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- of or relating to an inheritable character that is controlled by a single pair of genes
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出典(authority):フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』「2016/10/17 08:41:25」(JST)
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代数学において、行列の単因子(たんいんし、英: elementary divisors, invariant factors)とは、その「標準形」を定める不変量のことである。
目次
- 1 定義
- 2 性質
- 3 例
- 4 脚注
- 5 参考文献
- 6 関連項目
定義
D を単項イデアル整域(たとえば整数環や体係数の 1 変数多項式環などのユークリッド整域)とする。また Mn×m(D) を D 成分の n×m 行列全体とする。すべての行列 A ∈ Mn×m(D) は、ある可逆行列 P ∈ Mn×n(D) と Q ∈ Mm×m(D) を使って次の形に変形できる。
ここで e1, …, er ≠ 0 かつ e1D ⊇ … ⊇ erD である。このような e1, …, er は単数倍を除いて一意に定まり、これを行列 A の単因子 という。 この行列 P, Q は行列の基本変形をして求めることができる。
性質
F を体とする。
- 行列 A, B ∈ Mn×n(F) が相似である必要十分条件は行列 xI − A, xI − B ∈ Mn×n(F[x]) の単因子が一致することである。
- 行列 A ∈ Mn×n(F) の最小多項式は行列 xI − A ∈ Mn×n(F[x]) の最大次数の単因子(を規格化したもの)と一致する。
例
D を複素数係数の 1 変数多項式環 C[x] とする。次の行列 A ∈ M2×2(C[x]) の単因子は可逆行列 P, Q ∈ M2×2(C[x]) として以下の行列を取れば 1, (x − λ)2 とわかる。
脚注
参考文献
- Jacobson, Nathan (2009). Basic Algebra I (Second ed.). Dover. ISBN 978-0-486-47189-1. https://books.google.co.jp/books?id=JHFpv0tKiBAC&lpg=PP1&hl=ja&pg=PA181#v=onepage&q&f=false.
- 斎藤, 正彦 『線型代数入門』 東京大学出版会、1966年、初版。ISBN 978-4-13-062001-7。
関連項目
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