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出典(authority):フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』「2021/07/29 06:25:45」(JST)
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線型性(せんけいせい、英語: linearity)あるいは線型、線形、線状、リニア(せんけい、英語: linear、ラテン語: linearis)とは、数学や工学の用語であり、グラフとして表した時に直線となるような数学的関係のことをいう。対義語は非線型性(英語: Non-Linearity)。
表記のぶれ
英語の数学用語の linear に当てる日本語訳としては、線型が本来の表記であると指摘されることもある[1]が、他にも線形、線状などといった表記もしばしば用いられている。また一次という表記・表現もしばしば用いられている。というのは linear は、(多変数の)斉一次函数を指していると考えて間違っていない場合も多いためである[2]。
線型写像
数学において、写像 f が線型であるとは、f について以下の2つの性質
- 加法性:任意の x, y に対して f(x + y) = f(x) + f(y)
- 斉次性(作用との可換性): 任意の x, α に対して f (αx) = αf(x)
が満たされることである。ここで x, y は実数や複素数、あるいはベクトル[要曖昧さ回避]など一般に環上の加群の元、α はその環の元を表す。たとえば、一次関数はそのグラフが原点を通るとき、またそのときに限り線型性を持つ[要出典]。
線型代数学はこのような線型の変換とそれによって保たれる空間の性質について研究する学問であり、ベクトル、ベクトル空間および行列によって表される線型写像や線型方程式系を扱う。また関数を関数に写す写像である作用素の線型性は関数解析学で扱われる。関数の微分を作用素と見なすことで得られる微分作用素(たとえば∇やラプラス作用素)の概念は線型作用素の重要な例である。
微分方程式
微分方程式が線型である場合は線型代数学の範疇で解を探すことができる。一方で、線型でない(非線型の)場合には、たとえばカオスのような問題が現れ、解くことが飛躍的に難しくなる。しかし、それゆえに、またパンルヴェ方程式のようにある種の対称性をもち、幾何学的に多様な性質を内包するものが存在するなどの理由により、数学者や物理学者などにとって興味深い対象が数多く存在するのも非線型微分方程式である
重線型
多変数の写像の線型性として重線型性(多重線型性)がある。2変数の場合は
- 双線型性
- f(x + y, z) = f(x, z) + f(y, z),
- f(x, y + z) = f(x, y) + f(x, z),
- f(cx, y ) = f(x, cy) = cf (x, y)
である。双線型な汎関数(双線型形式)の例としては内積や外積が挙げられる。さらに多変数の場合に
- 多重線型性
を考えることができる。例えば、行列式は列または行ベクトルに注目すれば多重線型形式である。
詳細は「テンソル積」および「テンソル代数」を参照
電気回路
詳細は「線形回路」を参照
入力と出力の関係に線型性のある電気回路は、線形回路と呼ばれる。特に増幅回路において、線形性の有無は重要である。線形性が不完全な場合は、増幅後の信号に歪みが生じる。
脚注
- ^ 岩波国語辞典 第五版
- ^ 「一次」も、必ずしも「線型」を意味しない。例えば一般の一次関数 (linear function) の「一次」および linear は本項にいう意味では線型でない(アフィンである)。「線形代数」「線型代数」を「一次代数」とは云わない。
関連項目
UpToDate Contents
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- 1. ヒト絨毛性ゴナドトロピン:妊娠判定や疾患の診断に利用する場合の生物学的特性と測定値human chorionic gonadotropin biochemistry and measurement in pregnancy and disease [show details]
…measurement are (1) use of an alternate assay, (2) paired urine and serum analysis, (3) performance of linearity studies, and (4) measurement of hCG before and after addition of a blocking reagent. Analysis using …
- 2. B型肝炎ウイルス:スクリーニングおよび診断hepatitis b virus screening and diagnosis [show details]
…replication. The sensitivity limit of these assays depends upon the techniques used. The range of linearity also varies. Currently, most HBV DNA assays use real-time PCR techniques, report results in international …
- 3. アレルギーのin vitro検査の概要overview of in vitro allergy tests [show details]
…. A typical threshold for positivity is >0.35 kIU/L. The ImmunoCAP has been shown to maintain linearity of results below this threshold and can accurately detect minute quantities of allergen-specific…
- 4. 関節リウマチの疾患活動および身体機能の評価assessment of rheumatoid arthritis disease activity and physical function [show details]
…developed because the HAQ is lengthy (34 questions) and has certain psychometric issues regarding linearity of the score and clarity of the questions . The HAQ-II uses 10 questions with 4 levels of difficulty…
Japanese Journal
- CMOSイメージセンサ用連続サンプリング型VCO-ADC (情報センシング)
- 鎌田 夏実,金澤 悠里,池辺 将之
- 映像情報メディア学会技術報告 = ITE technical report 45(21), 109-112, 2021-08
- NAID 40022675094
- 篠原 直登,山道 真人
- 日本生態学会誌 = Japanese journal of ecology 71(2), 39-63, 2021-07
- NAID 40022665229
- ハイパースラブ射影を用いた二次曲面クラスタリングと色むら除去への応用 (情報センシング メディア工学 映像・信号の処理・解析・AI技術とその多分野応用)
- 大坪 立弥,河野 有杜,京地 清介
- 映像情報メディア学会技術報告 = ITE technical report 45(13), 39-44, 2021-06
- NAID 40022622748
Related Links
- 2 線形性の何が良いのか?. 3 まとめ. 線形性とは?. 線形性とは簡単に言えば「 入力に対する出力の予測が容易 」という性質です。. まずは、「線形性」いう言葉が出来た起源を辿りましょう。. 先生. 線形性の起源. 次のような原点を通る直線 y = a x y = a x を ...
- 線形性は,高校数学の様々な分野に共通する美しい性質です。微分,積分,期待値,シグマ,ベクトルなどなど。高校数学の美しい物語の管理人。「わかりやすいこと」と「ごまかさないこと」の両立を意識している。著書に『高校数学の美しい物語』『超ディープな算数の教科書』。
- は線形性をもつ。. 平面上の直線が、この直線上に原点をもつ ( x, y) 座標 で、二つの変数 x と y の同次一次式で表されることからこの名が生まれた。. 線形性に関する数学理論をまとめたものが線形代数である。. その基本概念である 線形空間 と 線形写像 ...
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- 英
- linear
- 関
- 直鎖状、比例、リニア、直線的