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a closed plane curve resulting from the intersection of a circular cone and a plane cutting completely through it; "the sums of the distances from the foci to any point on an ellipse is constant" (同)oval

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長円,楕円(だえん)

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出典(authority):フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』「2019/04/22 19:15:45」(JST)

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円錐切断面の4つのタイプ(放物線、楕円、円、双曲線)

楕円（だえん、橢円とも。英: ellipse）とは、平面上のある2定点からの距離の和が一定となるような点の集合から作られる曲線である。基準となる2定点を焦点という。円錐曲線の一種である。

2つの焦点が近いほど楕円は円に近づき、2つの焦点が一致したとき楕円はその点を中心とした円になる。そのため円は楕円の特殊な場合であると考えることもできる。

楕円の内部に2焦点を通る直線を引くとき、これを長軸という。長軸の長さを長径という。長軸と楕円との交点では2焦点からの距離の差が最大となる。また、長軸の垂直二等分線を楕円の内部に引くとき、この線分を短軸という。短軸の長さを短径という。

楕円の長辺と短辺

楕円の方程式

2次元直交座標系で、原点 O が長軸と短軸の交点となる楕円は代数的に次のように書ける。これを標準形という。

{\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1.

a > b > 0 のとき、2a は長軸の長さ（長径）、2b は短軸の長さ（短径）となる。xy 平面上にグラフを書くと横長の楕円となる。また、焦点はx 軸上にあり、その座標は $\left({\sqrt {a^{2}-b^{2}}},0\right),\left(-{\sqrt {a^{2}-b^{2}}},0\right)$ となる。

b > a > 0 のときは逆に、2b が長軸の長さ（長径）、2a が短軸の長さ（短径）となる。したがって、xy 平面上にグラフを書くと縦長の楕円となる。また、焦点は y 軸上にあり、その座標は $\left(0,{\sqrt {b^{2}-a^{2}}}\right),\left(0,-{\sqrt {b^{2}-a^{2}}}\right)$

 
   
     
       
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         )
       
     
   
   {\displaystyle \left(0,{\sqrt {b^{2}-a^{2}}}\right),\left(0,-{\sqrt {b^{2}-a^{2}}}\right)}

となる。

同じ楕円は、t を媒介変数とする媒介変数表示では、次のように表現できる。

x=a\,\cos t

y=b\,\sin t

0\leq t<2\pi

ただし、t は (x,y) ベクトルのx軸に対する角度ではない（天体力学では離心近点角と呼ばれる）。

「緯度#更成緯度 (reduced latitude)」も参照

媒介変数表示により表された楕円上の点Pと媒介変数tの関係。tは点Pとx軸の角度とは異なる。

また、 $u=\tan(t/2)$ と置くと、

{\begin{aligned}\cos(t)&={\frac {1-u^{2}}{1+u^{2}}}\\\sin(t)&={\frac {2u}{1+u^{2}}}\end{aligned}}

となるので、下記の表現でも楕円を表すことができる。この場合uの範囲は[0,1]である。

{\begin{aligned}x&={\frac {a(1-u^{2})}{1+u^{2}}}\\y&={\frac {2bu}{1+u^{2}}}\end{aligned}}

複素平面 $C$ においては, $C$ の二点 $a_{1},a_{2}$ からの点 $z$ への距離 $r_{1},r_{2}$ の和が $l$ であるものの軌跡である。

{\begin{aligned}&r_{1,2}=|z-a_{1,2}|\\&r_{1}+r_{2}=l\end{aligned}}

楕円の幾何学的諸量

楕円の形状は離心率 e で表現される。

e={\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}

別途、扁平率 f でも表現できる。

f=1-{\frac {b}{a}}

楕円の面積 S は次のように表現できる。

S=\pi ab\,

楕円の周長 C は a > b のとき、第二種完全楕円積分を用いて次のように表現できる。

{\begin{aligned}C&=4\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {a^{2}\cos ^{2}t+b^{2}\sin ^{2}t}}\,dt\\&=4a\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}t}}\,dt\\&=2\pi a\sum _{n=0}^{\infty }{e^{2n} \over 1-2n}\prod _{m=1}^{n}\left(1-{1 \over 2m}\right)^{2}\end{aligned}}

また $n=f/(2-f)$ とおき、二項係数を使って、次のようにも表現できる（Gauss-Kummer級数）^[1]。

{\begin{aligned}C={\frac {2\pi a}{1+n}}\sum _{i=0}^{\infty }{\binom {1/2}{i}}^{2}n^{2i}.\end{aligned}}

計算機で計算する場合に有用な式としては、分母が ${\tfrac {27}{1024}}\left({\tfrac {a-b}{a+b}}\right)^{8}$ の率で消える式が次のように導出されている^[2]。

C={\frac {8\pi }{Q^{5/4}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\left({\tfrac {1}{12}}\right)_{n}\left({\tfrac {5}{12}}\right)_{n}\left(v_{1}+nv_{2}\right)r^{n}}{\left(n!\right)^{2}}}

r={\tfrac {432\left(a^{2}-b^{2}\right)^{2}(a-b)^{6}ba}{Q^{3}}}\,

Q=b^{4}+60ab^{3}+134a^{2}b^{2}+60a^{3}b+a^{4}\,

v_{1}=ba\left(15b^{4}+68ab^{3}+90a^{2}b^{2}+68a^{3}b+15a^{4}\right)\,

v_{2}=-a^{6}-b^{6}+126ab^{5}+1041a^{2}b^{4}+1764a^{3}b^{3}+1041a^{4}b^{2}+126a^{5}b\,

近似式としては、シュリニヴァーサ・ラマヌジャンによる次の二式がある。簡便なものとしては、

C\approx \pi \left[3(a+b)-{\sqrt {(3a+b)(a+3b)}}\right]=\pi \left[3(a+b)-{\sqrt {10ab+3\left(a^{2}+b^{2}\right)}}~\right]

があり、さらに良い近似として、次式がある。

C\approx \pi (a+b)\left[1+{\frac {3\left({\dfrac {a-b}{a+b}}\right)^{2}}{10+{\sqrt {4-3\left({\dfrac {a-b}{a+b}}\right)^{2}}}}}\right]

より一般的には、対応する角度の関数としての、周長の一部である楕円弧長は、第二種不完全楕円積分で表される。対応する角度を地理緯度に見立てた場合の楕円弧長については、

「子午線弧#子午線弧長の計算」を参照

その他の楕円の用語

長軸と短軸の交点は楕円の中心と呼ばれる。
長軸を中心で分けた2つの線分は半長軸と呼ばれ、その長さを長半径という。
短軸を中心で分けた2つの線分は半短軸と呼ばれ、その長さを短半径という。
短径と長径の比は楕円率と呼ばれる。

作図法

糸を使った作図例

アルキメデスの楕円コンパスen:Trammel of Archimedesを使った作図例

楕円は内トロコイドの特殊な場合として表される。図は r_c = 10, r_m = 5, r_d = 1 の場合。

2つの焦点に、焦点間距離よりも長い1本の糸の両端をそれぞれ固定し、糸が張る状態で頂点に取り付けた筆記具を動かす。この他、楕円コンパス、楕円テンプレートなどを使って作図はできる。

また、内トロコイドの特殊な場合に楕円が描画される。

歴史

中国語で楕円の楕は「木の切り株」の意味で「木の切り口」の形から名けられたと考えられている。日本では田畑の実際の形から「飯櫃」「平卵形」などと呼ばれていたが、関孝和は「側円」と呼んだ。江戸時代には側円と呼ばれ明治になって楕円と呼ばれるようになった。

外部リンク

楕円歯車: オランダの数学者en:Frans van Schootenが著書 "De organica conicarum sectionum in plano descriptione tractatus" において紹介している機構

参考文献

^ Weisstein, Eric W. "Gauss-Kummer Series". MathWorld（英語）.
^ Cetin Hakimoglu-Brown iamned.com math page

『曲線の事典性質・歴史・作図法』礒田正美、Maria G. Bartolini Bussi編、田端毅、讃岐勝、礒田正美著:共立出版、2009年 ISBN 9784320019072

UpToDate Contents

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1. 成人における吸入器の使用 the use of inhaler devices in adults
2. 小児における吸入器の使用 the use of inhaler devices in children
3. 成人における吸入剤の到達 delivery of inhaled medication in adults
4. 患者情報：小児における喘息吸入器の使い方（詳細） asthma inhaler techniques in children beyond the basics
5. 小児の吸入剤の送達 delivery of inhaled medication in children

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月刊新医療 44(6), 8-13, 2017-06
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Japan Pharmaceutical Reference

薬効分類名

骨粗鬆症治療薬

販売名

フォサマック錠35mg

組成

剤形・色調

楕円形・裸錠・白色

有効成分の名称

日本薬局方　アレンドロン酸ナトリウム水和物

含量： 1錠中アレンドロン酸として

35mg

添加物

無水乳糖、結晶セルロース、クロスカルメロースナトリウム、ステアリン酸マグネシウム

禁忌

食道狭窄又はアカラシア (食道弛緩不能症) 等の食道通過を遅延させる障害のある患者〔本剤の食道通過が遅延することにより、食道局所における副作用発現の危険性が高くなる。〕
30分以上上体を起こしていることや立っていることのできない患者〔「用法及び用量に関連する使用上の注意」の項参照〕
本剤の成分あるいは他のビスホスホネート系薬剤に対し過敏症の既往歴のある患者
低カルシウム血症の患者〔「重要な基本的注意」の項参照〕

効能または効果

骨粗鬆症

本剤の適用にあたっては、日本骨代謝学会の診断基準等を参考に、骨粗鬆症との診断が確定している患者を対象とすること。

通常、成人にはアレンドロン酸として35mgを1週間に1回、朝起床時に水約180mLとともに経口投与する。

なお、服用後少なくとも30分は横にならず、飲食 (水を除く) 並びに他の薬剤の経口摂取も避けること。

本剤は水のみで服用すること。水以外の飲み物 (Ca、Mg等の含量の特に高いミネラルウォーターを含む)、食物及び他の薬剤と一緒に服用すると、吸収を抑制するおそれがある。
食道及び局所への副作用の可能性を低下させるため、速やかに胃内へと到達させることが重要である。服用に際しては、以下の事項に注意すること。
起床してすぐにコップ1杯の水 (約180mL) とともに服用すること。
口腔咽頭部に潰瘍を生じる可能性があるため、本剤を噛んだり又は口中で溶かしたりしないこと。
本剤を服用後、少なくとも30分経ってからその日の最初の食事を摂り、食事を終えるまで横にならないこと。
就寝時又は起床前に服用しないこと。

慎重投与

嚥下困難、食道炎、胃炎、十二指腸炎、又は潰瘍等の上部消化管障害がある患者〔上部消化管粘膜に対し、刺激作用を示すことがあるので基礎疾患を悪化させるおそれがある。〕
重篤な腎機能障害のある患者〔使用経験が少なく安全性が確立していない。〕

重大な副作用

食道・口腔内障害

食道障害 (食道穿孔 (頻度不明)^注1)、食道狭窄 (頻度不明)^注1)、食道潰瘍 (頻度不明)^注1)、食道炎 (0.3％)、食道びらん (頻度不明)^注1)があらわれ、出血を伴う場合がある。)、口腔内潰瘍 (頻度不明)^注1)があらわれることがある。観察を十分に行い、徴候又は症状 (吐血、下血、貧血、嚥下困難、嚥下痛、胸骨下痛、胸やけ、口腔内異和感、口内痛の発現・悪化等) に注意し、異常が認められた場合には投与を中止し、適切な処置を行うこと。

胃・十二指腸障害

(出血性) 胃・十二指腸潰瘍 (0.3％)、出血性胃炎 (0.2％)があらわれることがある。観察を十分に行い、徴候又は症状 (吐血、下血、貧血、上腹部痛、心窩部痛、上腹部不快感の発現・悪化等) に注意し、異常が認められた場合には投与を中止し、適切な処置を行うこと。

肝機能障害、黄疸

(いずれも頻度不明)^注1)

AST(GOT)、ALT(GPT)の上昇を伴う肝機能障害、黄疸があらわれることがあるので観察を十分に行い、異常が認められた場合には投与を中止し、適切な処置を行うこと。

低カルシウム血症

(0.09％)

痙攣、テタニー、しびれ、失見当識、QT延長等を伴う低カルシウム血症があらわれることがあるので、異常が認められた場合にはカルシウム剤の点滴投与等を考慮すること。

中毒性表皮壊死融解症 (Toxic　Epidermal　Necrolysis： TEN)、皮膚粘膜眼症候群 (Stevens-Johnson症候群)

(いずれも頻度不明)^注1)

中毒性表皮壊死融解症 (TEN)、皮膚粘膜眼症候群 (Stevens-Johnson症候群) 等の重篤な皮膚症状があらわれることがあるので、観察を十分に行い、異常が認められた場合には直ちに投与を中止し、適切な処置を行うこと。

顎骨壊死・顎骨骨髄炎

(0.03％)

顎骨壊死・顎骨骨髄炎があらわれることがあるので、観察を十分に行い、異常が認められた場合には投与を中止するなど、適切な処置を行うこと。

外耳道骨壊死

(頻度不明)^注1)

外耳道骨壊死があらわれることがあるので、観察を十分に行い、異常が認められた場合には投与を中止するなど、適切な処置を行うこと。

大腿骨転子下及び近位大腿骨骨幹部の非定型骨折

(頻度不明)^注1)

大腿骨転子下及び近位大腿骨骨幹部の非定型骨折を生じることがあるので、観察を十分に行い、異常が認められた場合には投与を中止するなど、適切な処置を行うこと。

薬効薬理

作用機序

アレンドロン酸は骨のハイドロキシアパタイトに強い親和性を持ち、ラットでは破骨細胞が存在する骨表面に選択的に分布した。アレンドロン酸は破骨細胞に取り込まれた後その活性を抑制することにより、骨吸収を減少させる。^13)、14)

骨量減少に対する作用

表4参照

骨石灰化に対する影響

アレンドロン酸ナトリウム水和物は、上記の骨量減少モデルにおいて1年以上の投与 (ラット： 1年、ヒヒ： 2年) を行ったとき、骨量減少を抑制する投与量では骨石灰化障害を示唆する結果が得られていない。¹⁶⁾ 成長過程のラット (Schenk評価系) において、骨吸収を抑制する投与量は骨石灰化を障害する投与量の約1／6000であり、広い安全域が示されている。