wavelet

• 小波

　

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1. 小波,さざ波

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出典(authority):フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』「2013/04/19 18:32:46」(JST)

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数学におけるウェーブレット(英語: wavelet)、ウェーブレット解析、ウェーブレット変換とは、マザーウェーブレットと呼ばれる有限長波形（もしくは速やかに減衰しながら振動する波形）による信号表現である。信号表現は入力信号に合致するようなウェーブレット波形の拡大縮小（スケーリング）・平行移動（シフト）により行われる。より正確には、この信号表現はウェーブレット系列と呼ばれ、これは2乗可積分関数のヒルベルト空間における完備直交基底関数集合を用いた座標表現である。

JPEG 2000で使われているウェーブレットは双直交ウェーブレットであり、ウェーブレット系列の座標は異なる2つの基底関数集合を用いて計算されるため、注意を要する。

歴史

ウェーブレットの発展は、20世紀初頭のハンガリー人数学者アルフレッド・ハールによるいくつかの断片的な考察に基づく。ガーボル・デーネシュによるその後の研究でガボール・アトムが得られた。ガボール・アトムはウェーブレットと似た形で構成され、似た目的に応用された。ウェーブレット理論への大きな貢献のひとつは、1975年のジョージ・ツワイクによる連続ウェーブレット変換（初期には cochlear 変換と呼ばれていて、耳の音に対する反応を研究していたときに発見された。） の発見である。

ウェーブレットの概念は、1975年にエルフで石油探査をしていたフランス人地球物理学者ジャン・モーレーが発見した。1981年、モーレーは クロアチア系フランス人物理学者アレックス・グロスマンとの共同研究から連続ウェーブレット変換の定式化（Goupillaud）を行なった。彼らはフランス語で"小さい波"を意味するondeletteという言葉を用いていたが、少し後に英語に翻訳された際に"onde"は"wave"と訳されてウェーブレット("wavelet")という用語が誕生した。

その後のウェーブレット理論における大きな貢献には、Strombergによる離散ウェーブレット変換における初期研究(1983)、イングリッド・ドブシーによるコンパクト台を持つ直交ウェーブレット(1988)、Mallatによる多重解像度解析に関する提案(1989)、Delpratによる連続ウェーブレット変換における時間-周波数変換(1991)、Newlandによるハーモニックウェーブレット変換など、枚挙にいとまがない。

年表

• 1909年: 最初のウェーブレット (Haarによるハールウェーブレット)
• 1950年代以降: Jean Morlet , Alex Grossman
• 1980年代以降: Yves Meyer, Stephane Mallat, Ingrid Daubechies, Ronald Coifman, Victor Wickerhauser

ウェーブレット理論のアウトライン

ウェーブレット理論は、いくつかの異なる目的で応用される。 全てのウェーブレット変換は、時間周波数表現であると考えられるが、調和解析とも関係がある。

ウェーブレット変換は、大きく連続ウェーブレット変換(CWT)と離散ウェーブレット変換(DWT)に分類される。これらの違いは、CWTでは可能な全てのスケールとシフトが用いられるのに対して、DWTでは一部分のみが使われることにある。

連続ウェーブレット変換は、ハイゼンベルクの不確定性原理に支配されている。同様に、離散ウェーブレットにおいても不確定性原理は考慮されなければならない。

多くの場合に有用である離散ウェーブレット変換は、有限インパルス応答(FIR)フィルタで構成されるフィルタバンクである。

ウェーブレット変換は３つに分類されることが多い。連続ウェーブレット変換、離散ウェーブレット変換、多重解像度解析(MRA)による離散ウェーブレット変換である。以下、この３つについて解説する。

連続ウェーブレット変換

連続ウェーブレット変換においては、有限なエネルギーを持った信号は、連続な周波数バンドの群（もしくは関数空間の一部) として投影される。得られた周波数成分は、適切な積分によって元の信号を再構成することができる。

部分空間の群は、スケール1の部分空間を拡大縮小（スケール）して生成されたものである。この部分空間は、１つの関数すなわちマザーウェーブレットをシフトすることによって生成される。 一般的なマザーウェーブレットの例は以下のとおりである。

Meyer

Morlet

Mexican Hat

スケールaの部分空間は、以下の式で生成される。(これはベビーウェーブレットと呼ばれることがあるがあまり一般的ではない)

ただし、aは正の実数でありスケールを決定する。bは任意の実数でありシフトを決定する。(a,b)のペアは、の上半面において定義される。

関数xをスケールaの部分空間へ投影すると、以下の式で示される。

但し、WTはウェーブレット係数である。

.

信号xの解析のためには、ウェーブレット係数をスケーログラムにする。

離散ウェーブレット変換

詳細は「離散ウェーブレット変換」を参照

全てのウェーブレット係数を使って信号を解析することは実用上不可能である．信号を対応するウェーブレット係数から再構成することは，上半面の離散部分集合さえ取り出せば十分可能だと思うだろう．その一つとして実数パラメータa>1，b>0によるアフィン系がある．対応する半面の離散部分集合は，全ての点を含む（）．対応するベビーウェーブレットは以下で与えられる．

.

式

による有限エネルギーを持つ任意の信号xの再構成のための十分条件は，関数群がのタイトフレームを形作ることである．

多重解像度解析による離散ウェーブレット変換

各種あるウェーブレット変換の離散化の全ての方法において、上半面上の各有界矩形領域は有限個の係数のみを持つ。しかし、各係数を求めるためには積分の評価が必要となる。このような数値的な複雑さを避けるために、ファザーウェーブレットと呼ばれる補助関数 が利用される。このとき a は整数でなければならない。例えば典型的な係数として a=2、b=1 が用いられる。最も有名なファザー・マザーウェーブレットの組としてドブシーの4タップウェーブレットがある。

D4 wavelet

マザー・ファザーそれぞれのウェーブレットから部分空間

, where

と

, where .

が構成される．これらより、系列

は の多重解像度解析を形成することになり、また部分空間 は上の系列の直交する差分、つまり は 中にある の直交補空間となる。サンプリング定理と同様に、sampling distance の空間 は 0 から の周波数帯域をほぼカバーすることになる。また は直交補空間として帯域 を大まかにカバーする。

このような包含と直交の関係より，2つの恒等式

and

と

and .

を満たす系列 と が存在することになる。

2番目の恒等式はファザーウェーブレット の洗練条件と呼ばれる。これらの恒等関係は高速ウェーブレット変換アルゴリズムの土台となっている．

マザーウェーブレット

実応用での効率性を考えると、マザー（プロトタイプ）ウェーブレット（関数）はコンパクトサポートの連続微分可能関数であることが望ましい。しかし、（連続WTにおける）解析的であることの要求と、理論的な理由から、一般的にウェーブレット関数は 空間 の部分空間から選ばれる。これは絶対値積分可能かつ2乗積分可能な可測関数の空間である。

and .

この関数空間では必ずゼロ平均と二乗ノルムの条件が定式化できる。

（ゼロ平均の条件）

（二乗ノルム正規の条件）

が 連続ウェーブレット変換（正確な議論はリンク先参照）のウェーブレットであるためには、マザーウェーブレットは安定な逆変換を持つための許容性の規範（簡単に言うとこれは半微分可能性のようなもの）を満たさなければならない。

離散ウェーブレット変換における最低限満たさなければならない条件として、ウェーブレット系列はLp空間 中の単位元でなければならない。離散WTのほとんどの構成は多重解像度解析を用いており、この場合ウェーブレットはスケール関数により決定される。このスケール関数自体が汎関数方程式である。

多くの場合において をvanishing moments を表すより大きい数字 M の連続関数、つまり全ての整数 m<M について以下の式を満たす関数に限定することは有用である。

マザーウェーブレットは、の因数による拡大縮小（スケール）と、 の因数による平行移動（シフト）により、（Morlet によるオリジナルの定式化のように）以下のように与えられる。

.

連続WTでは、(a,b) のペアは全半平面 上で変化する。また離散WTでは、このペアは、affine群とも呼ばれる離散部分集合上で変化する。

これらの関数はたびたび（連続）変換の基底関数という誤った捉え方をされる。事実、連続フーリエ変換にあるような基底は、連続ウェーブレット変換にはみあたらない。時間周波数解釈では少し違う定式化が使用される（Delpratによる）。

フーリエ変換との比較

ウェーブレット変換は、三角関数の級数表現のフーリエ変換としばしば比較される。主な違いは、ウェーブレット変換は時間と周波数の両方の成分を局在化するが、標準的なフーリエ変換は周波数成分だけを局在化することである。短時間フーリエ変換も時間と周波数の両方を局在化できるが、時間周波数分解能に問題がある。一方、ウェーブレット変換ではしばしば多重解像度解析という、より良い表現が用いられる。

また、離散ウェーブレット変換の計算量はO(N)であり、高速フーリエ変換のO(N log N)に比べて小さい(ここで、Nはデータの大きさである)。

ウェーブレットの決定

ウェーブレット（およびウェーブレット族）の決定には様々な方法がある。

スケーリングフィルター

ウェーブレットはもっぱらスケーリングフィルタ g により決定づけられる。これは長さ 2N で和が 1 となる有限インパルス応答(FIR) の低域通過フィルタである。双直交ウェーブレットでは、分解と再合成のフィルタが別々に決定される。

分析では、高域通過フィルタは低域通過フィルタの QMF として計算され、再合成フィルタは分解フィルタの時間反転である。

例えば、ドブシー・ウェーブレットとSymletウェーブレットは、スケーリングフィルタで定義することができる。

スケーリング関数

ウェーブレットは、ウェーブレット関数(マザーウェーブレット)とスケーリング関数(ファザーウェーブレット)から定義される。

実際のところウェーブレット関数は帯域通過フィルターであり、それぞれの水準の半分の帯域幅でスケールされている。これによって、全てのスペクトルを扱うために無限の水準が必要となる問題が生じる。スケーリング関数を用いれば、最低限の水準で全てのスペクトルを扱うことができる。詳細な説明は[1]にある。

コンパクトサポートをもつウェーブレットでは、は有限長であり、スケーリングフィルターgと同等である。

例えば、Meyerウェーブレットは、スケーリング関数で定義することができる。

ウェーブレット関数

ウェーブレットはウェーブレット関数のような時間領域表現をただ一つ持つ。

例えば、Mexican hat waveletは、ウェーブレット関数で定義することができる。 いくつかの連続ウェーブレットのリストを参照。

応用

大まかに、DWTはデータ圧縮に使われる一方でCWTは信号解析に使われる。その結果として、DWTは工学と計算機科学において一般的に使われ、CWTは科学研究においてもっともよく使われている。ウェーブレット変換は、現在非常に多くの様々な用途に、しばしば従来のフーリエ変換を置き換えて使用されている。分子動力学、第一原理計算、宇宙物理学、密度行列局在、地震地球物理学、光学、乱流そして量子力学を含む、物理学の多くの分野でこのパラダイムシフトが起こった。この変化が起こった他の分野は画像処理、血圧、心拍やECGの解析、DNA解析、タンパク質解析、気候学、一般的な信号処理、音声認識、コンピュータグラフィックスそしてマルチフラクタル解析である。コンピュータビジョンや画像処理において、尺度空間表現やガウス微分オペレータの概念は正規化された多重スケール表現の一つであると考えられている。

ウェーブレットはデータ圧縮の分野でも用いられる。デジタル信号処理における他の時間-周波数変換と同様、ウェーブレット変換は(たとえば画像などの)圧縮されていないデータに対し適用でき、その後圧縮処理がなされることで、結果として効果的なデータ圧縮を実現できる。JPEG 2000はウェーブレットを利用した画像形式の一つである。ウェーブレットを利用したデータ圧縮についてはウェーブレット圧縮を参照されたい。

様々なウェーブレット変換

異なる用途に応じて、多くのウェーブレット変換が存在する。以下にその一例を列挙するが、すべてのウェーブレット変換についてのリストはウェーブレット変換の一覧を参照されたい。

• 連続ウェーブレット変換 (CWT)
• 離散ウェーブレット変換 (DWT)
• 高速ウェーブレット変換 (FWT)
• Wavelet packet decomposition (WPD)
• Stationary ウェーブレット変換 (SWT)

ウェーブレット一覧

離散ウェーブレット

• Beylkin (18)
• Coiflet (6, 12, 18, 24, 30)
• ドブシー・ウェーブレット (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20)
• Cohen-Daubechies-Feauveauウェーブレット (CDF N/PまたはDaubechies双直交ウェーブレットとして参照されることがある)
• ハールウェーブレット
• Symletウェーブレット

連続ウェーブレット

• Mexican hat wavelet
• Hermitian wavelet
• Hermitian hat wavelet
• Complex mexican hat wavelet
• Morlet wavelet
• Modified Morlet wavelet
• Beta wavelet
• Hilbert-Hermitian wavelet

関連項目

• Chirplet変換
• Curvelet
• フィルタバンク
• 非整数次フーリエ変換
• 多重解像度解析
• 短時間フーリエ変換
• 尺度空間
• 超広帯域ラジオはウェーブレットを送信する。

備考

参考文献

• Paul S. Addison, The Illustrated Wavelet Transform Handbook, Institute of Physics, 2002, ISBN 0-7503-0692-0
• Ingrid Daubechies, Ten Lectures on Wavelets, Society for Industrial and Applied Mathematics, 1992, ISBN 0-89871-274-2
• P. P. Vaidyanathan, Multirate Systems and Filter Banks, Prentice Hall, 1993, ISBN 0-13-605718-7
• Mladen Victor Wickerhauser, Adapted Wavelet Analysis From Theory to Software, A K Peters Ltd, 1994, ISBN 1-56881-041-5
• Gerald Kaiser, A Friendly Guide to Wavelets, Birkhauser, 1994, ISBN 0-8176-3711-7

外部リンク

• Wavelets made Simple
• Wavelet Digest
• Course on Wavelets given at UC Santa Barbara, 2004
• Amaras Wavelet Page
• Wavelet Posting Board
• The Wavelet Tutorial by Polikar
• OpenSource Wavelet C Code
• An Introduction to Wavelets
• Wavelets for Kids (PDF file) (introductory)
• Link collection about wavelets
• List of Wavelet resources, libraries and source codes
• Wavelet forums (French) Wavelet forum (English)
• "Biorthogonal sinc wavelets"
• Gerald Kaiser's acoustic and electromagnetic wavelets
• A really friendly guide to wavelets
• Advanced Signal Processing Toolkit - Commercial software from National Instruments for wavelet-based analysis and processing in LabVIEW

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A wavelet is a wave-like oscillation with an amplitude that begins at zero, increases, and then decreases back to zero. It can typically be visualized as a "brief oscillation" like one might see recorded by a seismograph or heart monitor. Generally, wavelets are purposefully crafted to have specific properties that make them useful for signal processing. Wavelets can be combined, using a "reverse, shift, multiply and sum" technique called convolution, with portions of an unknown signal to extract information from the unknown signal.

For example, a wavelet could be created to have a frequency of Middle C and a short duration of roughly a 32nd note. If this wavelet were to be convolved at periodic intervals with a signal created from the recording of a song, then the results of these convolutions would be useful for determining when the Middle C note was being played in the song. Mathematically, the wavelet will resonate if the unknown signal contains information of similar frequency – just as a tuning fork physically resonates with sound waves of its specific tuning frequency. This concept of resonance is at the core of many practical applications of wavelet theory.

As a mathematical tool, wavelets can be used to extract information from many different kinds of data, including – but certainly not limited to – audio signals and images. Sets of wavelets are generally needed to analyze data fully. A set of "complementary" wavelets will deconstruct data without gaps or overlap so that the deconstruction process is mathematically reversible. Thus, sets of complementary wavelets are useful in wavelet based compression/decompression algorithms where it is desirable to recover the original information with minimal loss.

In formal terms, this representation is a wavelet series representation of a square-integrable function with respect to either a complete, orthonormal set of basis functions, or an overcomplete set or frame of a vector space, for the Hilbert space of square integrable functions.

Name

The word wavelet has been used for decades in digital signal processing and exploration geophysics. The equivalent French word ondelette meaning "small wave" was used by Morlet and Grossmann in the early 1980s.

Wavelet theory

Wavelet theory is applicable to several subjects. All wavelet transforms may be considered forms of time-frequency representation for continuous-time (analog) signals and so are related to harmonic analysis. Almost all practically useful discrete wavelet transforms use discrete-time filterbanks. These filter banks are called the wavelet and scaling coefficients in wavelets nomenclature. These filterbanks may contain either finite impulse response (FIR) or infinite impulse response (IIR) filters. The wavelets forming a continuous wavelet transform (CWT) are subject to the uncertainty principle of Fourier analysis respective sampling theory: Given a signal with some event in it, one cannot assign simultaneously an exact time and frequency response scale to that event. The product of the uncertainties of time and frequency response scale has a lower bound. Thus, in the scaleogram of a continuous wavelet transform of this signal, such an event marks an entire region in the time-scale plane, instead of just one point. Also, discrete wavelet bases may be considered in the context of other forms of the uncertainty principle.

Wavelet transforms are broadly divided into three classes: continuous, discrete and multiresolution-based.

Continuous wavelet transforms (continuous shift and scale parameters)

In continuous wavelet transforms, a given signal of finite energy is projected on a continuous family of frequency bands (or similar subspaces of the L^p function space L²(R) ). For instance the signal may be represented on every frequency band of the form [f, 2f] for all positive frequencies f > 0. Then, the original signal can be reconstructed by a suitable integration over all the resulting frequency components.

The frequency bands or subspaces (sub-bands) are scaled versions of a subspace at scale 1. This subspace in turn is in most situations generated by the shifts of one generating function ψ in L²(R), the mother wavelet. For the example of the scale one frequency band [1, 2] this function is

with the (normalized) sinc function. That, Meyer's, and two other examples of mother wavelets are:

Meyer

Morlet

Mexican Hat

The subspace of scale a or frequency band [1/a, 2/a] is generated by the functions (sometimes called child wavelets)

where a is positive and defines the scale and b is any real number and defines the shift. The pair (a, b) defines a point in the right halfplane R₊ × R.

The projection of a function x onto the subspace of scale a then has the form

with wavelet coefficients

See a list of some Continuous wavelets.

For the analysis of the signal x, one can assemble the wavelet coefficients into a scaleogram of the signal.

Discrete wavelet transforms (discrete shift and scale parameters)

It is computationally impossible to analyze a signal using all wavelet coefficients, so one may wonder if it is sufficient to pick a discrete subset of the upper halfplane to be able to reconstruct a signal from the corresponding wavelet coefficients. One such system is the affine system for some real parameters a > 1, b > 0. The corresponding discrete subset of the halfplane consists of all the points (a^m, na^mb) with m, n in Z. The corresponding baby wavelets are now given as

A sufficient condition for the reconstruction of any signal x of finite energy by the formula

is that the functions form a tight frame of L²(R).

Multiresolution discrete wavelet transforms

D4 wavelet

In any discretised wavelet transform, there are only a finite number of wavelet coefficients for each bounded rectangular region in the upper halfplane. Still, each coefficient requires the evaluation of an integral. To avoid this numerical complexity, one needs one auxiliary function, the father wavelet φ in L²(R). Further, one has to restrict a to be an integer. A typical choice is a = 2 and b = 1. The most famous pair of father and mother wavelets is the Daubechies 4-tap wavelet.

From the mother and father wavelets one constructs the subspaces

From these one requires that the sequence

forms a multiresolution analysis of a^m and that the subspaces are the orthogonal "differences" of the above sequence, that is, W_m is the orthogonal complement of V_m inside the subspace V_m−1. In analogy to the sampling theorem one may conclude that the space V_m with sampling distance 2^m more or less covers the frequency baseband from 0 to 2^−m-1. As orthogonal complement, W_m roughly covers the band [2^−m-1, 2^−m].

From those inclusions and orthogonality relations follows the existence of sequences and that satisfy the identities

and

and

The second identity of the first pair is a refinement equation for the father wavelet φ. Both pairs of identities form the basis for the algorithm of the fast wavelet transform. Note that not every discrete wavelet orthonormal basis can be associated to a multiresolution analysis; for example, the Journe wavelet set wavelet admits no multiresolution analysis.

Mother wavelet

For practical applications, and for efficiency reasons, one prefers continuously differentiable functions with compact support as mother (prototype) wavelet (functions). However, to satisfy analytical requirements (in the continuous WT) and in general for theoretical reasons, one chooses the wavelet functions from a subspace of the space This is the space of measurable functions that are absolutely and square integrable:

and

Being in this space ensures that one can formulate the conditions of zero mean and square norm one:

is the condition for zero mean, and

is the condition for square norm one.

For ψ to be a wavelet for the continuous wavelet transform (see there for exact statement), the mother wavelet must satisfy an admissibility criterion (loosely speaking, a kind of half-differentiability) in order to get a stably invertible transform.

For the discrete wavelet transform, one needs at least the condition that the wavelet series is a representation of the identity in the space L²(R). Most constructions of discrete WT make use of the multiresolution analysis, which defines the wavelet by a scaling function. This scaling function itself is solution to a functional equation.

In most situations it is useful to restrict ψ to be a continuous function with a higher number M of vanishing moments, i.e. for all integer m < M

The mother wavelet is scaled (or dilated) by a factor of a and translated (or shifted) by a factor of b to give (under Morlet's original formulation):

For the continuous WT, the pair (a,b) varies over the full half-plane R₊ × R; for the discrete WT this pair varies over a discrete subset of it, which is also called affine group.

These functions are often incorrectly referred to as the basis functions of the (continuous) transform. In fact, as in the continuous Fourier transform, there is no basis in the continuous wavelet transform. Time-frequency interpretation uses a subtly different formulation (after Delprat).

Restriction：

(1) when a1 = a and b1 = b,

(2) has a finite time interval

Comparisons with Fourier transform (continuous-time)

The wavelet transform is often compared with the Fourier transform, in which signals are represented as a sum of sinusoids. The main difference is that wavelets are localized in both time and frequency whereas the standard Fourier transform is only localized in frequency. The Short-time Fourier transform (STFT) is more similar to the wavelet transform, in that it is also time and frequency localized, but there are issues with the frequency/time resolution trade-off. Wavelets often give a better signal representation using Multiresolution analysis, with balanced resolution at any time and frequency.

The discrete wavelet transform is also less computationally complex, taking O(N) time as compared to O(N log N) for the fast Fourier transform. This computational advantage is not inherent to the transform, but reflects the choice of a logarithmic division of frequency, in contrast to the equally spaced frequency divisions of the FFT(Fast Fourier Transform) which uses the same basis functions as DFT (Discrete Fourier Transform). It is also important to note that this complexity only applies when the filter size has no relation to the signal size. A wavelet without compact support such as the Shannon wavelet would require O(N²). (For instance, a logarithmic Fourier Transform also exists with O(N) complexity, but the original signal must be sampled logarithmically in time, which is only useful for certain types of signals.)

Definition of a wavelet

There are a number of ways of defining a wavelet (or a wavelet family).

Scaling filter

An orthogonal wavelet is entirely defined by the scaling filter – a low-pass finite impulse response (FIR) filter of length 2N and sum 1. In biorthogonal wavelets, separate decomposition and reconstruction filters are defined.

For analysis with orthogonal wavelets the high pass filter is calculated as the quadrature mirror filter of the low pass, and reconstruction filters are the time reverse of the decomposition filters.

Daubechies and Symlet wavelets can be defined by the scaling filter.

Scaling function

Wavelets are defined by the wavelet function ψ(t) (i.e. the mother wavelet) and scaling function φ(t) (also called father wavelet) in the time domain.

The wavelet function is in effect a band-pass filter and scaling it for each level halves its bandwidth. This creates the problem that in order to cover the entire spectrum, an infinite number of levels would be required. The scaling function filters the lowest level of the transform and ensures all the spectrum is covered. See [1] for a detailed explanation.

For a wavelet with compact support, φ(t) can be considered finite in length and is equivalent to the scaling filter g.

Meyer wavelets can be defined by scaling functions

Wavelet function

The wavelet only has a time domain representation as the wavelet function ψ(t).

For instance, Mexican hat wavelets can be defined by a wavelet function. See a list of a few Continuous wavelets.

Applications of discrete wavelet transform

Generally, an approximation to DWT is used for data compression if signal is already sampled, and the CWT for signal analysis. Thus, DWT approximation is commonly used in engineering and computer science, and the CWT in scientific research.

Wavelet transforms are now being adopted for a vast number of applications, often replacing the conventional Fourier Transform. Many areas of physics have seen this paradigm shift, including molecular dynamics, ab initio calculations, astrophysics, density-matrix localisation, seismology, optics, turbulence and quantum mechanics. This change has also occurred in image processing, blood-pressure, heart-rate and ECG analyses, brain rhythms, DNA analysis, protein analysis, climatology, general signal processing, speech recognition, computer graphics and multifractal analysis. In computer vision and image processing, the notion of scale space representation and Gaussian derivative operators is regarded as a canonical multi-scale representation.

One use of wavelet approximation is in data compression. Like some other transforms, wavelet transforms can be used to transform data, then encode the transformed data, resulting in effective compression. For example, JPEG 2000 is an image compression standard that uses biorthogonal wavelets. This means that although the frame is overcomplete, it is a tight frame (see types of Frame of a vector space), and the same frame functions (except for conjugation in the case of complex wavelets) are used for both analysis and synthesis, i.e., in both the forward and inverse transform. For details see wavelet compression.

A related use is for smoothing/denoising data based on wavelet coefficient thresholding, also called wavelet shrinkage. By adaptively thresholding the wavelet coefficients that correspond to undesired frequency components smoothing and/or denoising operations can be performed.

Wavelet transforms are also starting to be used for communication applications. Wavelet OFDM is the basic modulation scheme used in HD-PLC (a power line communications technology developed by Panasonic), and in one of the optional modes included in the IEEE 1901 standard. Wavelet OFDM can achieve deeper notches than traditional FFT OFDM, and wavelet OFDM does not require a guard interval (which usually represents significant overhead in FFT OFDM systems).

History

The development of wavelets can be linked to several separate trains of thought, starting with Haar's work in the early 20th century. Later work by Dennis Gabor yielded Gabor atoms (1946), which are constructed similarly to wavelets, and applied to similar purposes. Notable contributions to wavelet theory can be attributed to Zweig’s discovery of the continuous wavelet transform in 1975 (originally called the cochlear transform and discovered while studying the reaction of the ear to sound), Pierre Goupillaud, Grossmann and Morlet's formulation of what is now known as the CWT (1982), Jan-Olov Strömberg's early work on discrete wavelets (1983), Daubechies' orthogonal wavelets with compact support (1988), Mallat's multiresolution framework (1989), Akansu's Binomial QMF (1990), Nathalie Delprat's time-frequency interpretation of the CWT (1991), Newland's harmonic wavelet transform (1993) and many others since.

Timeline

• First wavelet (Haar wavelet) by Alfréd Haar (1909)
• Since the 1970s: George Zweig, Jean Morlet, Alex Grossmann
• Since the 1980s: Yves Meyer, Stéphane Mallat, Ingrid Daubechies, Ronald Coifman, Ali Akansu, Victor Wickerhauser,

Wavelet transforms

A wavelet is a mathematical function used to divide a given function or continuous-time signal into different scale components. Usually one can assign a frequency range to each scale component. Each scale component can then be studied with a resolution that matches its scale. A wavelet transform is the representation of a function by wavelets. The wavelets are scaled and translated copies (known as "daughter wavelets") of a finite-length or fast-decaying oscillating waveform (known as the "mother wavelet"). Wavelet transforms have advantages over traditional Fourier transforms for representing functions that have discontinuities and sharp peaks, and for accurately deconstructing and reconstructing finite, non-periodic and/or non-stationary signals.

Wavelet transforms are classified into discrete wavelet transforms (DWTs) and continuous wavelet transforms (CWTs). Note that both DWT and CWT are continuous-time (analog) transforms. They can be used to represent continuous-time (analog) signals. CWTs operate over every possible scale and translation whereas DWTs use a specific subset of scale and translation values or representation grid.

There are a large number of wavelet transforms each suitable for different applications. For a full list see list of wavelet-related transforms but the common ones are listed below:

• Continuous wavelet transform (CWT)
• Discrete wavelet transform (DWT)
• Fast wavelet transform (FWT)
• Lifting scheme & Generalized Lifting Scheme
• Wavelet packet decomposition (WPD)
• Stationary wavelet transform (SWT)
• Fractional Fourier transform (FRFT)
• Fractional wavelet transform (FRWT)

Generalized transforms

There are a number of generalized transforms of which the wavelet transform is a special case. For example, Joseph Segman introduced scale into the Heisenberg group, giving rise to a continuous transform space that is a function of time, scale, and frequency. The CWT is a two-dimensional slice through the resulting 3d time-scale-frequency volume.

Another example of a generalized transform is the chirplet transform in which the CWT is also a two dimensional slice through the chirplet transform.

An important application area for generalized transforms involves systems in which high frequency resolution is crucial. For example, darkfield electron optical transforms intermediate between direct and reciprocal space have been widely used in the harmonic analysis of atom clustering, i.e. in the study of crystals and crystal defects. Now that transmission electron microscopes are capable of providing digital images with picometer-scale information on atomic periodicity in nanostructure of all sorts, the range of pattern recognition and strain/metrology applications for intermediate transforms with high frequency resolution (like brushlets and ridgelets) is growing rapidly.

Fractional wavelet transform (FRWT) is a generalization of the classical wavelet transform in the fractional Fourier transform domains. This transform is capable of providing the time- and fractional-domain information simultaneously and representing signals in the time-fractional-frequency plane.

List of wavelets

Discrete wavelets

• Beylkin (18)
• BNC wavelets
• Coiflet (6, 12, 18, 24, 30)
• Cohen-Daubechies-Feauveau wavelet (Sometimes referred to as CDF N/P or Daubechies biorthogonal wavelets)
• Daubechies wavelet (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20)
• Binomial-QMF (Also referred to as Daubechies wavelet)
• Haar wavelet
• Mathieu wavelet
• Legendre wavelet
• Villasenor wavelet
• Symlet

Continuous wavelets

Real-valued

• Beta wavelet
• Hermitian wavelet
• Hermitian hat wavelet
• Meyer wavelet
• Mexican hat wavelet
• Shannon wavelet

Complex-valued

• Complex Mexican hat wavelet
• fbsp wavelet
• Morlet wavelet
• Shannon wavelet
• Modified Morlet wavelet

See also

• Chirplet transform
• Curvelet
• Digital cinema
• Filter banks
• Fractal compression
• Fractional Fourier transform
• JPEG 2000
• Multiresolution analysis
• Noiselet
• Scale space
• Shearlet
• Short-time Fourier transform
• Ultra wideband radio- transmits wavelets
• Wave packet
• Gabor wavelet#Wavelet space
• Dimension reduction
• Fourier-related transforms
• Spectrogram

Notes

References

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External links

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• Wavelet Analysis in Mathematica (A very comprehensive set of wavelet analysis tools)
• 1st NJIT Symposium on Wavelets (April 30, 1990) (First Wavelets Conference in USA)
• Binomial-QMF Daubechies Wavelets
• Wavelets by Gilbert Strang, American Scientist 82 (1994) 250–255. (A very short and excellent introduction)
• Wavelet Digest
• NASA Signal Processor featuring Wavelet methods Description of NASA Signal & Image Processing Software and Link to Download
• Course on Wavelets given at UC Santa Barbara, 2004
• The Wavelet Tutorial by Polikar (Easy to understand when you have some background with fourier transforms!)
• OpenSource Wavelet C++ Code
• Wavelets for Kids (PDF file) (Introductory (for very smart kids!))
• Link collection about wavelets
• Gerald Kaiser's acoustic and electromagnetic wavelets
• A really friendly guide to wavelets
• Wavelet-based image annotation and retrieval
• Very basic explanation of Wavelets and how FFT relates to it
• A Practical Guide to Wavelet Analysis is very helpful, and the wavelet software in FORTRAN, IDL and MATLAB are freely available online. Note that the biased wavelet power spectrum needs to be rectified.
• WITS: Where Is The Starlet? A dictionary of tens of wavelets and wavelet-related terms ending in -let, from activelets to x-lets through bandlets, contourlets, curvelets, noiselets, wedgelets.
• Python Wavelet Transforms Package OpenSource code for computing 1D and 2D Discrete wavelet transform, Stationary wavelet transform and Wavelet packet transform.
• Wavelet Library GNU/GPL library for n-dimensional discrete wavelet/framelet transforms.
• The Fractional Spline Wavelet Transform describes a fractional wavelet transform based on fractional b-Splines.
• A Panorama on Multiscale Geometric Representations, Intertwining Spatial, Directional and Frequency Selectivity provides a tutorial on two-dimensional oriented wavelets and related geometric multiscale transforms.
• HD-PLC Alliance
• Signal Denoising using Wavelets
• Rene Puchinger's detailed introduction to wavelets

UpToDate Contents

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• 1. 加算平均心電図の技術的側面 technical aspects of the signal averaged electrocardiogram
• 2. 虚血性心疾患における加算平均心電図の利用 use of the signal averaged electrocardiogram in ischemic heart disease
• 3. 不整脈のリエントリーおよび発現 reentry and the development of cardiac arrhythmias

English Journal

• Optimizing the models for rapid determination of chlorogenic acid, scopoletin and rutin in plant samples by near-infrared diffuse reflectance spectroscopy.

• Mao Z1, Shan R1, Wang J2, Cai W1, Shao X3.
• Spectrochimica acta. Part A, Molecular and biomolecular spectroscopy.Spectrochim Acta A Mol Biomol Spectrosc.2014 Jul 15;128:711-5. doi: 10.1016/j.saa.2014.03.015. Epub 2014 Mar 20.
• Polyphenols in plant samples have been extensively studied because phenolic compounds are ubiquitous in plants and can be used as antioxidants in promoting human health. A method for rapid determination of three phenolic compounds (chlorogenic acid, scopoletin and rutin) in plant samples using near-
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• Environmental pollution (Barking, Essex : 1987).Environ Pollut.2014 Jul;190:75-81. doi: 10.1016/j.envpol.2014.03.020. Epub 2014 Apr 15.
• There is an increasing interest in spatial and temporal variation of air pollution and its association with weather conditions. We presented the spatial and temporal variation of Air Pollution Index (API) and examined the associations between API and meteorological factors during 2001-2011 in Guangz
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• Molecular bioSystems.Mol Biosyst.2014 Jun 6;10(6):1576-85. doi: 10.1039/c4mb00142g. Epub 2014 Apr 7.
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Japanese Journal

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• 電子情報通信学会技術研究報告 = IEICE technical report : 信学技報 117(396), 231-236, 2018-01-22
• NAID 40021465749

• グラフウェーブレット変換に基づくグラフ信号のスケーラブル符号化 (信号処理)

• 電子情報通信学会技術研究報告 = IEICE technical report : 信学技報 117(395), 231-236, 2018-01-22
• NAID 40021465157

• グラフウェーブレット変換に基づくグラフ信号のスケーラブル符号化 (情報理論)

• 電子情報通信学会技術研究報告 = IEICE technical report : 信学技報 117(394), 231-236, 2018-01-22
• NAID 40021464258

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