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出典(authority):フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』「2013/01/15 23:59:20」(JST)

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数学においてフーリエ変換（フーリエへんかん、英語: Fourier transform; FT）は実変数の複素または実数値函数を別の同種の函数に写す変換である。変換後の函数はもとの函数に含まれる周波数を記述し、しばしばもとの函数の周波数領域表現 (frequency domain representation) と呼ばれる。これは、演奏中の音楽を聴いてそれをコードに書き出すというようなことと同様な思想である。実質的に、フーリエ変換は函数を振動函数に分解する。フーリエ変換 (FT) は他の多くの数学的な演算と同様にフーリエ解析の主題を成す。特別の場合として、もとの函数とその周波領域表現が連続かつ非有界である場合を考えることができる。「フーリエ変換」という術語は函数の周波数領域表現のことを指すこともあるし、函数を周波数領域表現へ写す変換の過程・公式を言うこともある。

1 定義
2 導入
3 フーリエ変換の性質
- 3.1 基本性質
- 3.2 一様連続性とリーマン・ルベーグの補題
- 3.3 プランシュレルの定理とパーセバルの定理
- 3.4 不確定性原理
- 3.5 ポワソン和公式
- 3.6 畳み込み定理
- 3.7 相互相関定理
- 3.8 固有函数
- 3.9 球面調和函数
4 一般化
- 4.1 他の函数空間上のフーリエ変換
- 4.2 多次元版
- 4.3 フーリエ・スティルチェス変換
- 4.4 緩増加超函数
- 4.5 局所コンパクトアーベル群
5 応用
- 5.1 微分方程式の解析学
6 フーリエ変換の定義域と値域
7 その他の記法
8 その他の定義
9 主なフーリエ変換の一覧
- 9.1 函数の関係式
- 9.2 自乗可積分函数
- 9.3 超函数
- 9.4 二変数函数
- 9.5 一般の n-変数函数
10 関連項目
11 参考文献
12 外部リンク

定義

可積分函数 f: R → C のフーリエ変換の定義として、よく用いられるものにもいくつか異なる流儀がある（Kaiser 1994）。本項では

を定義として用いる。ここでギリシャ文字小文字の ξ は任意の実数である。

独立変数 x が（SI単位の秒を単位とする）「時間」を表しているときは、変換の変数 ξ は「周波数」（ヘルツ）を表す。適当な条件のもと、f はその変換 f^{^} からフーリエ逆変換 (inverse transform)

で g = f^{^} とおくことによって復元することができる（x は任意の実数）。他の定義や記法については後述。

導入

「フーリエ級数」も参照

フーリエ変換を考える動機はフーリエ級数の研究に始まる。フーリエ級数の研究において、複雑な周期函数は単純な波動の数学的な表現である正弦函数や余弦函数の和として表される。正弦や余弦の性質のおかげで、この和に現れる各波の量を積分によって復元することができる。多くの場合に、e^2πiθ = cos 2πθ + i sin 2πθ であることを述べたオイラーの公式を用いるほうが、基本波動 e^2πθ によってフーリエ級数を記述するのに都合が良い。この場合には多くの公式が簡単化され、本項で後述するフーリエ変換のほかの類似の定式化をあたえるという点に優位性がある。この正弦・余弦から複素指数函数への移行にはフーリエ係数が複素数値であることを要する。この複素数は、函数に含まれる波動の振幅（あるいは大きさ）と、位相（あるいは初期角）の両方を与えているものと通常は解釈される。また、この移行においては「負の周波数」も必要になる。θ が秒で測られるならば、波動 e^2πiθ および e^−2πiθ はともに毎秒きっちり一巡するが、両者はフーリエ変換において別々の周波数として表される。したがって、周波数を単位時間ごとの周回数として測ることは最早できないが、それでも近い関係にあることに変わりは無い。

フーリエ級数を以下のようにしてフーリエ変換の動機付けに用いることができる。函数 ƒ をある区間 [−L/2, L/2] の外側で 0 となるようなものとすると、任意の T ≥ L に対して ƒ を区間 [−T/2,T/2] 上のフーリエ級数に拡張できる。ここで f のフーリエ級数に現れる波動 e^2πinx/T の係数となる c_n で表される「量」は

で与えられ、ƒ は公式

で与えられなければならない。ξ_n = n/T とおき、Δξ = (n + 1)/T − n/T = 1/T とおくと、最後の和をリーマン和

として考えることができる。T → ∞ とすることにより、このリーマン和は定義節で与えられるフーリエ逆変換に収束する。適当な条件の下では、この議論をもっと明確化することができる（Stein & Shakarchi 2003）。したがって、この場合はフーリエ級数だが、フーリエ変換は函数に含まれる個々の特定の周波数がどの程度あるかを測るものと考えることができ、それらの波動を積分（あるいは「連続和」）によって再結合して元の函数を復元することができる。

以下の画像はフーリエ変換が特定の函数に含まれる周波数を測る方法を視覚的に現したものである。函数として、（t が秒で測られる場合には）3 ヘルツで振動し、急速に 0 になる

を描く。この函数は特に描画しやすい実フーリエ変換をもつものとして選ばれたものであり、最初の画像はそのグラフである。f^{^}(3) を計算するために、e^−2πi(3t)ƒ(t) を積分する。二枚目の画像はこの被積分函数の実部および虚部である。被積分函数の実部は殆ど常に正となる。これは ƒ(t) が負であるときには e^−2πi(3t) の実部が同様に負となることによる。それらは同じ比率で振動するから、ƒ(t) が正であるときも同様に e^−2πi(3t) の実部も正になる。この結果、被積分函数の実部のを積分すれば、比較的大きな数値（ここでの場合 0.5）を得ることになる。いっぽう、（f^{^}(5) を見る場合のように）含まれない周波数を測れば、被積分函数は十分に振動し、それゆえにその積分はとても小さい値となる。一般の設定ではこれよりは少し複雑になるが、それでもフーリエ変換は函数 ƒ(t) に含まれる個々の周波数がどれくらいあるかを測るものという考え方に変わりはない。

3ヘルツの振動を示すもとの函数
3ヘルツにおけるフーリエ変換の被積分函数の実部および虚部
5ヘルツにおけるフーリエ変換の被積分函数の実部および虚部
3ヘルツおよび5ヘルツでラベル付けされたフーリエ変換

フーリエ変換の性質

実数直線上で定義される函数 f が可積分であるとは、

を満たすルベーグ可測函数であることをいう。

基本性質

可積分函数 f(x), g(x), h(x) が与えられたとき、これらのフーリエ変換をそれぞれ f^{^}(ξ), g^{^}(ξ), h^{^}(ξ)で表す。フーリエ変換は以下の基本性質を満たす（Pinsky 2002）。

線型性

任意の複素数 a, b について h(x) = aƒ(x) + bg(x) であるならば

が成り立つ。

平行移動

任意の実数 x₀ に対して h(x) = ƒ(x − x₀) であるならば

が成り立つ。

変調

任意の実数 ξ₀ に対して h(x) = e^2πixξ₀ƒ(x) ならば

が成り立つ。

定数倍

非零実数 a に対し、h(x) = ƒ(ax) ならば

が成り立つ。a = −1 つまり h(x) = ƒ(−x) の場合には、時間反転性 (time-reversal property)

が導かれる。

複素共軛

h(x) = f(x) ならば

が成り立つ。

畳み込み

h(x) = (f ∗ g)(x) ならば

が成り立つ。

一様連続性とリーマン・ルベーグの補題

可積分函数のフーリエ変換は、常に成り立つというわけではない性質も持っている。可積分函数 ƒ のフーリエ変換は一様連続で

を満たす（Katznelson 1976）。可積分函数のフーリエ変換は

であることを述べたリーマン・ルベーグの補題をも満足する（Stein & Weiss 1971）。可積分函数 f のフーリエ変換 f^{^} は有界連続だが可積分であるとは限らず、その逆変換をルベーグ積分として書くことは一般にはできない。しかしながら、ƒ および f^{^} がともに可積分ならば、反転公式

が殆ど全ての x において成り立つ。つまり、ƒ は右辺で定義される連続函数と殆ど至る所等しい。特に ƒ が実数直線上の連続函数として与えられたならば全ての x において等式が成り立つ。

前述の結果としてわかることは、フーリエ変換が L¹(R) 上単射であることである。

プランシュレルの定理とパーセバルの定理

f(x) および g(x) は可積分であるとし、そのフーリエ変換をそれぞれ f^{^}(ξ) および g^{^}(ξ) と表す。f(x) および g(x) がともに自乗可積分であるならばパーセバルの定理

が成立する（Rudin 1987, p. 187）。ここで上付きバーは複素共軛を表す。

パーセバルの定理と同値なプランシュレルの定理によれば

が成立する（Rudin 1987, p. 186）。プランシュレルの定理により、L²(R) に属する函数の後述する意味でのフーリエ変換を定義することが可能になる。プランシュレルの定理は、フーリエ変換はもとの量のエネルギーを保存するという自然科学における解釈を持つ。著者によってはこれらの定理のどちらともをプランシュレルの定理あるいはパーセバルの定理と呼んでいる場合があるので注意を要する。

局所コンパクトアーベル群に関する文脈におけるフーリエ変換の概念の一般の定式化についてはポントリャーギン双対の項を参照されたい。

不確定性原理

詳細は「不確定性原理」および「Hirschmanの不確定性原理（英語版）」を参照

一般的に言って、f(x) が凝縮されればされるほどそのフーリエ変換 f^{^} はより拡散される。特に、フーリエ変換のスケール性からわかることとして、函数を x において「圧搾」するならば、そのフーリエ変換は ξ において「伸展」される。したがって、函数とそのフーリエ変換の両方ともを勝手に凝縮させることはできない。

函数とそのフーリエ変換のコンパクト化のあいだの得失評価は不確定性原理の形で定式化することができる。ƒ(x) は可積分かつ自乗可積分であると仮定する。一般性を失うことなく函数 ƒ(x) は

に正規化されているものと仮定してよい。このとき、プランシュレルの定理により f^{^}(ξ) も同様に正規化される。

x = 0 の周りでの拡散は

で定義される「0 の周りでの分散」(dispersion about zero) によって測ることができる（Pinsky 2002）。確率の言葉で言えば、これは |f(x)|² の 0 の周りでの二次のモーメントである。

このとき不確定性原理は、函数 ƒ(x) が絶対連続で、函数 x·ƒ(x) および ƒ′(x) が自乗可積分であるならば

が成り立つことを述べる（Pinsky 2002）。等式が成立するのは

したがって、

である場合に限る。ただし、定数 σ > 0 は任意であり、係数 C₁ は ƒ を L²-正規化する定数である（Pinsky 2002）。言い換えれば、 ƒ は 0 を中心に持つ（正規化）ガウス函数のとき等号が成り立つ。

事実として、この不等式は任意の x₀, ξ₀ ∈ R について

が成立することをも含む（Stein & Shakarchi 2003）。

量子力学において、運動量と位置の波動函数は（プランク定数を因子に持つ）フーリエ変換対である。プランク定数を厳密に勘定に入れることで、上述の不等式はハイゼンベルクの不確定性原理を記述する（Stein & Shakarchi 2003）。

ポワソン和公式

詳細は「ポワソン和公式（英語版）」を参照

ポワソン和公式はフーリエ変換とフーリエ級数の間の関連性を提供する。可積分函数 ƒ ∈ L¹(Rⁿ) が与えられたとき、ƒ の周期化が

によって与えられる。このとき、ポワソン和公式は f のフーリエ級数を ƒ のフーリエ変換に結びつけるもので、特に f のフーリエ級数は

で与えられることを述べるものである。ポワソン和公式を用いて、大きな次元のユークリッド球面における格子点の数に対するランダウの漸近公式を導出することができる。また、可積分函数 f と f^{^} がともにコンパクト台を持つならば ƒ = 0 を示すこともできる（Pinsky 2002）。

畳み込み定理

詳細は「畳み込み定理」を参照

フーリエ変換は、函数の畳み込みと函数の（点毎の）積とを相互に変換する。ƒ(x) および g(x) が可積分函数であるとし、そのフーリエ変換をそれぞれ f^{^}(ξ) および g^{^}(ξ) で表す。さらに ƒ と g との畳み込みが存在して絶対可積分であるならば、この畳み込みのフーリエ変換はフーリエ変換 f^{^}(ξ) と g^{^}(ξ) との積で与えられる（ただし、フーリエ変換の定義の仕方によっては定数因子が現れる場合もある）。

これを式で表せば、∗ を畳み込みとして

と表されるとき、

が成立することを意味する。線型時不変 (LTI) 系理論において、f(x) を単位インパルスで置き換えたものが h(x) = g(x) を与えることから、通例 g(x) は、入力 ƒ(x) と出力 h(x) に関する LTI 系のインパルス応答として解釈される。この場合、g^{^}(ξ) はこの系の周波数応答を表す。

逆に、ƒ(x) がふたつの自乗可積分函数 p(x) および q(x) の積に分解されるならば、 ƒ(x) のフーリエ変換は、各因子のフーリエ変換 p^{^}(ξ) および q^{^}(ξ) の畳み込みで与えられる。

相互相関定理

詳細は「相互相関」を参照

同様の方法で、h(x) が ƒ(x) と g(x) との相互相関

であるならば h(x) のフーリエ変換が

で与えられることが示される。

固有函数

L²(R) の正規直交基底の重要な一つはエルミート函数系

で与えられる。ここで H_n(x) は「確率論者の」エルミート多項式と呼ばれる、H_n(x) = (−1)ⁿ exp(x²/2) Dⁿexp(−x²/2) で定義される函数である。この規約の下、フーリエ変換は

で与えられる。言い換えれば、エルミート函数系は L²(R) 上のフーリエ変換の固有函数からなる完全正規直交系を成す（Pinsky 2002）。しかしながら、この固有函数系の選び方は一意ではなく、フーリエ変換の相異なる固有値は {±1, ±i} の 4 つしかなく、同じ固有値に属する固有函数の任意の線型結合はふたたび固有函数になる。この結果として L²(R) を 4 つの空間 H₀, H₁, H₂, H₃ で、フーリエ変換が H_k 上で単に i^k-倍として作用するものの直和に分解することができる。この方法によるフーリエ変換の定義はウィーナーによる（Duoandikoetxea 2001）。エルミート函数を選ぶのが便利なのは、それらが周波数域と時間域の両方で指数函数的に局在することと、それゆえに時間周波数解析において用いられる非整数次フーリエ変換が得られることにある ^[要出典]。

球面調和函数

詳細は「球面調和函数系（英語版）」を参照

で次数 k の斉次調和多項式全体の成す集合を表す。集合は体球面調和函数系（英語版）として知られる。高次元において体球面調和函数系はエルミート多項式と同様の役割を演じる。具体的には、の適当な P(x) に対し、f(x) = e^−π|x|²P(x) のフーリエ変換は

で与えられる。集合を f(|x|)P(x) (P(x) ∈ ) の形の函数から作られる線型結合全体の成す集合の L²(Rⁿ) における閉包とする。このとき、空間 L²(Rⁿ) は空間の直和に分解され、フーリエ変換は各空間をそれ自身に移す。また、各空間へのフーリエ変換の作用を特徴付けることができる（Stein & Weiss 1971）。ƒ(x) = ƒ₀(|x|)P(x) (P(x) ∈ ) と表される函数のフーリエ変換は

となる。ただし、

であり、J_{(n + 2k − 2)/2} は次数 (n + 2k − 2)/2 の第一種ベッセル函数である。k = 0 のとき、これは動径函数のフーリエ変換に対する有用な公式を与える（Grafakos 2004）。

一般化

他の函数空間上のフーリエ変換

フーリエ変換の定義を他の函数空間に対するものへ拡張することができる。コンパクト台を持つ滑らかな函数は可積分で、その全体は L²(R) において稠密であるから、プランシュレルの定理を用いて、L²(R) の一般の函数にまで（コンパクト台をもつ滑らかな函数によって近似して）フーリエ変換の定義を拡張することができる。さらに

はユニタリ作用素である（Stein & Weiss 1971, Thm. 2.3）。フーリエ変換の多くの性質はこの場合にもそのまま成立する。ハウスドルフ・ヤング不等式（英語版）を用いて 1 ≤ p ≤ 2 に対する L^p(R) の函数を含むようにフーリエ変換の定義を拡張することができる。

だが、さらなる拡張はもっと技巧的である。2 < p < ∞ の範囲でのL^p に属する函数のフーリエ変換には超函数の研究が必要である（Katznelson 1976）。事実として、p > 2 に関する L^p に属する函数のフーリエ変換は函数としては定義できないことを示すことができる（Stein & Weiss 1971）。

多次元版

フーリエ変換は勝手な次元 n において考えることができる。1-次元の場合と同様にさまざまな流儀があるが、本項では可積分函数 ƒ(x) に対して、

をフーリエ変換の定義とする。ここで、x および ξ は n-次元ベクトルであり、x · ξ はベクトルの点乗積である。点乗積はしばしば <x, ξ> とも書き表される。

プランシュレルの定理やパーセバルの定理がそうであるように、上述の基本性質は n-次元フーリエ変換においても成立する。函数が可積分であるとき、フーリエ変換はやはり一様連続であり、リーマン・ルベーグの補題が成立する（Stein & Weiss 1971）。

より高い次元ではフーリエ変換の制限問題の研究が興味深いものになる。可積分函数のフーリエ変換は連続で、この函数の任意の集合への制限が定義される。しかし自乗可積分函数のフーリエ変換は自乗可積分函数の一般の類を成す。そのような L²(Rⁿ)-函数のフーリエ変換の制限は測度 0 の集合上では定義することができない。1 ≤ p ≤ 2 に対する L^p における制限問題の理解はいまだ活発な研究の行われる領域である。驚くべきことに、集合 S の曲率が非零であるようないくつかの場合には、フーリエ変換の S への制限を定義することができる。S が Rⁿ における単位球面であるときが特に興味深い。この場合に、トマス-ステインの制限定理によれば、フーリエ変換の Rⁿ における単位球面への制限は 1 ≤ p ≤ (2n + 2)/(n + 3) に対する L^p 上で有界作用素である。

1-次元の場合と多次元の場合とで、フーリエ変換の大きな違いは部分和作用素に関係する。与えられた可積分函数 ƒ に対し

で定義される函数 ƒ_R を考える。さらに ƒ が L^p(Rⁿ) に属すると仮定する。n = 1 で 1 < p < ∞ とし、S_R = (−R, R) と置くと、ヒルベルト変換（英語版）の有界性から ƒ_R は R を無限大に飛ばす極限で ƒ に L^p 内で収束する。素朴に n > 1 の場合にも同様であることを期待するかもしれない。S_R を一辺の長さが R の立方体とするならば、確かに部分和作用素はもとの函数に収束する。別の自然な候補としてユークリッド球体 S_R = {ξ : |ξ| < R} をとると、部分和作用素が収束するためには単位球体に対するマルチプライヤーが L^p(Rⁿ) において有界である必要がある。n ≥ 2 に対しては、単位球体に対するマルチプライヤーは p = 2 でない限り有界にはならないというよく知られたチャールズ・フェファーマンの定理がある（Duoandikoetxea 2001）。事実として、p ≠ 2 のときには ƒ_R が ƒ に L^p 内で収束しないだけではなく、函数 ƒ ∈ L^p(Rⁿ) であっても ƒ_R が L^p の元でさえないようなものまでが存在する。

フーリエ・スティルチェス変換

Rⁿ 上の有限ボレル測度 μ のフーリエ変換は

によって与えられる（Pinsky 2002）。この変換は可積分函数のフーリエ変換がもつ多くの性質を引き続き満足する。大きな違いの一つに、測度に関してリーマン・ルベーグの補題が成り立たないことが挙げられる（Katznelson 1976）。dμ = ƒ(x)dx の場合には上述の定義式を f の通常のフーリエ変換の定義に簡約化することができる。

このフーリエ変換を用いて連続測度の特徴づけを与えることができる。ボホナーの定理（英語版）はそのような函数を測度のフーリエ・スティルチェス変換として得られるものとして特徴付ける（Katznelson 1976）。

さらに言えば、ディラックのデルタ函数は函数ではないが有限ボレル測度であり、そのフーリエ変換は定数函数となる（特殊値は用いるフーリエ変換の形に依存する）。

緩増加超函数

フーリエ変換はシュワルツ函数全体の成す空間（シュワルツ空間（英語版））をそれ自身に移す同相写像を与える（Stein & Weiss 1971）。これにより、緩増加超函数（英語版）のフーリエ変換を定義することができる。これには上述の可積分函数が全て含まれ、それに加えて緩増加超函数のフーリエ変換がふたたび緩増加超函数となるという利点がある。

超函数のフーリエ変換を定義するいくつかの動機は、以下のふたつの事実に由来する。ひとつめは、ƒ と g が可積分函数でそのフーリエ変換をそれぞれ f^{^}, g^{^} とするとき、フーリエ変換は乗法公式

に従うこと（Stein & Weiss 1971）。ふたつめは、任意の可積分函数 ƒ は、任意のシュワルツ函数 φ に対して

を満たすという条件によって超函数 T_ƒ を定めることである。これらの事実により、与えられた超函数 T に対してそのフーリエ変換を、任意のシュワルツ函数 φ に対して

なる関係式によって定義する。これは T^{^}_f = T_f^ から従う。

超函数は微分可能であり、緩増加超函数のフーリエ変換と微分および畳み込みとはやはり上述の意味で両立する。

局所コンパクトアーベル群

フーリエ変換を任意の局所コンパクトアーベル群に対して一般化することができる。局所コンパクトアーベル群とは、抽象アーベル群であると同時に局所コンパクトなハウスドルフ空間であって、なおかつその位相に関して群演算が連続となるものである。G が局所コンパクトアーベル群ならば、G はハール測度と呼ばれる平行移動不変な測度 μ を持つ。また、局所コンパクトアーベル群 G に対して、その位相を指標全体の成す集合 G^{^} へ移行することができて、G^{^} 自身も局所コンパクトアーベル群の構造を持つ。L¹(G) に属する函数 f に対して、そのフーリエ変換を

によって定義することができる（Katznelson 1976）。

この一般化を概周期函数（英語版）に適用した理論（英語版）や、準周期函数（英語版）に適用した理論（英語版）が知られている。

応用

微分方程式の解析学

フーリエ変換および近い関係にあるラプラス変換は微分方程式の解法において広く用いられる。f(x) を可微分函数で、そのフーリエ変換を f^{^}(ξ) とすると、導函数のフーリエ変換が 2πiξf^{^}(ξ) で与えられるという意味でフーリエ変換と微分作用素は両立する。このことを用いて微分方程式を代数方程式に変換することができる。ただし、この手法は定義域が実数全体である場合にしか適用できないことに注意が必要である。これを拡張して、定義域が Rⁿ であるような多変数函数に関する偏微分方程式を代数方程式に書き換えることもできる。

フーリエ変換の定義域と値域

フーリエ変換を可能な限り最も一般な定義域上で考えることが望ましいことも多々ある。フーリエ変換を積分として定義すれば、定義域は可積分函数全体の成す空間に自然に制限されてしまうが、不幸にして可積分函数のフーリエ変換として得られる函数の簡単な特徴づけは知られていない（Stein & Weiss 1971）。フーリエ変換の定義域の拡張は上述のようにいくつかの方法を用いて行うことができる。以下いくつか、フーリエ変換の定義されるより広範な定義域と領域について詳細を述べる。

シュワルツ函数全体の成す空間（シュワルツ空間（英語版））はフーリエ変換の下で閉じている。シュワルツ函数は急減少函数であって、フーリエ変換の関連する函数すべてを含んでいるわけではない。より詳細は（Stein & Weiss 1971）を参照せよ。
ルベーグ可積分函数全体の成す空間 L¹ はフーリエ変換によって、無限遠で 0 に収束する連続函数全体の成す空間 C₀ へ写される。
自乗可積分函数全体の成す空間 L² はフーリエ変換のもとで閉じている。しかしここでのフーリエ変換はもはや積分によって定義されるものではない。
空間 L^p は空間 L^q へ写る。ここに、 1/p + 1/q = 1 であり、 1 ≤ p ≤ 2 とする（ハウスドルフ・ヤング不等式）。
緩増加超函数（英語版）全体の成す集合はフーリエ変換の下で閉じている。緩増加超函数は函数の一般化ともなっている。この一般化ではディラックの櫛型函数のようなもののフーリエ変換も定義することができる。

その他の記法

フーリエ変換の記法として f^{^}(ξ) 以外によく用いられるものに

などがある。あるいはもっと他の記号を使うことも在りうる。たとえば、（f(x) と F(ξ) のように）もとの函数を表している文字の対応する大文字を用いてそのフーリエ変換を表すことは自然科学や工学においてとくによく用いられる記法である。

複素函数 f^{^}(ξ) は、極座標に関してこれを表示することにより、振幅

および位相

と呼ばれるふたつの実函数 A(ξ) および φ(ξ) を用いて

なる形に解釈することができる。

このとき逆変換は ƒ(x) の周波数成分すべての再結合として

と書くことができる。各成分は振幅が A(ξ) で（x = 0 における）初期位相角が φ(ξ) であるような e^2πixξ のかたちの複素正弦曲線である。

フーリエ変換は函数空間の間の写像として考えることもできる。この写像はここではで表し、函数 f のフーリエ変換にはが用いられる。この写像は函数空間上の線型変換とみることができ、それによってと書く代わりに、ベクトル（ここでは函数 f）の線型変換を表す線型代数学の標準的な記法でと書くこともできる。函数にフーリエ変換を施した結果は再び函数となるから、この新たな函数の ξ における値というものには意味があり、それをあるいはなどと表す。前者の場合にははまず f に施されて、その後に得られた函数の ξ における値が評価されるものと暗黙に理解されているということに注意しなければならない。

数学や多くの応用科学において、函数 f それ自身と函数 f の変数 x における値 f(x) とを峻別しなければならないことがしばしばある。このことが意味するのは、たとえばのような記法は、形式的には f の x における「値」のフーリエ変換と解釈できてしまうということである。このような不具合にもかかわらず、特定の函数あるいは特定の変数の函数を頻繁に変換しなければならないような場合には、このような記法はよく用いられる。たとえば

は矩形函数のフーリエ変換が sinc-函数であることを表すために用いられることがあり、またたとえば

はフーリエ変換のシフト性を表すのに用いられることがある。最後の例は、変換される函数 f をx₀ のではなく x の函数であるという前提のもとでのみ正しいということに注意を要する。

その他の定義

フーリエ変換の定義として慣習的によく用いられるものが3個ある。しばしば、フーリエ変換を毎秒ラジアンを単位とする角周波数 ω = 2πξ を用いて表す。ξ = ω/(2π) と置き換えれば、上述の定義式はこの規約の下

と書くことができ、また同じくこの規約の下で逆変換は

となる。本項における定義とは異なり、この規約によって定義されるフーリエ変換はもはや L²(Rⁿ) 上の変換としてユニタリではなく、フーリエ変換と逆変換との間の対称性も失われている。

他によく用いられる流儀は (2π)ⁿ の因子をフーリエ変換とその逆変換の間で均等に分割するもので、

という定義が導かれる。この規約のもとでは、フーリエ変換はふたたび L²(Rⁿ) 上のユニタリ変換となり、またフーリエ変換と逆変換の間の対称性も回復することができる。

これら三種類の定義はどれも、順変換逆変換ともに複素指数函数的な積分核を結びつけることによって形成されている。順変換と逆変換で肩に付く符合は反対でなければならないが、どっちがどっちの符号を持つべきであるかという選択は、やはり定義の仕方によるということになる。

よく用いられる定義のまとめ
周波数 ξ（ヘルツ）	ユニタリ
角周波数 ω（ラジアン毎秒）	非ユニタリ
角周波数 ω（ラジアン毎秒）	ユニタリ

主なフーリエ変換の一覧

以下にフーリエ変換の閉じた表示に関する表を掲げる（フーリエ変換はよく用いられる三種類を挙げてある）。函数 ƒ(x) , g(x), h(x) に対して、それらのフーリエ変換をそれぞれ f^{^}, g^{^}, h^{^} で表す。

函数の関係式

以下の表におけるフーリエ変換は（Erdélyi 1954）あるいは（Kammler 2000）の付録に見つけることができる。

	もとの函数	ユニタリ・周波に関するフーリエ変換	備考

101			線型性
102			時間領域シフト
103			周波数領域シフト 102の双対
104			\|a\| が大きければ f(ax) は 0 の周りに集中しは平らに広がる
105			ここで、は、それぞれの列で考えているフーリエ変換を施した結果の、変数を x に取替えたものである。
106
107			106の双対
108			f ∗ g は f と g との畳み込みである。この公式は畳み込み定理と呼ばれる。
109			108の双対
110	純実偶関数	はいずれも純実偶関数
111	純実奇関数	はいずれも純虚奇関数

自乗可積分函数

以下の表におけるフーリエ変換は（Campbell & Foster 1948）, （Erdélyi 1954）あるいは（Kammler 2000）の付録に見つけることができる。

	もとの函数	ユニタリ・周波に関するフーリエ変換	ユニタリ・角周波に関するフーリエ変換	非ユニタリ・角周波に関するフーリエ変換	備考

201					矩形波と標準化されたsinc関数でsinc関数はsinc(x) = sin(πx)/(πx)で表される
202					201の双対で矩形波は理想的なローパスフィルターである。sinc関数はそのようなフィルターの非因果波応答である。
203					tri(x)は三角波である。
204					203の双対
205					u(x)はヘビサイドの単位ステップ関数であり、a>0
206					これが示すものは、ガウス関数exp(−αx²)でαを選んだ場合はユニタリフーリエ変換である。. Re(α)>0で積分可能である
207					a>0である
208					関数J_n (x)は、n次の第1種ベッセル関数である。関数U_n (x)は第2種チェビシェフ多項式である。下記315と316を参照
209					双曲線正割は自分自身をフーリエ変換したものである

超函数

以下の表におけるフーリエ変換は（Erdélyi 1954）あるいは（Kammler 2000）の付録に見つけることができる。

	もとの函数	ユニタリ・周波に関するフーリエ変換	ユニタリ・角周波に関するフーリエ変換	非ユニタリ・角周波に関するフーリエ変換	備考

301					The distribution δ(ξ) denotes the Dirac delta function.
302					Dual of rule 301.
303					This follows from 103 and 301.
304					This follows from rules 101 and 303 using Euler's formula:
305					This follows from 101 and 303 using
306
307
308					Here, n is a natural number and is the n-th distribution derivative of the Dirac delta function. This rule follows from rules 107 and 301. Combining this rule with 101, we can transform all polynomials.
309					Here sgn(ξ) is the sign function. Note that 1/x is not a distribution. It is necessary to use the Cauchy principal value when testing against Schwartz functions. This rule is useful in studying the Hilbert transform.
310					Generalization of rule 309.
311
312					The dual of rule 309. This time the Fourier transforms need to be considered as Cauchy principal value.
313					The function u(x) is the Heaviside unit step function; this follows from rules 101, 301, and 312.
314					This function is known as the Dirac comb function. This result can be derived from 302 and 102, together with the fact that as distributions.
315					The function J₀(x) is the zeroth order Bessel function of first kind.
316					This is a generalization of 315. The function J_n(x) is the n-th order Bessel function of first kind. The function T_n(x) is the Chebyshev polynomial of the first kind.

二変数函数

	もとの函数	ユニタリ・周波に関するフーリエ変換	ユニタリ・角周波に関するフーリエ変換	非ユニタリ・角周波に関するフーリエ変換	備考
					The variables ξ_x, ξ_y, ω_x, ω_y, ν_x and ν_y are real numbers. The integrals are taken over the entire plane.
401					Both functions are Gaussians, which may not have unit volume.
402					The function is defined by circ(r)=1 0≤r≤1, and is 0 otherwise. This is the Airy distribution and is expressed using J₁ (the order 1 Bessel function of the first kind). （Stein & Weiss 1971, Thm. IV.3.3）

一般の n-変数函数

	もとの函数	ユニタリ・周波に関するフーリエ変換	ユニタリ・角周波に関するフーリエ変換	非ユニタリ・角周波に関するフーリエ変換	備考

501					The function χ_[0,1] is the characteristic function of the interval [0,1]. The function Γ(x) is the gamma function. The function J_n/2 + δ a Bessel function of the first kind with order n/2+δ. Taking n = 2 and δ = 0 produces 402. （Stein & Weiss 1971, Thm. 4.13）

参考文献

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Bracewell, R. N. (2000), The Fourier Transform and Its Applications (3rd ed.), Boston: McGraw-Hill .
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Duoandikoetxea, Javier (2001), Fourier Analysis, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-2172-5 .
Dym, H; McKean, H (1985), Fourier Series and Integrals, Academic Press, ISBN 978-0122264511 .
Erdélyi, Arthur, ed. (1954), Tables of Integral Transforms, 1, New Your: McGraw-Hill
Grafakos, Loukas (2004), Classical and Modern Fourier Analysis, Prentice-Hall, ISBN 0-13-035399-X .
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Kammler, David (2000), A First Course in Fourier Analysis, Prentice Hall, ISBN 0-13-578782-3
Katznelson, Yitzhak (1976), An introduction to Harmonic Analysis, Dover, ISBN 0-486-63331-4
Pinsky, Mark (2002), Introduction to Fourier Analysis and Wavelets, Brooks/Cole, ISBN 0-534-37660-6
Polyanin, A. D.; Manzhirov, A. V. (1998), Handbook of Integral Equations, Boca Raton: CRC Press, ISBN 0-8493-2876-4 .
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外部リンク

Fourier Series Applet (Tip: drag magnitude or phase dots up or down to change the wave form).
Tables of Integral Transforms at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
Weisstein, Eric W., "Fourier Transform" - MathWorld.（英語）
Fourier Transform Module by John H. Mathews
The DFT “à Pied”: Mastering The Fourier Transform in One Day at The DSP Dimension