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角度(かくど)とは、角(かく)の大きさを表す量・測度のことである。なお、一般の角の大きさは、単位の角の大きさの実数倍で表しうるとされる[1]。
角は広義には諸々の線や面の2つが交わって、その交点や交線の周りにできる図形を指す。2つの線や面が交わって角を作ることを角をなすという。さらに広義には、交わる2つのうちの片方もしくは両方が高次元空間中の超平面でもよい。多くの場合は、単に角と言えば平面上の図形に対して定義された平面角を指し、さらに狭義には直線同士の交わりによりできる図形を指す。この場合の角度とは、同じ端点を持つ2つの半直線の間の隔たりを表す量といえる。また、直線以外の曲線や面などの図形がなす角の角度も、何らかの2つの直線のなす角の角度として定義される。
立体的な角として立体角も定義されているが、これは上記の定義には当てはまらない。その大きさは単に立体角と呼ばれることが多く、角度と呼ばれることはほとんどない。
以下、本項目においては平面角を扱う。
目次
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1つの定まった値の角度を伴う角(かく)の定義は、平面 α 上の1点 O とそれから出る2つの半直線、およびそれらにより平面 α が分割されて生じる2つの領域のうちの一方 α1、の三者からなる図形、というものである。ただし後述のように、この定義は数学における主要な定義とは微妙に異なる。
なお、このとき点 O を角の頂点(vertex)、 2つの半直線を角の辺(side)という[2][3][4]。
ここで頂点 O を中心とする半径 r の円を考えると、無限領域 α1 の一部でありこの円と上記2つの半直線で囲まれた有限領域である扇形ができる。この扇形の弧の長さは半径 r に比例し面積は r2 に比例するが、その比例係数が角度になる。従って角度の大きさは扇形の弧と半径の比で定義するのが一般的である。
ここで2つの半直線が最初は同じものとして重なっており、一方が、その端点を点 O に固定されたままで領域 α1 内を徐々に移動(回転)していったものと考えると、角度はこの移動量(回転角)を示すものでもある。この観点からは角度は2つの半直線の開き具合を示す量ともいえる。実際、このような回転から角および角度を定義している事典もある[5]。
上記の点 O と 2つの半直線が定まると、それらにより平面αが分割されて生じる 2つの領域にそれぞれ対応して 2つの角が生じる。この 2 つの角のうち角度が大きいほうを優角[6][7][8][4][9]、小さいほうを劣角[8][4][10]と呼ぶ。明らかにどんな一組の頂点と2辺についても、その優角と劣角との角度の和は、2π で一定である。
平面 α 上の1点で交わる2つの直線は平面 α を4つの領域に分け、それぞれの領域に対応する4つの角が生じる。これら4つの角を、この2つの直線のなす角という。1点で交わる2つの直線は同一平面上にあるので、"平面上の"という条件は実は必要がない。
ダフィット・ヒルベルトがその著書の"幾何学基礎論"において示した公理系[2]では、「端点を共有する 2つの半直線の組」(引用文献のままの表現ではない)として角を定義しており、日本でもこの主旨の定義を採用している数学辞典[6][3]や国語辞典[8][4][11]が多く、最も受け入れられた数学的定義と見なせる。
この定義の前記定義との違いは 2つの半直線が挟む領域を含めていないことである。ヒルベルトの公理系ではそのかわり、平面αが角(2つの半直線)により分割されて生じる 2つの領域の一方を角の内部、他方を角の外部として区別している。角度の小さい領域が内部になるのだが、この段階では角度はまだ定義されていないため、別の方法での定義をしている。そして定理20で角の大小関係を定義している。すなわち、1辺を共有する 2つの角のうち一方の角 θ1 の辺が他方の角 θ2 の内部にあれば、θ1 < θ2 であると定義する。すなわち、角の大小関係として劣角の角度の大小関係を採用したことになる。
ユークリッドの著作『原論』[12][13][14]では第1巻の定義8において、「互いに交わる2つの線(line)の傾き(inclination)」(引用文献のままの表現ではない)と定義されている。"傾き"という語の解釈次第では 2 つの直線で分割された領域のいずれかを含むと解釈することも可能であり、そう解釈している辞典もある[15]。またこの定義と同じように「"傾き"である」という定義を採用している国語辞典もある[16]。またこの定義での2つの線は線(原論では定義2)であって直線(原論では定義4)ではないので、曲線も含まれる[12][17]。2つの半直線の傾きとしての角、つまりヒルベルトの定義による角は、定義9で直線角(rectilinear)という名称で定義されている。
英英辞典には 2つの半直線の間の領域(space)が角であるとするものもある[18]。
2つの滑らかな曲線が交わるとき、その交点におけるそれぞれの法線同士がなす角を、これらの曲線のなす角という。
1つの直線 l で交わる2つの平面 α と β を考える。l 上の任意の1点 A を通り、l に垂直で、それぞれ平面 α および β 上にある直線を考え、この2直線のなす角を、平面 α と β のなす角という。この2直線は点 A で交わるので、角をなし、その角度は点 A を l 上のどこに取っても等しい。平面同士のなす角を二面角(dihedral angle)ともいう。
以下、角度 θ は弧度法で表す。0 から 2π までの大きさの角を、その範囲により次のような名称で呼ぶ。ただし直角には定量的角度を使わない定義があり、ヒルベルトの公理系などで採用されている。
範囲 (rad) | 範囲 (°) | 名称 | 読み | 英語 |
---|---|---|---|---|
0 < θ < π/2 | 0 < θ < 90° | 鋭角 | えいかく | acute angle |
θ = π/2 | θ = 90° | 直角 | ちょっかく | right angle |
π/2 < θ < π | 90° < θ < 180° | 鈍角 | どんかく | obtuse angle |
θ = π | θ = 180° | 平角 | へいかく | straight angle[7][5] |
0 < θ < π | 0 < θ < 180° | 劣角 | れっかく | 不明(Inferior angle) |
π < θ < 2π | 180° < θ < 360° | 優角 | ゆうかく | reflex angle[6][7] |
θ = 2π | θ = 360° | 周角 | しゅうかく | perigon, round angle[6][7], full angle[19] |
日本では、鋭角、直角、鈍角は中学までには学ぶ用語だが、それ以外の用語は高校教科書でも使われず、使用頻度は少ない。
英語で劣角に対応する用語は不明である。『科学技術45万語和英対訳大辞典』[20]では "inferior angle" という語を当ててはいるが、この語が英語圏で劣角の意味で広く使われている証拠は見つからない。研究社の新英和大辞典[7]では優角を "superier angle" または "major angle" ともいうとの記載はあるが、その反対語となりうる "inferior angle" および "minor angle" についての記載はない。
『図説 数学の事典』[5]では、π < θ < 2π の角を優角ではなく折り返り角と記しているが、原著はドイツ語であり、そこからの翻訳なので英語との対応は不明である。またθ= 2πの角を周角ではなく全角と記している。
平面上の角度には、単位量の決め方により次のような体系がある。
度数法は、平面を定点を端点とする半直線によって 360 等分する時、その等分された一つの角として定まる角度を 1 度(°)として基本単位に持つ単位系である。更に、六十分法を用いて、 1°= 60′(分)、1′= 60″(秒)として下位の単位を定める。定義の仕方から、全方位角は 360°である。
定義から、中心角が 1°の互いに合同な扇形を 360 個張り合わせると扇形の要を中心とする円ができる。円の相似性より、1度を1つの円を 360 個の互いに合同な扇形に分割した時の1つの扇形の中心角の大きさとして定めることもできる。
この体系は、暦における 1年の日数(≒360 日)に由来している。
他に、以下のような角度の単位がある。これらは円周の分割の数が異なるだけで、度数法と本質的には同じである。
弧度法は扇形に対して、その弧の半径の長さに対する比を以って角の大きさを測る尺度とする。すなわち、弧の長さが半径と等しくなるときの中心角(扇形の要が2つの半径となす劣角)を 1 ラジアン (rad) とする(radian の訳語として弧度も用いられるが、ラジアンと呼ぶほうが一般的である)。全方位角は 2π ラジアンである。
弧度法は単位円上の孤の長さで角度の大きさを表したものとも表現できる。あるいは、三角比を含む極限
が成り立つような角度の単位系であると言っても構わない。
度数法の表示と比較して、円周率 π を含むため初学者には親しみにくいが、微分、積分などの解析的操作を行うとき直接扱うことができるという大きな利点があり頻用される。角度の単位であると同時に、ラジアンは「長さの比」でもあるので、数学においては単なる実数の無次元数として扱われることが多い。
ラジアンは平面角の国際単位である。
勾配については、水平方向の単位長さに対する垂直方向の長さ(高さ)によって角度を示す方法もある。水平方向に対する垂直方向の長さの割合によって示す方法が道路や鉄道の勾配についてよく行われており、道路については百分率パーセント(%)、鉄道については千分率パーミル(‰)がよく用いられる。たとえば「10パーセントの勾配」とは水平方向に100メートル進むと10メートル上昇(または下降)する勾配を示す。45度は100%(1000‰)の勾配になる。尺貫法では、水平方向1尺に対する高さを寸で表したもので勾配を示していた。すなわち、45度の勾配は「10寸」となる。
天文学の分野では時間を使って角度を表すことが多々ある。a時b分c秒を ahbmcs と表す。15倍すれば度数法での表記法と同じになる。
分,秒の単位が度数法での名称と同じなので、注意が必要である。
各体系の単位には以下のような相互の関係がある。(単位記号なしはラジアン)
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