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出典(authority):フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』「2016/05/03 00:43:41」(JST)

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フィックの法則（フィックのほうそく、英: Fick's laws of diffusion）とは、物質の拡散に関する基本法則である。気体、液体、固体（金属）どの拡散にも適用できる。フィックの法則には、第1法則と第2法則がある。

この法則は、1855年にアドルフ・オイゲン・フィックによって発表された。フィックは拡散現象を、熱伝導に関するフーリエ (1822) の理論と同じように考えることができるとしてこの法則を与えた^[1]。

フィックの第1法則

第1法則は、定常状態拡散、すなわち、拡散による濃度が時間に関して変わらない時に使われる、「拡散流束は濃度勾配に比例する」という法則である。工業的に定常状態拡散は水素ガスの純化に見られる。数式で表すと、

あるいは1次元なら、

となる。ここで、記号の意味は以下である：

J は拡散束または流束 (flux)といい、単位時間当たりに単位面積を通過する、ある性質の量と定義される。質量が通過する場合には次元は[ML^-2T^-1]で与えられる。
D は拡散係数 (diffusion coefficient)といい、次元は[L²T^-1]
c は濃度で、次元は[ML^-3]
x は位置で、次元は[L]

導出

フィックの第1法則導出模式図

任意の位置x における拡散流束J は濃度勾配に比例する

1次元で説明する。単位面積の断面を持つ、パイプ状の物体を想定する。そして、パイプ中の溶質には、長さ方向に濃度の差（濃度勾配）があるとする。つまり、濃い部分から薄い部分へと溶質が流れる。この時、単位時間当たりに拡散する溶質、つまり拡散流束をJ とし、パイプ中の任意の位置x での濃度をc とする。このとき、フィックの法則より流束J が濃度勾配に比例するから、次のようになる。

ここで、

ならば溶質はx の負の方向に拡散する。これを考慮してマイナスの符号を入れて、さらに比例定数D を入れると、フィックの第1法則が導き出される。

フィックの第2法則

第2法則は、非定常状態拡散、すなわち、拡散における濃度が時間に関して変わる時に使われる。実際の拡散の状態は、非定常状態がほとんどである。拡散係数D が定数のとき、濃度c の時間変化は次の拡散方程式で表される：

これは広義の連続の式と等価である。あるいは1次元なら、

記号は第1法則と同様である。

導出

フィックの第2法則導出模式図

位置と濃度の時間変化が、それぞれdx とdc である

第2法則は、第1法則から導く。第1法則で導いたのと同じように、単位面積の断面を持つパイプ状の物体を想定する。x とx + dx にはさまれたdx の部分の濃度の時間的変化 ∂c/∂t を考え、任意の位置x での濃度をc 、x + dx での濃度をc + dc とする。この時、x + dx の境界を通して注目している領域に流れ込む溶質の量はJ(x + dx)、この領域からx の境界を通して流れ出る溶質の量はJ(x) である。これより、

・・・(1)

ここで第1法則より

であるから、これらを式(1)に代入してフィックの第2法則が導き出される。

D が定数の場合は、

となり、比較的容易に解くことができる。初期条件および境界条件によって、いくつかの解がある。

D が定数でない場合は、

となる。D の関数形にもよるが、解くのは困難になる。

一般の場合

上記では拡散係数D は等方的な定数であるとしたが、より一般には、方向に依存し、濃度勾配と流束が平行であるとは限らない。この場合、D は2階のテンソル量となる^[1]。

拡散係数

具体的な物質における拡散係数の例^[2]^[3]
物質1	物質2	拡散係数（m²/s）	備考
O₂	N₂	1.74×10⁻⁵	0°C
CO₂	水	1.70×10⁻⁹	20°C
水銀	Cd	1.53×10⁻⁹	20°C
エタノール	水	1.13×10⁻⁹	27°C、1気圧、x _C₂H₆O = 0.05
エタノール	水	0.90×10⁻⁹	27°C、1気圧、x _C₂H₆O = 0.5
エタノール	水	2.20×10⁻⁹	27°C、1気圧、x _C₂H₆O = 0.95
ショ糖	水	5.22×10⁻¹⁰	27°C、1気圧
金属		10^-12	融点直下、^[4]