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弾性率 （だんせいりつ、英語: elastic modulus ）は、変形のしにくさを表す物性値であり、弾性変形における応力とひずみの間の比例定数の総称である。弾性係数 あるいは弾性定数 とも呼ばれる[1] 。
1807年にトマス・ヤングによって導入された[2] 。
種類
単純な伸長変形のモデル。L_0は元長、Lは変形後長さ、εは伸長ひずみ、fは力、A_0は変形前における力と垂直な断面積、σは応力、Eは伸長弾性率、η_Eは伸長粘度、上にドットの付いたεは伸長ひずみの時間微分である。
単純な剪断変形のモデル。dは変位、hは力と垂直な厚さ、αは倒れ角、γは剪断ひずみ、fは力、A_0は変形前における力と平行な断面積、σは応力、Gは剪断弾性率、ηは剪断粘度、上にドットの付いたγは剪断ひずみの時間微分である。
単純な体積変形のモデル。V_0は元体積、Vは変形後体積、κは体積ひずみ、fは力、A_0は変形前における表面積、σは応力、Kは体積弾性率、η_Vは体積粘度、上にドットの付いたκは体積ひずみの時間微分である。
弾性率は、弾性変形における応力とひずみの間の比例定数(応力/ひずみ)であり、加えられた外力(応力)を分子、応力によって引き起こされたひずみを分母とした商である[3] 。
弾性率 = 応力/ひずみ ひずみは無次元であるので、弾性率は応力と同じ次元を持ち、SIにおける単位はパスカル（記号: Pa）、ニュートン毎平方メートル（記号: N/m2 ）が用いられる。また、弾性率の逆数を弾性コンプライアンス定数 や単に弾性コンプライアンス という。単位は1/Pa、m2 /N。
弾性変形は伸長(または圧縮)変形、剪断変形、体積変形の3つの種類に分けられ、従って弾性率も3種類ある。それぞれひずみの定義は異なる。
引張弾性率
E
{\displaystyle E}
E
=
σ
ε
{\displaystyle E={\frac {\sigma }{\varepsilon }}}
伸長ひずみ
ε
=
L
−
L
0
L
0
{\displaystyle \varepsilon ={\frac {L-L_{0}}{L_{0}}}}
L
0
{\displaystyle L_{0}}
L
{\displaystyle L}
伸長粘度
η
E
=
σ
d
ε
/
d
t
{\displaystyle \eta _{E}={\frac {\sigma }{d\varepsilon /dt}}}
t は時間） 剪断弾性率
G
{\displaystyle G}
G
=
σ
γ
{\displaystyle G={\frac {\sigma }{\gamma }}}
剪断ひずみ
γ
=
d
h
=
tan
α
{\displaystyle \gamma ={\frac {d}{h}}=\tan \alpha }
d
{\displaystyle d}
h
{\displaystyle h}
α
{\displaystyle \alpha }
剪断粘度
η
=
σ
d
γ
/
d
t
{\displaystyle \eta ={\frac {\sigma }{d\gamma /dt}}}
体積弾性率
K
{\displaystyle K}
K
=
σ
κ
{\displaystyle K={\frac {\sigma }{\kappa }}}
体積ひずみ
κ
=
V
−
V
0
V
0
{\displaystyle \kappa ={\frac {V-V_{0}}{V_{0}}}}
V
0
{\displaystyle V_{0}}
V
{\displaystyle V}
体積粘度
η
V
=
σ
d
κ
/
d
t
{\displaystyle \eta _{V}={\frac {\sigma }{d\kappa /dt}}}
テンソル量としての弾性率 2階のテンソル量である応力σ ε D [4] 。
σ
=
D
ϵ
,
{\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\boldsymbol {D}}{\boldsymbol {\epsilon }},}
σ
i
j
=
D
i
j
k
l
ϵ
k
l
(
i
,
j
,
k
,
l
=
1
∼
3
)
{\displaystyle \sigma _{ij}=D_{ijkl}\epsilon _{kl}\quad (i,j,k,l=1\sim 3)}
[5] 弾性率はテンソルであるため、物質客観性の原理により座標変換においてσ=D ε の関係を保たねばならない。座標系O-x 1 x 2 x 3 からO-x '1 x '2 x '3
D
i
j
m
n
′
=
D
p
q
r
s
l
i
p
l
j
q
l
m
r
l
n
s
{\displaystyle D'_{ijmn}=D_{pqrs}l_{ip}l_{jq}l_{mr}l_{ns}}
と変換される[6] 。ここでlip xi x'p
弾性率テンソルは81(= 34 )個の成分を持つが、応力テンソルσ ε
σ
i
j
=
σ
j
i
,
ϵ
i
j
=
ϵ
j
i
{\displaystyle \sigma _{ij}=\sigma _{ji},\quad \epsilon _{ij}=\epsilon _{ji}}
によりそれぞれ独立な6成分を持つので、弾性率テンソルD
D
i
j
k
l
=
D
j
i
l
k
{\displaystyle D_{ijkl}=D_{jilk}}
の性質を持ち、独立な成分は36(= 62 )個となる。さらに単位体積あたりの弾性ひずみエネルギー
d
W
≡
σ
i
j
d
ϵ
i
j
{\displaystyle dW\equiv \sigma _{ij}\,d\epsilon _{ij}}
を用いて弾性率が
D
i
j
k
l
=
∂
2
W
∂
ϵ
i
j
∂
ϵ
k
l
{\displaystyle D_{ijkl}={\frac {\partial ^{2}W}{\partial \epsilon _{ij}\partial \epsilon _{kl}}}}
と表せることから
D
i
j
k
l
=
D
k
l
i
j
{\displaystyle D_{ijkl}=D_{klij}}
が成り立つため、最終的に弾性率テンソルD [6] 。
等方均質材料の弾性率の相関関係 一般に、等方性物質（無定形ポリマー、非晶性・無配向ポリマーなど）では3種の弾性率（引張弾性率
E
{\displaystyle E}
G
{\displaystyle G}
K
{\displaystyle K}
[3] 。
E
=
2
G
(
1
−
ν
)
=
3
K
(
1
−
2
ν
)
{\displaystyle E=2G(1-\nu )=3K(1-2\nu )}
ここで、
ν
{\displaystyle \nu }
[7] 。
材料が等方均質弾性材料とすると、弾性率テンソルD [4] 、次式のように書ける[8] 。
D
i
j
k
l
=
λ
δ
i
j
δ
k
l
+
G
(
δ
i
k
δ
j
l
+
δ
i
l
δ
j
k
)
{\displaystyle D_{ijkl}=\lambda \delta _{ij}\delta _{kl}+G(\delta _{ik}\delta _{jl}+\delta _{il}\delta {jk})}
ここでδはクロネッカーのデルタである。
この場合、ヤング率E 、ポアソン比ν、体積弾性率K 、剛性率G 、ラメの第一定数λの5つの弾性率はそれぞれ、2つを用いて残りの3つを表すことができる。その関係を下に示す。ここで、α = (E 2 + 9λ2 + 2E λ)1/2 とする。
等方均質弾性体における各弾性率間の変換式
E
{\displaystyle E}
ν
{\displaystyle \nu }
K
{\displaystyle K}
G
{\displaystyle G}
λ
{\displaystyle \lambda }
E
,
ν
{\displaystyle E,\nu }
E
{\displaystyle E}
ν
{\displaystyle \nu }
E
3
(
1
−
2
ν
)
{\displaystyle {\dfrac {E}{3(1-2\nu )}}}
E
2
(
1
+
ν
)
{\displaystyle {\dfrac {E}{2(1+\nu )}}}
E
ν
(
1
+
ν
)
(
1
−
2
ν
)
{\displaystyle {\dfrac {E\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )}}}
E
,
K
{\displaystyle E,K}
E
{\displaystyle E}
3
K
−
E
6
K
{\displaystyle {\dfrac {3K-E}{6K}}}
K
{\displaystyle K}
3
K
E
9
K
−
E
{\displaystyle {\dfrac {3KE}{9K-E}}}
3
K
(
3
K
−
E
)
9
K
−
E
{\displaystyle {\dfrac {3K(3K-E)}{9K-E}}}
E
,
G
{\displaystyle E,G}
E
{\displaystyle E}
E
−
2
G
2
G
{\displaystyle {\dfrac {E-2G}{2G}}}
G
E
3
(
3
G
−
E
)
{\displaystyle {\dfrac {GE}{3(3G-E)}}}
G
{\displaystyle G}
G
(
E
−
2
G
)
3
G
−
E
{\displaystyle {\dfrac {G(E-2G)}{3G-E}}}
E
,
λ
{\displaystyle E,\lambda }
E
{\displaystyle E}
2
λ
E
+
λ
+
α
{\displaystyle {\dfrac {2\lambda }{E+\lambda +\alpha }}}
E
+
3
λ
+
α
6
{\displaystyle {\dfrac {E+3\lambda +\alpha }{6}}}
E
−
3
λ
+
α
4
{\displaystyle {\dfrac {E-3\lambda +\alpha }{4}}}
λ
{\displaystyle \lambda }
ν
,
K
{\displaystyle \nu ,K}
3
K
(
1
−
2
ν
)
{\displaystyle 3K(1-2\nu )}
ν
{\displaystyle \nu }
K
{\displaystyle K}
3
K
(
1
−
2
ν
)
2
(
1
+
ν
)
{\displaystyle {\dfrac {3K(1-2\nu )}{2(1+\nu )}}}
3
K
ν
1
+
ν
{\displaystyle {\dfrac {3K\nu }{1+\nu }}}
ν
,
G
{\displaystyle \nu ,G}
2
G
(
1
+
ν
)
{\displaystyle 2G(1+\nu )}
ν
{\displaystyle \nu }
2
G
(
1
+
ν
)
3
(
1
−
2
ν
)
{\displaystyle {\dfrac {2G(1+\nu )}{3(1-2\nu )}}}
G
{\displaystyle G}
2
G
ν
1
−
2
ν
{\displaystyle {\dfrac {2G\nu }{1-2\nu }}}
ν
,
λ
{\displaystyle \nu ,\lambda }
λ
(
1
+
ν
)
(
1
−
2
ν
)
ν
{\displaystyle {\dfrac {\lambda (1+\nu )(1-2\nu )}{\nu }}}
ν
{\displaystyle \nu }
λ
(
1
+
ν
)
3
ν
{\displaystyle {\dfrac {\lambda (1+\nu )}{3\nu }}}
λ
(
1
−
2
ν
)
2
ν
{\displaystyle {\dfrac {\lambda (1-2\nu )}{2\nu }}}
λ
{\displaystyle \lambda }
K
,
G
{\displaystyle K,G}
9
K
G
3
K
+
G
{\displaystyle {\dfrac {9KG}{3K+G}}}
3
K
−
2
G
6
K
+
2
G
{\displaystyle {\dfrac {3K-2G}{6K+2G}}}
K
{\displaystyle K}
G
{\displaystyle G}
K
−
2
3
G
{\displaystyle K-{\frac {2}{3}}G}
K
,
λ
{\displaystyle K,\lambda }
9
(
K
−
λ
)
3
K
−
λ
{\displaystyle {\dfrac {9(K-\lambda )}{3K-\lambda }}}
λ
3
K
−
λ
{\displaystyle {\dfrac {\lambda }{3K-\lambda }}}
K
{\displaystyle K}
3
2
(
K
−
λ
)
{\displaystyle {\frac {3}{2}}(K-\lambda )}
λ
{\displaystyle \lambda }
G
,
λ
{\displaystyle G,\lambda }
G
(
3
λ
+
2
G
)
λ
+
G
{\displaystyle {\dfrac {G(3\lambda +2G)}{\lambda +G}}}
λ
2
λ
+
2
G
{\displaystyle {\dfrac {\lambda }{2\lambda +2G}}}
3
λ
+
2
G
3
{\displaystyle {\dfrac {3\lambda +2G}{3}}}
G
{\displaystyle G}
λ
{\displaystyle \lambda }
複素弾性率 詳細は「粘弾性#複素弾性率」を参照
「動的弾性率」も参照
粘弾性体に対しては、弾性率は複素数で表される。複素弾性率の実部は貯蔵弾性率、虚部は損失弾性率と呼ばれる。
脚注
^ 『機械工学辞典』日本機械学会、丸善、2007年、第2版、816頁。ISBN 978-4-88898-083-8。 ^ 小林英男; 轟章 『固体の弾塑性力学』 数理工学社、2007年、14頁。 ^ a b 中前勝彦 (Nov 1988). “入門講座 弾性率および粘弾性”. 高分子 37 (11): 826-829. doi:10.1295/kobunshi.37.826. https://doi.org/10.1295/kobunshi.37.826 .
^ a b 吉川弘道. “構成方程式の基本知識―考え方と定式化― (PDF) ”. 2013年8月4日 閲覧。
^ 総和規約を用いており、総和記号が省略されていることに注意。
^ a b 中曽根祐司編 『異方性材料の弾性論』 コロナ社、2014年、80-83頁。
^ L. E. Nielsen：小野木重治 訳 (1980). 高分子と複合材料の力学的性質 . 化学同人. pp. 26. ^ 井田喜明 『自然災害のシミュレーション入門』 朝倉書店、2014年、14頁。
関連項目
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値は0～1 [★]
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回復力 、弾力 
