対合

英

pairing, synapsis

関

減数分裂

WordNet

1. the side by side pairing of homologous maternal and paternal chromosomes at the start of meiosis

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出典(authority):フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』「2015/06/16 18:10:56」(JST)

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対合（たいごう、ついごう、involution）は、自分自身をその逆として持つ写像である。

これは空間上の変換であって、二回繰り返すと恒等変換となる（元に戻る）という性質

を持つものと言ってもよい。ただし、それ自身が恒等変換となるものは通常は除いて考える。またこれは変換群に属する位数 2 の元

を指すと言っても同じことであり、それを理由に一般の群（抽象群）においても位数 2 の元を対合と呼ぶことがある。

例

• 平面上の任意の点 x を、ある直線 l に関して対称な点 φ(x) に写す操作（鏡映）φ は、明らかに φ(φ(x)) = x を満たすから φ は平面上の対合である。
• 集合 A に対し、普遍集合 S において A の補集合 A^c をとる操作は、(A^c)^c = A を満たすから、この変換は S の冪集合における対合である。
• 複素数 z に対しその共役複素数 z^* をとる複素数体 C 上の変換は、 (z^*)^* = z を満たすから対合である。

対合つき代数系

群 G が与えられ、その上の写像 I: G → G が対合であって、次の関係

を満たすとき、対合 I は G の群構造と両立するといい、組 (G, I) を対合付きの群と呼ぶ。群の逆元をとる演算

は g, h を G の元とすれば

を満たすので、これは群が標準的に持つ群構造と両立する対合である。

また、環 R とその上に対合 "*": R → R で

を満たすものの組 (R, "*") として対合付き環の概念が得られる。もっと一般に必ずしも可換でないものを含む二項演算（と単項演算、0項演算）のみからなる代数系 A にその上の対合 σ が存在するとき、σ が A からその逆代数系 A^opp への準同型となる（つまり、二項演算の順番を逆にし、単項、0 項演算と可換となる）とき、代数系 A の構造と対合 σ は両立するといい、組 (A, σ) を対合つき代数系と呼ぶ。たとえば、n 次全行列環 M_n(K) (K は可換環あるいは体)に、行列を転置させる写像 t を考えたとき、x, y を行列、λ をスカラーとすると

が満たされるので、(M_n(K), t) は対合つき多元環である。

体 L が対合となる自己同型 σ を持つとき、σ の固定体を F とすると、拡大 L/F は二次拡大である。

対合で生成される群

鏡映群、コクセター群は、（位数 2 の元という意味での）対合からなる生成系を持つ群である。

関連項目

• *-環（*-algebra; 対合つき多元環）
• C*-環(C型対合つき多元環)
• コクセター群

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Japanese Journal

• A-23 対合歯の摩耗にジルコニアの表面性状が与える影響について(ジルコニア,一般講演(口頭発表),第63回日本歯科理工学会学術講演会)

• 榊原 亨,伴 清治,河合 達志,村上 弘
• 日本歯科理工学会誌 33(2), 133, 2014-03-25
• The wear of the opposing teeth against zirconia prosthesis is of great concern. On the other hand, some reports suggest that the wear of the opposing teeth is due to the microtopographical properties …
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