断層撮影

英

tomography, laminagraphy

同

プラニグラフィ planigraphy

WordNet

1. X-ray machine in which a computer builds a detailed image of a particular plane through an object from multiple X-ray measurements

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出典(authority):フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』「2013/09/02 12:42:29」(JST)

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トモグラフィー（英: tomography） は、物理探査、医療診断等で用いられる逆解析技術の一つ。日本語訳は、断層映像法または断層影像法である。

その多くは、対象領域を取り囲む形で、走査線（線源と検出器）を配置し、内部の物性（音速、比抵抗、音響インピーダンス、密度など）の分布を調べる技術である。評価したい対象物によって、X線CT、地震波トモグラフィー、海洋音響トモグラフィーなどと呼ばれている。

Figure1: CT撮影(人体)の様子。

概要

本記事では、トモグラフ像の撮影と、復元について、原理と装置構成説明する。 トモグラフ像の撮影方法には、主に、平行ビーム光学系を用いる方法（図２参照）と、扇形ビーム（ファンビーム）光学系（図3参照）を用いる方法がある 。

平行ビーム光学系を用いたトモグラフ像の撮影と復元

被写体のx-y断面を考える。トモグラフィーの数学的な基礎はラドン変換と、ラドン逆変換である。ラドン変換は、トモグラフィーの基本原理であるばかりでなく、 例えば、ハフ変換等にも応用される 。 応用範囲の広い数学的手法であるが、ここでは、トモグラフィーのモデル化という観点に重きをおいて説明する。

Figure2: 平行ビーム照射光学系によるトモグラフ像撮影原理；

被写体と、透過光との角度を、とするような、平行ビーム照射光学系を考える。この光学系による投影像は、ある種の線積分の結果と見做すことが出来る。前記の線積分は、被写体をビームが貫通した際に生じた減衰量(attenuation)を表している。図中の符号はそれぞれ、以下の通り (1)被写体, (2)平行ビーム光源, (3)スクリーン, (4)透過光, (5)平行ビーム光源、スクリーンの軌道, (6)平行ビーム光源、スクリーンの軌道の中心, (7)透影像(一次元画像;をそれぞれあらわす。

関数のラドン変換は、以下の式で与えられる。

即ち、 「のラドン変換の での値 」は、 「関数の直線に沿う線積分の値」である。 但し、は、

${l}_{[\theta,s]}(t) =\begin{bmatrix} s\cos \theta -t\sin \theta \\ s\sin \theta + t\cos \theta \\ \end{bmatrix}$

で定まる直線（tについての直線）である。ここで、上式をtについての直線とみなす際には、 ,sは、固定されているものと考えるが、 その際、は前記の直線の傾き角を表し、sは、前記の曲線と原点との間の距離を表すことに注意されたい。

本節では、被写体の、座標(x,y)における吸収係数をとモデル化する。 そのうえで、

1. 測定結果、即ち透過光によって得られた像のシリーズが、にラドン変換を施すことで得られた関数として表現される(モデル化される)こと
   
2. 測定結果にラドン逆変換を施すことで、が復元されること。

を説明する。

平行ビーム光学系によるトモグラフ像撮影のモデル化

被写体を光線が透過した際に、透過光がどれだけ減衰するかを考えることで、上記のラドン変換が導出される。以下、その導出を行う。

ラドン変換を考える際、光線は幾何光学的な光を考える。即ち、光線は、極めて直進性がよく、吸収はされるが、回折や散乱をしないと考え、さらに反射もしないと考えてよいとする。例えばX線を、人体に透過させる場合には、このように考えて差しさわりない。 幾何光学において、光線は直線で表される。光線の軌跡が、x-y断面上の直線で表される場合について考える。

吸光が、ランベルト・ベールの法則に従うとすると、 前記光線の入射強度を、透過後の強度を表記したとき、

$I = I_0\exp\left({-\int\mu(x,y)\,dl}\right) = I_0\exp\left({-{\int}_{-\infty}^{\infty}\mu(l(t))\,|\dot{l}(t)|dt}\right)$

が成り立つ。従って、光線lに沿った吸光度をと表すと、

$p_{l} = \ln (I/I_0) = -\int\mu(x,y)\,dl = -{\int}_{-\infty}^{\infty}\mu(l(t))\,|\dot{l}(t)|dt$

次に、x-y平面に対し、角度θをなす光束を考える。この光束の像について考察しよう。 新たに座標系を、

$\begin{bmatrix} s\\ t \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$

により定義する。即ち、s-t座標系は、x-y座標系を角度θだけ回転した座標系である。このとき、回転行列の性質から、

$\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} s \\ t \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} s\cos \theta -t\sin \theta \\ s\sin \theta + t\cos \theta \\ \end{bmatrix}$

となる。今、上式において、sとθを固定すると、上式は、tを変数とする直線と見做せる。

$\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix} = t \begin{bmatrix} -\sin \theta \\ \cos \theta \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} s\cos \theta \\ s\sin \theta \\ \end{bmatrix}$

のように書くと、より直線らしく見えるであろう。

即ち、x-y平面に対し、角度θをなす光束は、以下ので定まる直線を、すべてのsにわたって集めてきたものと考えられる。

${l}_{[\theta,s]}(t) =t \begin{bmatrix} -\sin \theta \\ \cos \theta \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} s\cos \theta \\ s\sin \theta \\ \end{bmatrix}$

さらに、光線による吸光量を、と書くと、

が成り立つ。

以上から、x軸に対し、角度θをなす平行光束による透過像（一次元透過像）のプロファイルが、ラドン変換によって与えられることが判った。この、が、CT撮影により測定される測定データである。

平行ビーム光学系によりトモグラフ像の、復元

二次元フーリエ変換についての補足

ラドン逆変換とは、実測されたから、を復元する作業のことを指すが、これを説明するためには２変数関数のフーリエ変換について知っておく必要があるので、簡単に復習する。

まず、のフーリエ変換とは、

である。のことを、 と書く場合もある。 ここで、""は、関数と関数の積（たんなる掛け算）を意味する。

先のと、に対し、以下の等式が成立する。これを、フーリエ逆変換と呼ぶ。

即ち、関数をフーリエ変換した後、フーリエ逆変換すれば、元の関数に戻る。 ここで、""は、関数と関数の積（たんなる掛け算）を意味する。

ラドン逆変換

実測されたから、今度はを復元することを考える。この復元操作は、数学的に、 以下の2ステップで行われる。

• ラドン逆変換のステップ（1）

$\tilde{p}(r,\theta) ={\int}_{s = -\infty}^{s = \infty} p(s,\theta)\exp(isr)ds$

を計算する。

• ラドン逆変換のステップ（2）

${\mu}(x,y)=\frac{1}{4{\pi}^{2}} {\int}_{r=0}^{r=\infty}{\int}_{\theta=0}^{\theta=2\pi} \tilde{p}(r,\theta)\exp(i<(r\cos\theta,-r\sin\theta )|(x,y) >)drd\theta$

を計算する。

上記2ステップの計算を実施することを、ラドン逆変換という。以下、上記ステップにて、μ(x,y)が示せることを示す。

証明第一段階

（1）$\tilde{p}(r,\theta)= \hat{\mu}(r \cos \theta , - r \sin \theta)$ の証明

を、変数sについてフーリエ変換（一変数関数としてフーリエ変換）したものを、とする。即ち、

$\tilde{p}(r,\theta) ={\int}_{s = -\infty}^{s = \infty} p(s,\theta)\exp(isr)ds$

とする。これは、上記ステップ（1）の変換に他ならない。 当たり前のことだが、このは、とは別物である。そもそも定義が異なる。

今、の定義式、即ち、

を、上式に代入すると、

$\tilde{p}(r,\theta) ={\int}_{-\infty}^{\infty} p(s,\theta)\exp(isr)ds$

である。

今、2変数ベクトル値関数と、を、それぞれ、

${\varphi}_{\theta}(x,y)= \begin{bmatrix} s(x,y)\\ t(x,y) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$

${\psi }_{\theta}(s,t)= \begin{bmatrix} s(x,y)\\ t(x,y) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} s \\ t \end{bmatrix}$

と定めると、明らかに、

である。さらに、

$\mu(s\cos \theta -t\sin \theta,s\sin \theta + t\cos \theta ) =\mu({\varphi}_{\theta}(s,t))$

である。従って、

$\tilde{p}(r,\theta) ={\int}_{-\infty}^{\infty} {\int}_{-\infty}^{\infty}\mu( ({\varphi}_{\theta}(s,t))) \exp(isr) \,dt ds$

である。

さらに、上式を、

$dtds=|J{\varphi}_{\theta}|dxdy = dxdy$

$\exp(isr) =\exp(i r(x\cos \theta + -y\sin \theta) ) =\exp(i <r(\cos \theta , -\sin \theta) | (x,y) >)$

に注意して積分の変数変換を施すと、

一方で、

の、(u,v) に　を代入すると、

$\hat{\mu} (r \cos \theta , - r \sin \theta)= {\int}_{-\infty}^{\infty} {\int}_{-\infty}^{\infty}\mu(x,y) \exp(i <r(\cos \theta , -\sin \theta) | (x,y) >) \,dx dy$

従って、

$\tilde{p}(r,\theta)= \hat{\mu}(r \cos \theta , - r \sin \theta)$

が判る。

証明第二段階

（２）${\mu}(x,y)=\frac{1}{4{\pi}^{2}} {\int}_{r=0}^{r=\infty}{\int}_{\theta=0}^{\theta=2\pi} \tilde{p}(r,\theta)\exp(i<(r\cos\theta,-r\sin\theta )|(x,y) >)drd\theta$の証明

第一段階の結論、すなわち、

$\tilde{p}(r,\theta)= \hat{\mu}(r \cos \theta , - r \sin \theta)$

より、以下の等式が、任意の(x,y)に対して成り立つ。

${\int}_{r=0}^{r=\infty}{\int}_{\theta=0}^{\theta=2\pi} \tilde{p}(r,\theta)\exp(i<(r\cos\theta,-r\sin\theta )|(x,y) >)\frac{1}{r}drd\theta$

$= {\int}_{r=0}^{r=\infty}{\int}_{\theta=0}^{\theta=2\pi} \hat{\mu}(r \cos \theta , - r\sin \theta) \exp(i<(r\cos\theta,-r\sin\theta )|(x,y) >)\frac{1}{r}drd\theta$

上式の右辺に、以下の変数変換:$\xi(r,\theta)= \begin{bmatrix} u(r,\theta)\\ v(r,\theta) \end{bmatrix} = r\begin{bmatrix} \cos\theta\\ -\sin\theta \end{bmatrix}$

を施すと、 積分の変数変換の公式から、

${\int}_{r=0}^{r=\infty}{\int}_{\theta=0}^{\theta=2\pi} \hat{\mu}(r \cos \theta , - r \sin \theta) \exp(i<(r\cos\theta,-r\sin\theta )|(x,y) >)\frac{1}{r}drd\theta$

$={\int}_{u=-\infty}^{u=\infty}{\int}_{v=-\infty}^{v=\infty} \hat{\mu}(u,v) \exp(i<(u,v)|(x,y) >)dudv$

一方、二次元のフーリエ逆変換を考えると、

であるため、

${\mu}(x,y)=\frac{1}{4{\pi}^{2}} {\int}_{r=0}^{r=\infty}{\int}_{\theta=0}^{\theta=2\pi} \tilde{p}(r,\theta)\exp(i<(r\cos\theta,-r\sin\theta )|(x,y) >)drd\theta$

を得る。

扇形ビーム光学系によるトモグラフ像の測定と復元

特に医療機器の場合には、図3のような扇形ビームを用いる場合が多い。

脚注・参考文献

脚注

参考文献

関連項目

• コンピュータ断層撮影

UpToDate Contents

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• 1. 胸部CTの原理 principles of computed tomography of the chest
• 2. 肺の高分解能CT high resolution computed tomography of the lungs
• 3. 造影剤誘発性腎症の病因、臨床的特徴、および診断 pathogenesis clinical features and diagnosis of contrast induced nephropathy
• 4. 成人におけるてんかんの外科的治療 surgical treatment of epilepsy in adults
• 5. 成人における確定診断を得られていない低血圧やショックの評価および初期アプローチ evaluation of and initial approach to the adult patient with undifferentiated hypotension and shock

Japanese Journal

• タウイメージングの開発 (認知症医療の新展開 : アルツハイマー病研究会 記録) -- (トラックセッション 診断学 : タウ関連を中心に,最新知識の提供)

• 樋口 真人,丸山 将浩,島田 斉 [他]
• 老年精神医学雑誌 25 (312増刊1), 69-75, 2014-03
• NAID 40020026550

• Molecular imagingによる冠動脈プラーク評価 (第1土曜特集 循環器と画像診断Update) -- (非侵襲的画像診断Update)

• 吉永 恵一郎,玉木 長良
• 医学のあゆみ 248(5), 398-402, 2014-02-01
• NAID 40019962821

• ガンマ線医用イメージング : 陽電子断層撮影法(PET)機器開発研究の最新動向 (小特集 ガンマ線イメージングの最新動向)

• 山谷 泰賀
• Journal of the Vacuum Society of Japan = 真空 57(2), 45-50, 2014-02
• NAID 40019974870

Related Links

• 断層撮影 とは - コトバンク

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「106F029」

　　[★]

• 次の文を読み、 28、 29の問いに答えよ。

• 67歳の男性。全身の衰弱を心配した家族に伴われて来院した。
• 現病歴:　3か月前から徐々に体重が減少し、 2か月前から外出できなくなり、 1週前からは家族の介助がないと立ち上がれなくなった。患者本人は受診を嫌がっていたが、 2日前からはほとんど食事が摂れず、トイレまで歩くこともできなくなったため受診に同意した。
• 既往歴:健康診断は受けていない。
• 生活歴:喫煙は60本/日を47年間。飲酒は日本酒1-2合/日を47年間。
• 家族歴　:父親が高血圧症で、脳梗塞のため82歳で死亡。
• 現　症:意識は清明。身長165cm、体重42kg。体温37.6℃。脈拍120/分、整。血圧96/62mmHg。呼吸数16/分。 SpO2 95%(room air)。眼瞼結膜に貧血を認めない。頸静脈の怒張を認めない。右の前胸部、背部および側胸部で呼吸音が減弱している。 coarse cracklesを聴取しない。皮膚のツルゴールが低下している。下腿に浮腫を認めない。
• 検査所見:血液所見:赤血球394万、 Hb13.1g/dL、 Ht40%、白血球11,700(好中球85%、好酸球1%、単球6%、リンパ球8%)、血小板50万。血液生化学所見:随時血糖181mg/dL、 HbA1c6.5%(基準4.3-5.8)、総蛋白7.3g/dL、アルブミン2.3g/dL、尿素窒素28mg/dL、クレアチニン0.6mg/dL、尿酸3.8mg/dL、総ビリルビン0.3mg/dL、 AST47IU/L、 ALT28IU/L、LD391IU/L(基準176-353)、ALP435IU/L(基準115-359)、 γ-GTP44IU/L(基準8-50)、 Na133mEq/L、 K5.0mEq/L、 Cl93mEq/L、 Ca9.6mg/dL。 CRP24mg/dL。胸部エックス線写真(別冊No. 4)を別に示す。

• 次に行うべき検査はどれか。

• a　胸部MRI
• b　胸部造影CT
• c　心臓カテーテル検査
• d　ガリウムシンチグラフィ
• e　ポジトロンエミッション断層撮影(PET)

[正答]

B

※国試ナビ4※　［106F028］←［国試_106］→［106F030］

「106A023」

　　[★]

• 65歳の男性。頚部腫瘤を主訴に来院した。 6か月前から頚部に腫瘤を自覚しており、徐々に増大してきたため受診した。眼瞼結膜に貧血を認めない。左頚部に径2cmのリンパ節を3個、右腋窩に径2cmのリンパ節を1個触知する。いずれも弾性硬で圧痛はない。心音と呼吸音とに異常を認めない。腹部は平坦、軟で、肝・脾を触知しない。血液所見:赤血球398万、 Hb11.0g/dl、 Ht38%、白血球6,300、血小板23万。血液生化学所見:総蛋白7.5g/dl、アルブミン4.8g/dl、尿素窒素19mg/dl、クレアチニン0.9mg/dl、総ビリルビン0.8mg/dl、 AST31IU/l、 ALT28IU/l、 LD447IU/l(基準176-353)。胸腹部造影CTで縦隔リンパ節、腹腔内リンパ節および脾臓の腫大を認める。
• 次に行う検査として最も適切なのはどれか。

• a　腹部超音波検査
• b　ポジトロンエミッション断層撮影(PET)
• c　上部消化管内視鏡検査
• d　骨髄生検
• e　頚部リンパ節生検

[正答]

E

※国試ナビ4※　［106A022］←［国試_106］→［106A024］

「106D023」

　　[★]

• 60歳の女性。健康診断の胸部エックス線写真で異常を指摘され来院した。自覚症状はない。既往歴に特記すべきことはない。喫煙歴はない。身長153cm、体重55kg。体温36.8℃。脈拍60/分、整。血圧118/64mmHg。呼吸数16/分。 SpO2 99%(room air)。心音と呼吸音とに異常を認めない。血液所見:赤血球380万、Hb13.2g/dl、 Ht33%、白血球5,600、血小板23万。 CRP 0.3mg/dl。胸部エックス線写真(別冊No. 7A)と胸部単純CT(別冊No. 7B)とを別に示す。
• 診断のために行うべき検査として最も有用なのはどれか。

• a　喀痰培養
• b　肺動脈造影
• c　経気管支肺生検
• d　腫瘍マーカー測定
• e　ポジトロンエミッション断層撮影(PET)

[正答]

C

※国試ナビ4※　［106D022］←［国試_106］→［106D024］

「089A088」

　　[★]

• 排泄性胆道造影法で正しいのはどれ

• a. 経口法は静注法より胆管像が鮮明である
• b. 経口薬ではヨード過敏は起こらない
• c. 血清直接ビリルビン5mg/dL以上では造影困難である。
• d. 胆嚢収縮能の評価にはセクレチンを用いる。
• e. 断層撮影で結石の種類が判別できる。

「tomograph」

　　[★]

• 断層撮影、断層撮影機

関

tomographic、tomography

　

「断層撮影法」

　　[★]

英

tomography、tomographic

関

断層撮影

「プラニグラフィ」

　　[★]

英

planigraphy

関

断層撮影

「断層撮影機」

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英

tomograph

関

断層撮影

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「断層撮影像」

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　　[★] コンピュータ断層撮影

「コンピュータ体軸断層撮影」

　　[★] コンピュータ断層撮影

「撮影」

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英

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関

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「断層」

　　[★]

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関

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「影」

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