接線

英

tangent line、tangent、tangential

関

正接、接線方向

WordNet

1. of or relating to or acting along or in the direction of a tangent; "tangential forces"
2. ratio of the opposite to the adjacent side of a right-angled triangle (同)tan
3. a straight line or plane that touches a curve or curved surface at a point but does not intersect it at that point

PrepTutorEJDIC

1. =tangent / それた,相違した
2. 接線;タンジェント,正接(《略》tan) / 接する;(…に)接する《+to+名》 / (また tangential)接線の;(…との)接線の《+to+名》

Wikipedia preview

出典(authority):フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』「2014/04/19 04:45:41」(JST)

wiki ja

[Wiki ja表示]

曲線とその接線（赤線）の例。赤い点は接点である。

接線（せっせん、tangential line）とは、曲線に対して次の定義を満たす直線のことである。古くは切線とも書かれた。

定義

曲線上の点 P における接線とは、P と異なる曲線上の点 Q を取り、Q を P に近付けたときに直線 QP が近付く直線のことである。このとき点 P を接点と呼ぶ。接線は存在するとは限らない。

微分法による接線の方程式

曲線の方程式が微分可能ならば、接線が存在する。

座標平面上の関数

座標平面上の微分可能な関数 C : y = f(x) 上の x = a における微分係数 f' (a) は

で与えられる。これが点 P(a, f(a)) における接線（L とする）の傾きである。

したがって、接線 L の方程式は、

で与えられる。

（例）

放物線 y = f(x) = x² 上の点 (−1, 1) における接線の方程式は、f' (−1) = −2 であるから、

y − 1 = −2(x + 1)

すなわち y = −2x − 1 である。

媒介変数表示曲線

平面曲線 C : x = f(t), y = g(t) が t = a で微分可能ならば、導関数は

で与えられる。これから同様に接線 L の方程式が求まる。

一般の n 次元空間内の曲線 C : x =(x₁(t), …, x_n(t)) においては、

v =(x₁'(a), …, x_n '(a))

を接ベクトルと呼び、これを方向ベクトルとする直線の方程式を求めることになる。

微分可能でない場合

微分可能でなくても接線が存在する場合がある。それは微分係数値が ±∞ である場合である。

例えば、y = x^1/2 の x = 0 における微分係数は ∞ である。したがって、原点 (0, 0) における接線は x = 0 である。

微分係数が ±∞ でもない場合、すなわち右微分係数と左微分係数が異なったり、振動する場合は接線は存在しない。

いわば三角屋根状に尖った点（尖点）では、右微分係数と左微分係数が異なる。

例えば、y = |x| の x = 0 における右微分係数は 1、左微分係数は −1 である。

振動する例として、

$y=\left\{ \begin{array}{ll} x\sin \frac{1}{x} &(x\neq 0)\\ 0 &(x=0) \end{array} \right.$

（これは x = 0 で連続である）は x = 0 で微分係数が振動する。

至る所連続かつ微分不可能な例として知られる、ワイエルシュトラス関数があるが、これも振動する例である。

近似としての観点

接線 L は接点 P の近傍における、曲線 C の1次近似と見なすことができる。接点 P を中心に十分に拡大すると、曲線 C は限りなく直線 L に近い。

ランダウの記号だと

と表される。

円の接線

円の接線は、極限という観点を用いずに、初等幾何学の観点で比較的簡単に論じることができる。中学、高校といった初等数学においては、「円の接線とは、円と1点で交わる直線のことである」と定義されるのが通常であるが、この定義を一般の曲線に当てはめることはできない。

中心 C の円 C において、円周上の点 P における接線は、直線 CP と点 P で直交する直線に等しい。

（証明）

点 P と異なる円周上の点 Q を取る。

△CQP は CQ = CP の二等辺三角形である。ゆえに、

∠QPC = (1/2)(180° − ∠QCP)

Q → P のとき ∠QCP → 0° だから、∠QPC → 90°

これは、直線 QP が直線CP と直交する直線に近付いていくことを示している。（証明終）

このとき線分 CP を接点半径と呼ぶ。

円 C の外の点 A を通る接線は2本ある。

（証明）

点 A を通る接線の接点を P とする。

∠APC = 90° であるので、点 P は線分 AC を直径とする円周上にある。

直径 AC の円と円 C は2点で交わる。

したがって、円 C の外の点 A を通る接線 AP は2本ある。（証明終）

線分 AP の長さ（2つある）を接線の長さという。円の接線の長さは等しい。

また、接弦定理（接線と弦が作る角の定理）も初等幾何学においてよく知られるところである。

詳細は「円 (数学)」を参照

放物線の接線

放物線の接線はいくつか幾何学的な性質を持つ。

y = ax² + bx + c (a ≠ 0) の x = α, β における接線の交点の x座標は である。

双曲線の接線

双曲線の接線もいくつか幾何学的な性質を持つ。

漸近線の交点を O、接点を T、接線と漸近線の交点を P, Q とすると、

• T は線分 PQ の中点である
• △OPQ の面積は T の位置に依らず一定である

2次曲線（円錐曲線）の接線

2次曲線（円錐曲線）は、グラフが点や直線であるものを除くと、楕円、放物線、双曲線に限られる。C はこれらのいずれかであるとし、点 P における接線を L とする。2つの焦点を F, F' とする（放物線の場合は1つを無限遠点と考えることにする）と、次の性質が成り立つ。

1. C が楕円ならば、L は ∠FPF' の外角を2等分する。
2. C が放物線ならば、L は ∠FPF' の内角・外角を2等分する。
3. C は双曲線ならば、L は ∠FPF' を2等分する。

この性質はパラボラアンテナに利用されている。

正弦曲線の接線

正弦の定義により

x ≒ 0 ならば sin x ≒ x

が導かれる。これにより、y = sin x の原点 (0, 0) における接線の式は、y = x と分かる。

なお、平均値の定理を用いることで誤差を評価することもできる。

指数関数の接線

a は 1 でない正の数とする。指数関数 y = a^x の接線においては、

が基本的である。これは x = 0 における微分係数に等しい。

これから、導関数の定義より

である。

ここで log はネイピア数 を底とする対数（自然対数） である。

詳細は「ネイピア数」および「自然対数」を参照

対数関数の接線

逆関数の微分法と指数関数の微分法より、 の導関数

が導かれる。指数関数の微分法を仮定しないでこれを導くことも可能である。その場合、指数関数の微分法を逆関数の微分法から導くことになる。

アステロイドの接線

アステロイド (a > 0) の接線が x軸、y軸によって切り取られる線分の長さは一定（長さ a）である。

詳細は「アステロイド (曲線)」を参照

関連項目

• 法線（接点を通り接線に垂直な直線）
• 包絡線
• 微分法
• 接ベクトル空間

UpToDate Contents

全文を閲覧するには購読必要です。 To read the full text you will need to subscribe.

• 1. QT間隔のばらつき：測定および解釈 qt dispersion measurement and interpretation
• 2. 紡錘型／長円形切除 fusiform elliptical excision
• 3. 成人における胸水の画像検査 imaging of pleural effusions in adults
• 4. 高解像度食道内圧検査 high resolution manometry
• 5. バセドウ眼症（グレーブス眼症：眼窩疾患）の病因および臨床的特徴 pathogenesis and clinical features of graves ophthalmopathy orbitopathy

Japanese Journal

• 横断歩行者によって獲得される車両運動の視覚情報における幾何光学的関係

• 横谷 靖,相馬 仁
• 情報処理学会論文誌 60(2), 706-715, 2019-02-15
• … 対応する網膜像は，眼球を原点とした二次元極座標系によって接線成分と法線成分に分解される．接線成分は，車両に向けられた視線と地平面がなす俯角の時間変化量と車両までの距離との積によって表され，法線成分は，車両が眼球に対して張る視角の時間変化量と車両までの距離との積によって表される．接線成分による速度の知覚では，車両の大きさ情報を必要としない …
• NAID 170000150146

• 2円へ引いた接線の長さが等しい点Pの軌跡について

• 時岡 郁夫
• 初等数学 (85), 72-74, 2019-02
• NAID 40021789166

• 入れ子のMMOs(Part 2) (安全・安心な生活とICT)

• 稲葉 直彦,高坂 拓司,遠藤 哲郎
• 電子情報通信学会技術研究報告 = IEICE technical report : 信学技報 118(417), 53-58, 2019-01-24
• NAID 40021801288

Related Links

• 接線の方程式 - Geisya Internet ゲイシャインターネット

解説 接線の方程式は，いままでに習った2つの公式の組合わせでできます。 点 (a，b) を通り，傾き m の直線の方程式は y−b = m(x−a) ･･･ (1) (数I) y= f(x) の x = a における接線の傾きは m = f'(a) ...

• 接線(せっせん)とは - コトバンク

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典 - 接線の用語解説 - 平面曲線 C の方程式を y＝f(x) とする。いま C 上に定点Pと動点Qをとり，PとQを結ぶ直線 PQを引く。ここでQを曲線 C に沿って限りなくPに近づけるとき，直線 PQの方向係数が一定 ...

Related Pictures

---

★リンクテーブル★

リンク元	「tangent」「tangent line」「正接」
拡張検索	「接線方向」「接線照射」「接線照射法」
関連記事	「線」

「tangent」

　　[★]

• 接線、正接

関

tangent line、tangential

　 　 　

「tangent line」

　　[★]

• 接線

関

tangent、tangential

「正接」

　　[★]

英

tangent

関

接線

「接線方向」

　　[★]

英

tangential、tangentially

関

接線

「接線照射」

　　[★]

英

tangential irradiation

「接線照射法」

　　[★]

英

tangential irradiation

「線」

　　[★]

英

line、string

関

裏打ち、系統、弦、紐、ライン