単因子

英

monogenic

関

一遺伝子、一遺伝子的、単性

WordNet

1. of or relating to an inheritable character that is controlled by a single pair of genes

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出典(authority):フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』「2016/10/17 08:41:25」(JST)

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代数学において、行列の単因子（たんいんし、英: elementary divisors, invariant factors）とは、その「標準形」を定める不変量のことである。

定義

D を単項イデアル整域（たとえば整数環や体係数の 1 変数多項式環などのユークリッド整域）とする。また M_n×m(D) を D 成分の n×m 行列全体とする。すべての行列 A ∈ M_n×m(D) は、ある可逆行列 P ∈ M_n×n(D) と Q ∈ M_m×m(D) を使って次の形に変形できる。

$PAQ={\begin{pmatrix}e_{1}&&&&\\&\ddots &&&\\&&e_{r}&&\\&&&0&\\&&&&\ddots \end{pmatrix}}$

ここで e₁, …, e_r ≠ 0 かつ e₁D ⊇ … ⊇ e_rD である。このような e₁, …, e_r は単数倍を除いて一意に定まり、これを行列 A の単因子 という。 この行列 P, Q は行列の基本変形をして求めることができる。

性質

F を体とする。

• 行列 A, B ∈ M_n×n(F) が相似である必要十分条件は行列 xI − A, xI − B ∈ M_n×n(F[x]) の単因子が一致することである。

• 行列 A ∈ M_n×n(F) の最小多項式は行列 xI − A ∈ M_n×n(F[x]) の最大次数の単因子（を規格化したもの）と一致する。

例

D を複素数係数の 1 変数多項式環 C[x] とする。次の行列 A ∈ M_2×2(C[x]) の単因子は可逆行列 P, Q ∈ M_2×2(C[x]) として以下の行列を取れば 1, (x − λ)² とわかる。

$A={\begin{pmatrix}x-\lambda &-1\\&x-\lambda \end{pmatrix}}$

$P={\begin{pmatrix}1&\\x-\lambda &1\end{pmatrix}},\qquad Q={\begin{pmatrix}1&\\x-\lambda &1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}&1\\-1&\end{pmatrix}}$

$PAQ={\begin{pmatrix}1&\\&(x-\lambda )^{2}\end{pmatrix}}$

脚注

参考文献

• Jacobson, Nathan (2009). Basic Algebra I (Second ed.). Dover. ISBN 978-0-486-47189-1. https://books.google.co.jp/books?id=JHFpv0tKiBAC&lpg=PP1&hl=ja&pg=PA181#v=onepage&q&f=false. 
• 斎藤, 正彦 『線型代数入門』 東京大学出版会、1966年、初版。ISBN 978-4-13-062001-7。

関連項目

• 有限生成アーベル群の基本定理
• ジョルダン標準形
• PID上の有限生成加群

UpToDate Contents

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• 1. 第VIII因子および第IX因子の生物学と正常な機能 biology and normal function of factor viii and factor ix
• 2. 血友病患者における第VIIIおよび第IX因子阻害物質 factor viii and factor ix inhibitors in patients with hemophilia
• 3. 第ⅩＩ因子欠乏症 factor xi deficiency
• 4. 第V因子ライデンと活性化プロテインC抵抗性 factor v leiden and activated protein c resistance
• 5. 稀な遺伝性凝固異常 rare inherited coagulation disorders

Japanese Journal

• EBウイルス関連皮膚T/NKリンパ球増殖症:―種痘様水疱症と蚊刺過敏症―

• 日本小児血液・がん学会雑誌 52(3), 317-325, 2015
• NAID 130005105220

• 健常大学生を対象とした自閉症スペクトラム指数及び愛着スタイルの個人差と社会スキルとの関連(「マルチモーダル」,「感性情報処理」,「視知覚とその応用」及びヒューマン情報処理一般)

• 電子情報通信学会技術研究報告. HIP, ヒューマン情報処理 112(283), 17-22, 2012-11-07
• NAID 110009641969

• 試験成績・研究成果 てんさいの高度褐斑病抵抗性に関与するQTLsの同定

• 北農 79(4), 425-429, 2012-10
• NAID 120005579813

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