Wikipedia preview

出典(authority):フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』「2015/05/25 20:44:39」(JST)

wiki ja

ゲーム理論（ゲームりろん、英: Game theory）は戦略的意思決定に関する理論であり、より一般的には「合理的な意思決定者間の紛争と協力の数理モデル」を研究する応用数学の一分野である^[1]^[2]。

概要

ゲーム理論の始まりはエルンスト・ツェルメロによる集合論によるボードゲームのチェスの分析に始まる。さらに、エミール・ボレルもフォン・ノイマンに先駆けてゼロ和2人ゲームを研究していた。ゲーム理論の発展に最初の飛躍をもたらしたフォン・ノイマンはゲーム理論の枠組みを以下のように体系化し、さらにそれらについてWell-definedな数学的意味づけを与えた。

ゲームを支配するルール
ゲームにおける目的達成に向けた行動（戦略）の意思決定を行う主体（プレイヤー）
プレイヤーの選択可能な行動(戦略)
プレイヤーの意思決定を左右する情報

以下は上記の体系化されたゲーム理論の数学的意味づけである（各要素は前述の4つの定義に対応している）。ゲーム理論で扱われる対象は現在でも以下意味付けがWell-definedであることを前提としていることが多い。

プレイヤー及びゲーム全体の制約条件
プレイヤーの集合
各プレイヤーのとりうる行動の集合
各プレイヤーの行動の関数となる利得集合

例えば、チェスのようなゲームならば、対局する2名のプレイヤーがおり、各プレイヤーは盤上の駒がとることのできる全ての動きを計算可能で、かつ双方とも盤上の駒の配置情報を全て知ることが可能な環境にあり、偶発的な事象は起こりえない。以上がルールとして特徴付けられることになる。

ゲーム理論の分析は、基本的にこのような戦略的な状況における未来の行動を予測したり、過去の行動を客観的に評価することを目的としている。つまりゲーム理論とは、あるルールのもとで各プレイヤーがとると考えられる最適な行動の組合せの解を求めることである。

ゲーム理論の分析では、各プレイヤーの行動が相互の利害に影響することを考慮しなければならない。つまり、プレイヤーAはある行動を選択する前に、自分の利益を最大にするためには相手のプレイヤーBが敵対的な行動に出ることを考慮しなければならない。

ゲーム理論にはいくつかの主要な分類があり、以下はその一例である。

プレイヤー間の関係を表現する用語として各プレイヤーが相談することなく自己決定のみによって行動する非協力ゲーム(non-cooperative game)と互いに相談を通じて行動を規制しあう協力ゲーム(cooperative game)
プレイヤーが行動を一回だけ選択して終了する一段階ゲーム(one-stage game)と複数の段階にわたって選択がなされる多段階ゲーム(multi-stage game)
ゲームにおいて全ての一連の行動を戦略と呼ぶが、プレイヤーが採る戦略の数が有限である有限ゲームと戦略が有限とは言い切れない無限ゲーム
情報を参照することが可能である完全情報ゲーム、情報を参照することが可能とは言い切れない不完全情報ゲーム

ゲーム理論はこのような表現方法でプレイヤー間の情報構造や意思決定、利害関係、協力関係を数学的に表現することを可能としている。

研究史

紛争や対立における戦略的局面を数学的に解析しようとする試みは、19世紀以前より行われていた。そして、それらの考えを体系的に整理した人物としては、当時の測度論の権威であったエミール・ボレルの名が知られている。フォン・ノイマンは、それらの試みにさらなる理論的意味付けを与え、理論体系を構築し、1928年には『ゲーム理論(Zur Theorie der Gesellschaftsspiele)』を、また1937年には『均斉成長経路の定式化とブラウワーの定理の一般化(Über ein ökonomisches Gleichungssystem und eine Verallgemeinerung des Brouwerschen Fixpunksatzes)』発表した。これらの論文では、「対象モデルをコンパクト凸集合として扱い、それに対してブラウワーの不動点定理を適用する」という現在のゲーム理論における主流ともいえる手法がすでに用いられていた。1928年の『ゲーム理論』でミニマックス定理の証明がなされたことで、ゲーム理論の応用数学としての枠組みが明確化されるようになった。しかし、これらの論文は、不動点定理を経済学の均衡問題に適用すると言う点で斬新ではあったものの、数学的には目新しい要素はなく、理論の適用対象となるモデルも限定されており、かつ用途も分かりにくいものであったため、大きく取り上げられることはなかった。

その後、ノイマンは、経済学者のオスカー・モルゲンシュテルンと共に、ゲーム理論を経済学の世界へと持ち込み、1944年に『ゲーム理論と経済行動(Theory of Games and Economic Behavior)』を共著で発表した。この論文では、経済的に紛争状態にある諸主体とその利害関係、不完全情報、合理的決定、偶然などの因子の存在についての分析から始まるものであり、実際的な情勢は理論的に定式化できるゲームにモデル化されている。この活動は、ジョン・ナッシュ、ラインハルト・ゼルテン、ジョン・ハーサニ、ロバート・オーマン、トーマス・シェリング、ロイド・シャープレー、ジョン・メイナード＝スミスなど、数学的慧眼を持つ若者達を引きつけ、ゲーム理論は学問の世界で次第に広がった。

20世紀半ばのゲーム理論研究の中心地は、1948年に米空軍の研究機関として創設されたランド研究所であった。ランド研究所では、ゲーム理論に力学系や集合論、離散数学、組合せ最適化等の手法を取り入れる試みが行われ、これらによってゲーム理論は飛躍的な発展を遂げた。

後にリーマン多様体の研究に関して大きな功績を残す数学者ジョン・ナッシュは、プリンストン大学の博士課程在学中にゲーム理論に関心を寄せ、非ゼロ和ゲームについて研究を行った。ナッシュは、角谷の不動点定理を一般化し、「n人有限ゲームには、最低でも一つの均衡点、つまりプレーヤーが相互に最適な戦略を取り合って手を変えない状態(ナッシュ均衡)が存在すること」を証明した。これは、非零和ゲームに均衡点が存在することを明らかにした意味で、画期的な発見であった。

1950年代には、ハロルド・クーンらによって、完全情報や行動戦略などの概念が定義され、完全情報ゲームにおける均衡点の存在と完全情報ゲームでの行動戦略と混合戦略が同値であることが証明された。また、協力ゲームにおける安定集合の存在を踏まえ、ロイド・シャープレーによって、一般n人協力ゲームにおける代表的な解であるシャープレイ値が明らかにされた。

1950年、アメリカ合衆国ランド研究所のメリル・フラッドは、人間の不合理性をゲーム理論の方法で解明する研究を進め、ナッシュの均衡理論に反するような不合理な行動に着目した。ナッシュ均衡点の解とは、後からゲームを振り返って、双方が自分の戦略に満足できる選択肢の組合せである。フラッドは、メルヴィン・ドレッシャーと共同して、現実の人間の行動を観察する実験研究を行った。そして、フラッド・ドレッシャー実験の結果から、「被験者がナッシュ均衡点である行動はむしろ稀である」ことを報告した。また、同じくランド研究所の顧問であったアルバート・タッカーは、この実験結果を紹介するために、よく知られている囚人のジレンマの物語を作り上げた。囚人のジレンマでは、全体の利得に反して、個々人の利得を最大化せざるをえないことを示唆していた。同時に、これは、ゲーム理論が単一のミニマックス、ナッシュ均衡に基づいて戦略を立案する合理的プレーヤーの存在について見直しを要請する結果でもあった。

ゲーム理論の応用

現在のゲーム理論は純粋数学としての解析的研究のみに留まらず、生物学(進化的に安定な戦略)や工学といった自然科学はもちろんのこと、経済学、経営学、心理学、社会学、政治学など社会科学への応用も多く見られ、特に経済学において大きな成功をおさめている。

ゲーム理論を駆使してノーベル経済学賞を受賞した学者は少なくない（1994年：ジョン・F・ナッシュ、ラインハルト・ゼルテン、ジョン・C・ハーサニーの3名、2005年：ロバート・オーマンとトーマス・シェリングの2名）。また、ゲーム理論に強い影響を受けた情報の非対称性をもつ市場分析によって、ジョージ・アカロフ、マイケル・スペンス、ジョセフ・スティグリッツの3名が2001年に経済学賞を受賞した。

経済学への影響

以前のミクロ経済学においては、他の経済主体の行動が自分の利得に影響を与えることはなかった。しかし、現実の経済現象においては、たとえばライバル企業の動向が自社の利益を左右するように、自分の利得が他の経済主体の行動に影響を受けていると考えるのが自然である。このとき、自分の最適な行動は他者の行動によって変わり、他者にとって最適な行動は自分の行動により変わる。ゲーム理論は、このように最適な戦略が相互に依存し、相手の戦略を読み合う必要が生じるような状況を分析対象としている。

最適な戦略が相互に依存し合う状況は多く見られる。そのため、ミクロ経済学だけではなく他の経済学の分野、さらには政治学や心理学、生物学においてもゲーム理論は応用されている。

脚注

^ ロジャー・マイヤーソン Game Theory: Analysis of Conflict Harvard University Press, p. 1. Chapter-preview links, pp. vii–xi.
^ ロバート・オーマン The New Palgrave Dictionary of Economics, 2nd Edition. Abstract.

参考文献

岡田章『ゲーム理論』有斐閣、2011年11月、新版。ISBN 4-641-16382-9。
金子守『ゲーム理論と蒟蒻問答』日本評論社、2003年4月。ISBN 4-535-55288-6。
川西諭『ゲーム理論の思考法』中経出版、2009年9月。ISBN 978-4-8061-3470-1。
ジョン・フォン・ノイマン、オスカー・モルゲンシュテルン『ゲームの理論と経済行動』阿部修一・銀林浩・下島英忠・橋本和美・宮本敏雄、筑摩書房〈ちくま学芸文庫〉、2009年。ISBN 978-4-480-09211-3。（Von Neumann, John; Morgenstern, Oskar (2007-03-19). Theory of Games and Economic Behavior (Princeton Classic Editions ed.). Princeton Univ Press. ISBN 0691130612. ）
ロバート・アクセルロッド『つきあい方の科学――バクテリアから国際関係まで』松田裕之、ミネルヴァ書房〈Minerva21世紀ライブラリー〉、1998年5月。ISBN 4-623-02923-9。（Axelrod, Robert (1985-10-01). The Evolution of Cooperation. Basic Books. ISBN 0465021212. ）
ロバート・アクセルロッド『対立と協調の科学――エージェント・ベース・モデルによる複雑系の解明』寺野隆雄、ダイヤモンド社、2003年6月。ISBN 4-478-19047-X。（Axelrod, Robert (1997-08-18). The Complexity of Cooperation: Agent-Based Models of Competition and Collaboration. Princeton Studies in Complexity. Princeton Univ Pr. ISBN 0691015678. ）
トム・ジークフリード『もっとも美しい数学　ゲーム理論』冨永星、文春文庫、2010年9月。ISBN 978-4-16-765171-8。（Siegfried, Tom. A Beautiful Math. ）
ロバート・ギボンズ『経済学のためのゲーム理論入門』福岡正夫、須田伸一(訳)、創文社、1995年。
Ulrich Schwalbe, Paul Walker (1999), Zermelo and the Early History of Game Theory
Ernst Zermelo (1913), Über eine Anwendung der Mengenlehre auf die Theorie des Schachspiels

（英訳後半）On an Application of Set Theory to the Theory of the Game of Chess

Émile Borel (1924), Sur les jeux où interviennent l'hasard et l'habileté des joueurs
J. Neumann (1928), Zur Theorie der Gesellschaftsspiele

（英訳）On the theory of games of strategy

外部リンク

「Game Theory」 - スタンフォード哲学百科事典にある「ゲーム理論」についての項目。（英語）

UpToDate Contents

全文を閲覧するには購読必要です。 To read the full text you will need to subscribe.

1. 小児および思春期における「窒息ゲーム」およびその他の首絞め行動 the choking game and other strangulation activities in children and adolescents
2. うつ病の成人に対する対人関係療法（IPT）：適応、理論基盤、一般概念と有効性 interpersonal psychotherapy ipt for depressed adults indications theoretical foundation general concepts and efficacy
3. Grief and bereavement in adults: Clinical features
4. 天疱瘡の病因、臨床症状、および診断 pathogenesis clinical manifestations and diagnosis of pemphigus
5. 腸壁気腫症 pneumatosis intestinalis

Japanese Journal

組織のITセキュリティ対策のゲーム理論による分析-セキュリティ推進部門と従業員間の指示と実施のゲーム

杉浦昌,諏訪博彦,太田敏澄
情報処理学会論文誌 52(6), 2019-2030, 2011-06-15
本論文は,組織内でセキュリティ対策を指示する立場のセキュリティ推進部門とその指示を受けて実施する立場の従業員の行動をモデル化し,組織内のセキュリティ対策をゲーム理論を用いて分析したものである.推進部門と従業員の2プレーヤからなる非協力の戦略型ゲームを考え,それぞれのペイオフにより形成されるゲームの構造を明らかにした.常時実施ゲーム,指示実施ゲーム,指示非実施ジレンマゲーム,常時非実施ジレンマゲーム …
NAID 110008508030

数理計画法を用いた警備員の巡視路選択問題

森田修平,宝崎隆祐,畠山雄介
情報処理学会論文誌. 数理モデル化と応用 4(1), 19-35, 2011-01-26
本論文では,美術館のような施設における警備員の巡視路の最適選択と巡視中の効果的な捜索法を議論する.美術館問題のように施設警備に関する問題は,これまで幾何学的観点から主に議論されてきたが,スケジューリング問題のような時間を含む動的な問題を取り扱うことは困難であった.そこで,本論文ではスケジューリング問題を含んだ警備巡視路の問題を数理計画法やゲーム理論,探索理論を用いて解くことを考える.そのため,全体 …
NAID 110007891207

Related Pictures

★リンクテーブル★

リンク元	「囚人のジレンマ」「game theory」「Gの方程式」

「囚人のジレンマ」

　　[★]

英: prisoner's dilemma
関: ゲーム理論

「game theory」

　　[★]

ゲーム理論

関: prisoner's dilemma

「Gの方程式」

　　[★]

英: formula G
関: ゲーム理論

[1] ロジャー・マイヤーソン Game Theory: Analysis of Conflict Harvard University Press, p. 1. Chapter-preview links, pp. vii–xi.

[2] ロバート・オーマン The New Palgrave Dictionary of Economics, 2nd Edition. Abstract.

匿名

検索

案内

案内