クロス集計表

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出典(authority):フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』「2016/07/30 07:47:23」(JST)

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分割表（英: contingency table）は、統計学または日本工業規格において、2つ以上の変数（名義尺度が一般的）の間の関係を記録し分析するためのもの。

例えば、性別（男性と女性）と利き手（右手と左手）という2つの変数があるとする。100人の無作為抽出した標本について、これら変数を観測する。すると、2つの変数の関係は次のように分割表で表すことができる。

2×2分割表の例

	右利き	左利き	計
男性	43	9	52
女性	44	4	48
計	87	13	100

この表で、右端の列を行周辺合計 (row marginal total) 、下端の行を列周辺合計 (column marginal total) と呼び、右下端の角にあたる部分を総計 (grand total) と呼ぶ。

この表から、男性の右利きの割合と女性の右利きの割合には大差がないことが一見してわかる。しかし、両者は全く同じではなく、その差が有意かどうかは表内の各エントリが母集団からの無作為抽出であるとして、帰無仮説についてカイ二乗検定、G検定、フィッシャーの正確確率検定といった仮説検定を行うことで確かめることができる。表の各行や各列について割合が異なる場合、その表は2つの変数間の「付随性」(contingency) を示していると見ることができる。付随性がない場合、2つの変数は「独立」(independent) と見ることができる。contingency table という用語は、カール・ピアソンが "On the Theory of Contingency and its Relation to Association and Normal Correlation"（in Drapers' Company Research Memoirs (1904) Biometric Series I）で使ったのが初出とされている。

上の例は最も単純な形式の分割表であり、各変数は2つの値しかとらない。これを2×2分割表と呼ぶ。行や列は任意の個数のものがあり、それらは r×s 分割表と呼ばれる。

r×s 分割表

	B1	B2	…	Bs	計
A1	N11	N12	…	N1s	N1•
A2	N21	N22	…	N2s	N2•
⋮	⋮	⋮	⋱	⋮	⋮
Ar	Nr1	Nr2	…	Nrs	Nr•
計	N•1	N•2	…	N•s	N

2つより多くの変数についての m₁×m₂×…×m_k 分割表（k 重分割表）もありうるが、その場合は紙上で表現するのが難しい。順序尺度についても分割表で表すことができるが、順序尺度についての分布は中央値で実質的に代表させることができるため、分割表の利用は名義尺度ほど一般的ではない。

関連性の尺度

2つの変数の関連性の度合いは、いくつかの係数で評価できる。最も単純な係数として以下のように定義されるファイ係数がある。

$\phi ={\sqrt {\frac {\chi ^{2}}{N}}}$

ここで、χ² はピアソンのカイ二乗検定で得られる値、N は観測の総計である。φは0（変数間には全く関係がない）から1（変数間には完全な関係がある）までの値をとる。この係数は2×2分割表でのみ使える。他にも、テトラコリック相関係数（これも2×2分割表でのみ利用可能）、C係数 (contingency coefficient)、クラメールのV係数などがある。C係数は、非対称な表（行数と列数が同じでない表）では完全な相関であっても最大値が1にならないという欠点がある。テトラコリック相関係数は2つの変数が正規分布の場合のピアソンの確率相関係数であり、確率変数の分布を適切な割合で2つのカテゴリに分類することで、観測された分割表を再現することができる。セルに 0 と 1 という値を割り当てて計算されるピアソンの確率相関係数と混同すべきではない。各変数が3つ以上の値をとる場合の表についての同様の量を多分相関係数と呼ぶ。

他の係数は次のような式で表される。

$C={\sqrt {\frac {\chi ^{2}}{N+\chi ^{2}}}}$

$V={\sqrt {\frac {\chi ^{2}}{N(k-1)}}}$

k は列数または行数の少ないほうである。

C は、行と列が任意個の表であっても ${\sqrt {\frac {k-1}{k}}}$ で割ることで完全な相関があるときに最大値が1になるようにできる。

脚注

参考文献

• 西岡康夫 『数学チュートリアル やさしく語る 確率統計』 オーム社、2013年。ISBN 9784274214073。
• 日本数学会 『数学辞典』 岩波書店、2007年。ISBN 9784000803090。
• JIS Z 8101-1:1999 統計 − 用語と記号 − 第1部:確率及び一般統計用語, 日本規格協会, (1999), http://kikakurui.com/z8/Z8101-1-1999-01.html 

関連項目

• 確率
• 統計学

外部リンク

• On-line analysis of contingency tables: calculator with examples
• Fisher and chi-square calculator of 2 × 2 contingency table

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• 5. 妊娠中の臨床検査値の基準範囲 normal reference ranges for laboratory values in pregnancy

Japanese Journal

• 教育用擬似ミクロデータの作成 : 平成16年全国消費実態調査を例として

• 山口 幸三,伊藤 伸介,秋山 裕美
• 統計学 (104), 1-15, 2013-03
• NAID 40019727212

• 撹乱再構築法を用いた電力データに対する高度匿名化(個人情報保護と匿名化技術,ライフログ活用技術,オフィスインフォメーションシステム,ライフインテリジェンス,及び一般)

• 菊池 亮,長谷川 聡,五十嵐 大
• 電子情報通信学会技術研究報告. LOIS, ライフインテリジェンスとオフィス情報システム 112(466), 89-94, 2013-02-28
• … す具体的な方法として撹乱再構築法が知られている.撹乱再構築法は,データを変更してプライバシー保護する撹乱と,統計量を推定する再構築からなり,現在,データの属性の種類に適した複数の撹乱方法と,クロス集計表を復元する再構築が提案されている.匿名化では一般にどの程度有用なデータが得られるかどうかを調べるため,実装実験が必要不可欠であるが,既存の複数の撹乱方法を組み合わせた実装は筆者らの知る限 …
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