英: identity
関: 主体性、同一性、アイデンティティ、らしさ、独自性、自己認識、アイデンティティー、恒等性

WordNet

an operator that leaves unchanged the element on which it operates; "the identity under numerical multiplication is 1" (同)identity element, identity operator
exact sameness; "they shared an identity of interests" (同)identicalness, indistinguishability
the distinct personality of an individual regarded as a persisting entity; "you can lose your identity when you join the army" (同)personal identity, individuality
the individual characteristics by which a thing or person is recognized or known; "geneticists only recently discovered the identity of the gene that causes it"; "it was too dark to determine his identity"; "she guessed the identity of his lover"

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〈U〉『同一であること』 / 〈C〉〈U〉(人・物の)『身元』,正体 / 〈C〉独自性,個性

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出典(authority):フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』「2015/11/03 21:40:51」(JST)

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数学における恒等写像（こうとうしゃぞう、英: identity mapping, identity function）、恒等作用素（こうとうさようそ、英: identity operator）、恒等変換（こうとうへんかん、英: identity transformation）は、その引数として用いたのと同じ値を常にそのまま返すような写像である。集合論の言葉で言えば、恒等写像は恒等関係（こうとうかんけい、英: identity relationである。

定義

厳密に述べれば、 $M$ を集合として、 $M$ 上の恒等写像 $f$ とは、定義域および終域がともに $M$ であるような写像であって、 $M$ の任意の元 $x$ に対して

f (x) = x

を満たすものを言う^[1]。言葉で書けば、 $M$ 上の恒等写像は、 $M$ の各元 $x$ に $x$ 自身を対応させて得られる $M$ から $M$ への一つの写像である^[2]。

$M$ 上の恒等写像はしばしば $id M$ や $1 M$ などで表される。

写像を二項関係と見るならば、恒等写像は恒等関係と呼ばれる函数関係（英語版）、即ち $M$ の対角集合 (diagonal set) $Δ = {(x, x) | x \in M$ } で与えられる^[3]。

性質

$f : M \to N$ を任意の写像とすると、

が成り立つ（"∘" は写像の合成）。特に、 $id M$ は $M$ から $M$ への写像（ $M$ 上の変換）全体の成す集合が合成に関して成す半群（ $M$ 上の全変換半群（英語版）） $T M$ における単位元（中立元）であり、従って $T M$ はモノイドを成す。

モノイドの単位元はただ一つであるから、 $M$ 上の恒等写像の別な定義として、全変換モノイドの単位元として定めることも可能である。このような定義は、圏論における恒等射の概念に一般化することができる。この文脈では $M$ 上の自己型射が写像である必要はない。

集合上の構造との関係

正整数全体の成す乗法モノイドの上で恒等写像を考えると、それは本質的に $1$ -倍写像であり、また数論的函数の意味で完全乗法的（英語版）である^[4]
ベクトル空間上の恒等写像は線型写像である^[5]。 $n$ -次元線型空間上の恒等写像は $n \times n$ 単位行列 $I n$ を表現行列に持つが、これは基底の取り方に依らない^[6]。
距離空間における恒等写像は自明な意味で等長写像である。いかなる対称性も持たない任意の対象が、恒等写像のみからなる自明群を対称変換群（英語版）として持つ（対称型が C₁ である）^[7]。
- 単に台集合 $X$ 上の恒等写像 $id X$ を考えた場合、 $X$ 上の異なる距離 $d 1, d 2$ に関して、恒等写像 $id X$ は二つの距離空間 $(X, d 1), (X, d 2)$ の間の等距変換とはならない。
位相空間 $(X, τ 1), (X, τ 2)$ と台集合 $X$ 上の恒等写像 $I X$ を考えたとき、 $I X$ が連続写像となるための必要十分条件は、 $τ 1$ が $τ 2$ よりも細かいことである。

注記

^ (Knapp 2006)
^ (松坂 1968, p. 28)
^ (ブルバキ 1984, p. 10)
^ (Marshal, Odell & Starbird 2007)
^ (Anton 2005)
^ (Shores 2007)
^ (Anderson 2005)

参考文献

ニコラ・ブルバキ『集合論要約』東京図書〈数学原論 (4)〉、1984年。ISBN 978-4489001048。
松坂和夫『集合・位相入門』岩波書店、1968年。ISBN 978-4000054249。
Knapp, Anthony W. (2006), Basic algebra, Springer, ISBN 978-0-8176-3248-9
Marshall, D.; Odell, E.; Starbird, M. (2007). Number Theory through Inquiry. Mathematical Association of America Textbooks. Mathematical Assn of Amer. ISBN 978-0883857519.
Anton, Howard (2005), Elementary Linear Algebra (Applications Version) (9th ed.), Wiley International
Shores, T. S. (2007). Applied Linear Algebra and Matrix Analysis. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer. ISBN 038-733-195-6.
James W. Anderson (2005), Hyperbolic Geometry, Springer, ISBN 1-85233-934-9

外部リンク

Weisstein, Eric W., "Identity Function" - MathWorld.（英語）
identity map - PlanetMath（英語）

Japanese Journal

感性ロボット ifbot の感情空間を用いた感情遷移に伴う表情変化の主観的影響

柴田寛,加納政芳,加藤昇平,伊藤英則
知能と情報 : 日本知能情報ファジィ学会誌 : journal of Japan Society for Fuzzy Theory and Intelligent Informatics 21(5), 630-639, 2009-10-15
… 本稿では，感性ロボットifbotと人の表情インタラクションのために，恒等写像学習によって構築された感情空間内を，表情制御値の変化量が最小となる経路選択して表情表出する手法を提案する．感情空間内での最小経路は，表情の制御値の線形変化による表情遷移とは異なり，感情的な表情変化を考慮することができるため，違和感の少ない表情を表現できると考える．実験の結果，提案手法は，表情制御値を線形に …
NAID 10025995055

補助ネットワークを用いたディジタル型BPによる恒等写像学習(研究速報)

丸山勇介,長沼秀典,大堀隆文,渡辺一央
電子情報通信学会論文誌. D, 情報・システム J90-D(10), 2924-2926, 2007-10-01
… 補助ネットワークを用いたディジタル型BPにより恒等写像課題を学習する.通常のネットワーク構成では多くの中間層素子を必要とするが,補助ネットワークを用いることにより,素子数をより少なくすることが可能である.数値実験によりその効果を検証する. …
NAID 110007380599