自然対数函数のグラフ: この函数は x の増加に伴って緩やかに正の無限大に発散し、x が 0 に近づくにともなって緩やかに負の無限大へ発散する（つまり y-軸はひとつの漸近線となる）。ここに、「緩やか」とは任意の冪乗則（冪函数あるいは多項式函数の増大度）との比較においてそれらよりも弱いことを意味する。
実解析において実数の自然対数（しぜんたいすう、英: natural logarithm）は、超越数であるネイピア数 e (≈ 2.718281828459) を底とする対数を言う。x の自然対数を ln x や、より一般に logex あるいは単に（底を省略して）log x などと書く[1]。 通常の函数の記法に則って引数を指示する丸括弧を明示的に付けて、ln(x) や log(x) などのように書いてもよい[注釈 1]。
定義により、x の自然対数とは 冪 et が x 自身に一致するような冪指数 t のことに他ならない。例えば、ln(7.5) = 2.0149… となることは、e2.0149… = 7.5 となることを理由とする。特に e の自然対数は ln(e) = 1, (⇔ e1 = e) であり、1 の自然対数は ln(1) = 0 (⇔ e0 = 1) である。
自然対数は、任意の正数 a に対して 逆数函数 y = 1/x の 1 から a までの間のグラフの下にある面積（a < 1 のときは面積にマイナス記号をつけた値）として定義することもできる。この定義の単純さは自然対数を含む多くの公式によく馴染むことから、「自然」の語が冠されているのである。自然対数のこの定義は、負数や任意の非零複素数に対しても拡張することができる（ただし、それは多価函数を導く。複素対数函数の項を参照）。
実変数実数値の函数と見た自然対数函数 log は自然指数函数 exp の逆函数であり、それは二つの恒等式 exp(log(x)) = x (x > 0) と log(exp(x)) = x の成立を意味する。
e 以外にも、任意の正数 a ≠ 1 に対して、それを底とする対数を定義することができるが、そのような対数は自然対数の定数倍として得ることができる（例えば二進対数は自然対数の 1/ln 2 倍である）し、通常はそうして自然対数から定義される。対数は未知の量がほかの適当な量の冪と見なされる問題を解く際に有用で、例えば指数函数的減衰問題における減衰定数としての半減期を求めるときなどに利用できる。このように対数は、数学や自然科学の多くの分野において重要であり、また金融経済において複利を含む問題にも利用できる。
を考えるとき、底 b が e に等しいならば、この導函数は単に 1/x となり、x = 1 における微分係数は 1 に等しくなる。
別な意味で底 e の対数が最も自然と思わせる理由として、単純な積分やテイラー級数でそれが極めて容易に定義できること（それは他の対数ではできない）が挙げられる。この自然さの更なる意味は、微分積分学の中では見えてこないが、例えば自然対数を含む単純な級数が様々存在することによって知ることができる。ピエトロ・メンゴリ（英語版）とニコラス・メルカトルがそれを「自然対数」(羅: logarithmus naturalis) と呼んだのは、ニュートンとライプニッツが微分積分学を繰り広げるよりも、何十年か先んじる[10]。
定義
ln(a) は曲線 f(x) = 1/x の 1 から a までの面積で視覚化できる。a < 1 では a から 1 までの面積を負で勘定する。
この双曲線の下にある面積は対数法則を満足する。ここでは A(s, t) は s と t の間の双曲線下の面積を表している。
自然対数 ln は直交双曲線 1/x の面積として定義される。それは具体的には定積分として
と定めるということである。この函数は対数の基本性質 ln(ab) = ln(a) + ln(b) を満足するという意味において対数である。定数 e は ln(a) = 1 を満足する正数 a として定義される。
自然指数函数が先に（具体的には無限級数として）定義されている場合には、自然対数を自然指数函数の逆函数として定義することもできる。すなわち ln は exp(ln(x)) = x を満足する函数である。実数全体で定義された自然指数函数の値域は正数全体の集合に一致し、また自然指数函数は狭義単調増大（ゆえに一対一）であるから、ln はこの方法で任意の正数 x に対して矛盾なく定まる。
一般化
複素数の対数
詳細は「複素対数函数」を参照
0 でない複素数 z を極座標表示して
z = r eiθ
と書けたとする。対数関数は指数関数の逆関数なので
log z = ln r + iθ
ということになる（ln z と書くことはあまりない）が、この θ の選び方は一通りではなく 、2π の整数倍だけ異なる値を選ぶことができる。したがって、複素数の対数関数は多価正則関数である。
複素対数関数は、実数での対数関数が満たす恒等式を満たすとは限らないので注意が必要である。例えば、Log ez = z や Log (zw) = Log z + Log w は一般には成り立たない。[注釈 3]
複素平面上での対数関数の主値
z = Re Log (x +iy)
z = | Im Log (x +iy) |
z = | Log (x +iy) |
これらを重ね合わせた図
バナッハ環における対数関数
詳細は「行列の対数函数」を参照
|x| < 1 を満たす x に対して、テイラー展開
が可能である。この級数展開も、1668年にメルカトルによって見出されたものである。
すべての固有値の絶対値が 1 より小さい正方行列 X が与えられたとき、このテイラー展開の変数に X を代入することにより、行列 I + X の対数 ln (I + X ) が定義される。ここで、I は X と同じサイズの単位行列である。これをさらに一般化して、和や積の構造と両立するノルムを持った完備な空間であるバナッハ環において、ノルムが 1 より小さい元 x に対し、上の式によって 1 + x の対数が定義できる。このとき、指数関数による ln (1+x ) の像は可逆元 1+x になっている。
^C, C++, SAS, MATLAB, Mathematica, Fortran, and BASIC などが含まれる。
^これらの数値例を挙げる。e2πi = 1 となるので、Log e2πi = 0 ≠ 2πi である。また、z = w = e(2/3)πi を例にとると、Log (zw) = −(2/3)πi なのに対して、Log z + Log w = (4/3)πi となる。
出典
^Mortimer, Robert G. (2005). Mathematics for physical chemistry (3rd ed.). Academic Press. ISBN 0-12-508347-5—see pp. 9–11
^Burn, R. P. (2001), “Alphonse Antonio de Sarasa and Logarithms”, Historia Mathematica28: 1–17
^J J O'Connor and E F Robertson (2001年9月). “The number e”. The MacTutor History of Mathematics archive. 2009年2月2日閲覧。
^Cajori, Florian (1991). A History of Mathematics, 5th ed. AMS Bookstore. pp. 152. ISBN 0-8218-2102-4. https://books.google.com/books?id=mGJRjIC9fZgC
^A History of Mathematics (2 ed.). New York, USA: John Wiley & Sons. (1991-03-06). ISBN 978-0471543978. 0471543977
^Harris, John (1987). “Australian Aboriginal and Islander mathematics” (PDF). Australian Aboriginal Studies2: 29–37. http://www1.aiatsis.gov.au/exhibitions/e_access/serial/m0005975_v_a.pdf2008年2月12日閲覧。.
^Large, J.J. (1902). “The vigesimal system of enumeration”. Journal of the Polynesian Society11 (4): 260–261. http://www.jps.auckland.ac.nz/document/?wid=6362011年3月30日閲覧。.
^Cajori, Florian (1922). “Sexagesimal fractions among the Babylonians”. American Mathematical Monthly29 (1): 8–10. doi:10.2307/2972914. JSTOR 2972914.
^Larson, Ron (2007). Calculus: An Applied Approach (8th ed.). Cengage Learning. p. 331. ISBN 0-618-95825-8. https://books.google.com/books?id=rbDG7V0OV34C, p. 331, §4.5
^Ballew, Pat. “Math Words, and Some Other Words, of Interest”. 2007年9月16日閲覧。
関連項目
常用対数
二進対数
オイラーの定数
2の自然対数
ジョン・ネイピア
対数積分
多重対数函数
フォン・マンゴルト関数
外部リンク
プロジェクト 数学
ポータル 数学
logarithm in nLab
Weisstein, Eric W. "Natural Logarithim". MathWorld (英語).
natural logarithim - PlanetMath.（英語）
Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Logarithm of a number", Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4。
Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Logarithmic function", Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4。
UpToDate Contents
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1. 僧帽弁狭窄症の病態生理および自然経過 pathophysiology and natural history of mitral stenosis
自然対数とは、 ネイピア数 e を底とした対数 loge x のことです。 底を省略して単に log x 、または「 n atural l ogarithm」の頭文字をとって ln x などと表されます。 自然対数の定義. e を底とする対数 loge x を「自然対数」という。 x > 0 のとき. y = log x ey = x. 特に、 log e = 1 e1 = e. log 1 = 0 e0 = 1. 数学・自然科学のさまざまな分野で必然的に登場するので、「自然」という言葉がつけられています。 補足. 高校数学では自然対数を log x と表すのが一般的ですが、工学系諸分野では ln x と表すことが多いです。
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\log _{b}(x)={\frac {d}{dx}}\left({\frac {\ln(x)}{\ln(b)}}\right)={\frac {1}{\ln(b)}}\cdot {\frac {d}{dx}}[\ln(x)]={\frac {1}{x\ln(b)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2e14c60d7179e64f09a44751d6110980532b527)
