英: generalized linear model

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出典(authority):フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』「2013/01/13 17:51:44」(JST)

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この項目では、一般化線形モデル (generalized linear model)について説明しています。

一般線形モデル (general linear model)については「一般線形モデル」をご覧ください。

一般化線形モデル (いっぱんかせんけいモデル、英:Generalized linear model、GLM)は、正規分布以外の分布を扱えるように線形回帰モデルを拡張したモデル。ポアソン回帰、ロジスティック回帰などが含まれる。ネルダーとウェダーバーンによって提唱された^[1]。

概要

確率変数Yは指数分布族であり、分布関数f(y)は正準(canonical)パラメーターθ, 分散(dispersion)パラメーターφとスカラー関数a(θ), c(y,θ) を用いて

とあらわせるとする。この平均および分散は、それぞれa '(θ), φ a' '(θ)である。ここで、正準パラメーターθが、リンク関数(link function)と呼ばれる滑らかな関数g (θ)と、別の確率変数Xの実現値xを用いて、g (θ)=β^T x と表せるとするのが、一般化線形モデルである。

実例

a(θ)=θ²/2, φ=σ², c(y,θ) -(y²/σ²+log 2πσ²)のとき、Yは平均θ,分散σ²の正規分布である。リンク関数としてg (θ)=θ (正準リンク<canonical link>とよぶ)を取るとき、平均θはβ^T xと等しい。これは、通常の線形回帰に相当する。

a(θ)=-log(1-p) (ただしp=e^θ/(1+e^θ) ), φ=1, c=0のとき、Yは生起確率pのベルヌーイ分布（確率pで1, 確率1-pで0）である。接続関数としてg (θ)=θ を取るとき、これをロジスティック回帰模型(logistic regression model)とよぶ。Y=1,0の確率は、

で与えられる。さらに、リンク関数をg (θ)=Ψ^-1 (p) (Ψは標準正規分布の累積分布関数)に取ることで、プロビット模型が得られる。

パラメーターの決定には、ニュートン法を用いた最尤法などがある。

参考文献

^ Nelder, John; Wedderburn, Robert (1972). “Generalized Linear Models”. Journal of the Royal Statistical Society. Series A (General) (Blackwell Publishing) 135 (3): 370–384. doi:10.2307/2344614. JSTOR 2344614.

McCullagh, Peter; Nelder, John (1989). Generalized Linear Models, Second Edition. Boca Raton: Chapman and Hall/CRC. ISBN 0-412-31760-5.
Henrik Madsen and Poul Thyregod (2011). Introduction to General and Generalized Linear Models. Chapman & Hall/CRC. ISBN 978-1-4200-9155-7.

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Japanese Journal

一般化線形モデルによる価格弾力性推定に基づく粗利最大化 (特集サービス工学)

関庸一,亀倉大和
日本経営工学会論文誌 63(3), 161-172, 2012-10
NAID 40019464123

平成23年度における被爆者大腸癌-広島原爆健康管理・増進センターにおける症例-

川西昌弘,平野雅俊 [他]
長崎醫學會雜誌 : Nagasaki Igakkai zasshi 87(特集), 216-219, 2012-09-25
… 集計や統計処理は「R」3)を用い,2項分布の95%信頼限界,Fisher's Exact Methodおよび一般化線形モデル(Logisticモデル)を用い,p\<0<Oh>.05を有意と判断した. …
NAID 110009517212