極性ベクトル

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出典(authority):フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』「2017/02/18 05:54:26」(JST)

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擬ベクトル(pseudo vector)は座標の反転に対し符号が変わらない（向きが反転する）ベクトル。

擬ベクトルのことを軸性ベクトル(axial vector)とも呼ぶ。反対に座標を反転して符号が反転する（向きが変わらない）ベクトルを極性ベクトル(polar vector)と呼ぶ。

主な性質

• 軸性ベクトル同士、極性ベクトル同士の外積は軸性ベクトルになる。
• 軸性ベクトルと極性ベクトルの外積は極性ベクトルになる。
• 軸性ベクトルとスカラー、極性ベクトルと擬スカラーのスカラー積は軸性ベクトルになる。
• 極性ベクトルとスカラー、軸性ベクトルと擬スカラーのスカラー積は極性ベクトルになる。

物理量の例

• 軸性ベクトル

  3次元空間において、軸まわりの回転を表す物理量である。これは、一般的なn次元空間での軸まわりの回転が、2階反対称テンソルで記述できることに起因している。

  n=3次元の場合、2階反対称テンソルはちょうど3つの独立成分を持ち、下式の様にレヴィチビタテンソル等を用いて、あたかもベクトルであるかの様に記述することができるためである。

  $$

   
     
       
         
           A
           
             i
             j
           
         
         ⋅
         
           
             
               ε
               
                 i
                 j
               
             
           
           
             k
           
         
         =
         
           A
           
             k
           
           ′
         
       
     
     {\displaystyle A_{ij}\cdot {\varepsilon ^{ij}}_{k}=A'_{k}}
   
  

  もちろん、擬ベクトルとして記述せずに、2階反対称テンソルとして記述する事もできる。なお、ベクトルの外積とは、レヴィチビタテンソルを用いたテンソルの縮約である。）

  なお、n≠3次元の場合には軸まわりの回転を擬ベクトルで記述することはできない。

  • 2次元の場合には、回転は1つの独立成分しか持たない。この場合、擬スカラーとして記述することはできる。
  • 4次元の場合には、回転は6つの独立成分を持ち、2階反対称テンソルとして記述する必要がある。5次元以上でも同様である。

  • 角速度
  • 角運動量
  • トルク
  • 磁場

• 極性ベクトル
  • 速度
  • 運動量
  • 力
  • 電場

例

空間反転とは空間座標の三成分の軸をすべて反対向きにすること。 P を空間反転とすると、

$P:\mathbf {x} =(x,y,z)\to \mathbf {x} ^{P}=-\mathbf {x} =(-x,-y,-z)$

A=(A_x,A_y,A_z) を極性ベクトルとすると、空間反転によって次のように変換される。

$P:\mathbf {A} \to \mathbf {A} ^{P}=(-A_{x},-A_{y},-A_{z})$

変換してもベクトルの方向は同じだが、各成分の符号がかわる。これをパリティが負であるという。

B を極性ベクトルとし、A と B の外積を L とする。

$P:\mathbf {B} =(B_{x},B_{y},B_{z})\to \mathbf {B} ^{P}=(-B_{x},-B_{y},-B_{z})$

$\mathbf {L} =(L_{x},L_{y},L_{z})=\mathbf {A} \times \mathbf {B} =(A_{y}B_{z}-B_{y}A_{z},A_{z}B_{x}-B_{z}A_{z},A_{x}B_{y}-B_{x}A_{y})$

L は空間反転で L^P = A^P × B^P になる。

$P:\mathbf {L} \to \mathbf {L} ^{P}=\mathbf {A} ^{P}\times \mathbf {B} ^{P}$

$=(A_{y}B_{z}-B_{y}A_{z},A_{z}B_{x}-B_{z}A_{z},A_{x}B_{y}-B_{x}A_{y})=(L_{x},L_{y},L_{z})\,$

L は空間反転しても符号が変わらない。これをパリティが正であるという。空間反転で L は方向を変えてしまう。このようなベクトルを擬ベクトル、あるいは軸性ベクトルと呼ぶ。

擬ベクトルは鏡像変換（空間の一成分を反転）によっても方向を変える。一般に n 回の鏡像変換で極性ベクトルの成分の符号は $(-1)^{n}$ 変わり、軸性ベクトルの方向も同じだけ変わる。空間反転は 3 回の鏡像変換と等しいので擬ベクトルは方向を変える。

関連項目

• 擬スカラー

UpToDate Contents

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• 1. アデノウイルスの病因およびベクター使用 adenovirus pathogenesis and vector applications
• 2. デング熱ウイルス感染症の疫学 epidemiology of dengue virus infections
• 3. 感染性疾病の媒介蚊 mosquito vectors of infectious diseases
• 4. Chagas disease: Epidemiology and control
• 5. 内臓リーシュマニア症の疫学および管理 epidemiology and control of visceral leishmaniasis

Japanese Journal

• マイクロパターン双安定ネマティックデバイスにおける高次アンカリングエネルギーの評価

• 日本液晶学会討論会講演予稿集 2010(0), PA05-PA05, 2010
• NAID 130004590347

• 乱流中の構造と擬スカラ-不変量 (乱流の数値シミュレ-ション(NST)-10-<特集>)

• 生産研究 46(2), p87-94, 1994-02
• NAID 40002044465

Related Links

• 軸性ベクトルと極性ベクトル [物理のかぎしっぽ]

右手系と左手系. 二つのベクトル \bm{A},\bm{B} が下左図のようにあるとします．しかし ，反対側に回って後ろから見れば右図のように見えるはずです．（三次元ベクトルだ としています．） Joh-Handedness1.gif. 見方によって左右の関係が逆転していますから ， ...

• 擬ベクトル - Wikipedia

擬ベクトルのことを軸性ベクトル(axial vector)とも呼ぶ。反対に座標を反転して符号が 反転する（向きが変わらない）ベクトルを極性ベクトル(polar vector)と呼ぶ。 ... 軸性 ベクトルとスカラー、極性ベクトルと擬スカラーのスカラー積は軸性ベクトルになる。

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関連記事	「トル」「ベクトル」

「トル」

　　[★]

英

Torr

関

圧力

• 圧力の単位。

1 torr ≒ 1 mmHg

(1) 760 mmHg = 101325.0144354 Pa

(2)
  1 torr = 1 atm(1気圧(標準大気圧)) / 760
  1 atm = 101325 Pa = 760 torr

 ∴ (1)と(2)はわずかに異なる。

「ベクトル」

　　[★]

英

vector、vectorial

関

媒介物、ベクタ、ベクター、方向性、媒介動物