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出典(authority):フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』「2020/07/08 14:00:18」(JST)

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確率論および統計学において、歪度（わいど、skewness）は、分布の非対称性を示す指標である。日本産業規格では、ゆがみ、ひずみを確率密度関数または確率関数 f(x) のグラフが左右対称でないこと、ゆがみの程度を平均値まわりの 3次モーメント µ₃ と標準偏差 σ の 3 乗との比 µ₃/σ³ と定義している^[1]。

分布の尖り具合を示す指標である尖度^[2]とともに用いる。歪みを持ち、尖度が大きい金融データなどではこれらの指標を頻繁に用いる。

標準化

確率分布の分布特性を示すためには期待値および分散が通常用いられるが、分布型の違いを示す指標の1つに3次モーメント（3乗の期待値）と4次モーメント（4乗の期待値）がある。とくにこれらのモーメントは、平均は位置尺度には依存しないが、スケール尺度（たとえば分散）に依存するため、平均と分散の影響を除くように標準化された3次モーメントと標準化された4次モーメントを考える。

確率変数 X の期待値が μ、分散が σ² のとき、標準化確率変数 $Z=(X-\mu )/\sigma$

 
   
     
       Z
       =
       (
       X
       −
       μ
       )
       
         /
       
       σ
     
   
   {\displaystyle Z=(X-\mu )/\sigma }

は期待値 0、分散 1 となり、平均と分散の影響は除去される。Z の3次モーメント

E(Z^{3}

 
   
     
       E
       (
       
         Z
         
           3
         
       
     
   
   {\displaystyle E(Z^{3}}

) は歪度 $\beta _{1}^{1/2}$

 
   
     
       
         β
         
           1
         
         
           1
           
             /
           
           2
         
       
     
   
   {\displaystyle \beta _{1}^{1/2}}

と呼ばれる。とくに標準正規確率変数の分布に歪みはなく、0を中心に左右対称であるから歪度は0である。歪度の符号により正の歪み、負の歪みを持つ分布といわれる。

Z の4次モーメント $E(Z^{4})-3$

 
   
     
       E
       (
       
         Z
         
           4
         
       
       )
       −
       3
     
   
   {\displaystyle E(Z^{4})-3}

は尖度 β₂ と呼ばれる。分散が σ²の正規分布であれば平均まわりの4次モーメント

E(Z^{4})-3

 
   
     
       E
       (
       
         Z
         
           4
         
       
       )
       −
       3
     
   
   {\displaystyle E(Z^{4})-3}

は $3\sigma ^{4}-3$

 
   
     
       3
       
         σ
         
           4
         
       
       −
       3
     
   
   {\displaystyle 3\sigma ^{4}-3}

であり、標準正規確率変数については $\beta _{2}=0$

 
   
     
       
         β
         
           2
         
       
       =
       0
     
   
   {\displaystyle \beta _{2}=0}

となる。正負を基準にして、 $\beta _{2}>0$

 
   
     
       
         β
         
           2
         
       
       >
       0
     
   
   {\displaystyle \beta _{2}>0}

の分布は急尖的分布と呼ばれ、正規分布よりも両裾が厚い分布になる。一方、 $\beta _{2}<0$

 
   
     
       
         β
         
           2
         
       
       <
       0
     
   
   {\displaystyle \beta _{2}<0}

の分布は緩尖的分布と呼ばれ、正規分布よりも両裾が薄い分布になる。

たとえば対数正規分布に従う確率変数の歪度は正であり、尖度は常に3より大きい。

推定

一般に、平均まわりの k 次モーメント $E((X-\mu )^{k})$ は、k 次の標本モーメントによって推定することができる。このことから歪度と尖度は、原系列を標準化すれば3次の標本モーメント $\beta _{1}^{1/2}$ および4次の標本モーメント $\beta _{2}$ で推定できる。母分布が正規分布であるか否かを調べるためには、歪度と尖度が標準化された正規確率変数の値0と3に似るか否かを調べればよい。ボウマン=シェントン^[3]は正規性検定の指標

JB=n{\frac {b_{1}^{2}}{6}}+n{\frac {(b_{2}-3)^{2}}{24}}

^[4]

が、帰無仮説が正規分布であるもとで自由度が2のカイ二乗分布に漸近的に従うことを示した。

脚注

^ JIS Z 8101-1 : 1999, 1.19 ゆがみ，ひずみ skewness.
^ 左右対称であれば歪度は0である。同様に正規分布であれば尖度は0（別の定義によれば3）である。しかし、明らかに歪度が0であるからといって左右対称ではないし、尖度が0（別の定義によれば3）であるからといって正規分布でもない。
^ Bowman, Kimiko O and Shenton,. LR, Biometrika, 1975
^ Jarque-Bera

参考文献

西岡康夫『数学チュートリアルやさしく語る確率統計』オーム社、2013年。ISBN 9784274214073。
日本数学会『数学辞典』岩波書店、2007年。ISBN 9784000803090。
JIS Z 8101-1:1999 統計 − 用語と記号 − 第1部:確率及び一般統計用語, 日本規格協会, (1999)
伏見康治『確率論及統計論』河出書房、1942年。ISBN 9784874720127。

外部リンク

Free Statistics Software (Calculator) - データ列から、尖度と歪度に関する各種統計値を算出する。

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