Wikipedia preview
出典(authority):フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』「2020/02/11 16:31:05」(JST)
[Wiki ja表示]
この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。 出典を追加して記事の信頼性向上にご協力ください。(2011年7月 )
弾性率 (だんせいりつ、英語: elastic modulus )は、変形のしにくさを表す物性値であり、弾性変形における応力とひずみの間の比例定数の総称である。弾性係数 あるいは弾性定数 とも呼ばれる[1] 。
1807年にトマス・ヤングによって導入された[2] 。
種類
単純な伸長変形のモデル。L_0は元長、Lは変形後長さ、εは伸長ひずみ、fは力、A_0は変形前における力と垂直な断面積、σは応力、Eは伸長弾性率、η_Eは伸長粘度、上にドットの付いたεは伸長ひずみの時間微分である。
単純な剪断変形のモデル。dは変位、hは力と垂直な厚さ、αは倒れ角、γは剪断ひずみ、fは力、A_0は変形前における力と平行な断面積、σは応力、Gは剪断弾性率、ηは剪断粘度、上にドットの付いたγは剪断ひずみの時間微分である。
単純な体積変形のモデル。V_0は元体積、Vは変形後体積、κは体積ひずみ、fは力、A_0は変形前における表面積、σは応力、Kは体積弾性率、η_Vは体積粘度、上にドットの付いたκは体積ひずみの時間微分である。
弾性率は、弾性変形における応力とひずみの間の比例定数(応力/ひずみ)であり、加えられた外力(応力)を分子、応力によって引き起こされたひずみを分母とした商である[3] 。
弾性率 = 応力/ひずみ
ひずみは無次元であるので、弾性率は応力と同じ次元を持ち、SIにおける単位はパスカル(記号: Pa)、ニュートン毎平方メートル(記号: N/m2 )が用いられる。また、弾性率の逆数を弾性コンプライアンス定数 や単に弾性コンプライアンス という。単位は1/Pa、m2 /N。
弾性変形は伸長(または圧縮)変形、剪断変形、体積変形の3つの種類に分けられ、従って弾性率も3種類ある。それぞれひずみの定義は異なる。
引張弾性率
E
{\displaystyle E}
:引張力や圧縮力などの単軸応力についての弾性率。ヤング率(縦弾性係数)。
E
=
σ
ε
{\displaystyle E={\frac {\sigma }{\varepsilon }}}
伸長ひずみ
ε
=
L
−
L
0
L
0
{\displaystyle \varepsilon ={\frac {L-L_{0}}{L_{0}}}}
(
L
0
{\displaystyle L_{0}}
は元々の長さ、
L
{\displaystyle L}
は引張後長さ)
伸長粘度
η
E
=
σ
d
ε
/
d
t
{\displaystyle \eta _{E}={\frac {\sigma }{d\varepsilon /dt}}}
(t は時間)
剪断弾性率
G
{\displaystyle G}
:せん断力についての弾性率。剛性率(ずり弾性率・横弾性係数・せん断弾性係数・ラメの第二定数)。
G
=
σ
γ
{\displaystyle G={\frac {\sigma }{\gamma }}}
剪断ひずみ
γ
=
d
h
=
tan
α
{\displaystyle \gamma ={\frac {d}{h}}=\tan \alpha }
(
d
{\displaystyle d}
は剪断により面が剪断力方向に移動した距離、
h
{\displaystyle h}
は剪断力方向と垂直な試料厚さ、
α
{\displaystyle \alpha }
は、試料の面が長方形から平行四辺形になるときの倒れ角)
剪断粘度
η
=
σ
d
γ
/
d
t
{\displaystyle \eta ={\frac {\sigma }{d\gamma /dt}}}
体積弾性率
K
{\displaystyle K}
:静水圧(直角3方向の力)についての弾性率。
K
=
σ
κ
{\displaystyle K={\frac {\sigma }{\kappa }}}
体積ひずみ
κ
=
V
−
V
0
V
0
{\displaystyle \kappa ={\frac {V-V_{0}}{V_{0}}}}
(
V
0
{\displaystyle V_{0}}
は元々の体積、
V
{\displaystyle V}
は変形後体積)
体積粘度
η
V
=
σ
d
κ
/
d
t
{\displaystyle \eta _{V}={\frac {\sigma }{d\kappa /dt}}}
テンソル量としての弾性率
2階のテンソル量である応力σ とひずみε に対して、弾性率D は4階のテンソル量で表すことができる[4] 。
σ
=
D
ϵ
,
{\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\boldsymbol {D}}{\boldsymbol {\epsilon }},}
σ
i
j
=
D
i
j
k
l
ϵ
k
l
(
i
,
j
,
k
,
l
=
1
∼
3
)
{\displaystyle \sigma _{ij}=D_{ijkl}\epsilon _{kl}\quad (i,j,k,l=1\sim 3)}
[5]
弾性率はテンソルであるため、物質客観性の原理により座標変換においてσ=D ε の関係を保たねばならない。座標系O-x 1 x 2 x 3 からO-x '1 x '2 x '3 へ変換するとき、弾性率テンソルの成分は
D
i
j
m
n
′
=
D
p
q
r
s
l
i
p
l
j
q
l
m
r
l
n
s
{\displaystyle D'_{ijmn}=D_{pqrs}l_{ip}l_{jq}l_{mr}l_{ns}}
と変換される[6] 。ここでlip は、xi 軸とx'p 軸の方向余弦である。
弾性率テンソルは81(= 34 )個の成分を持つが、応力テンソルσ とひずみテンソルε は対称性、すなわち
σ
i
j
=
σ
j
i
,
ϵ
i
j
=
ϵ
j
i
{\displaystyle \sigma _{ij}=\sigma _{ji},\quad \epsilon _{ij}=\epsilon _{ji}}
によりそれぞれ独立な6成分を持つので、弾性率テンソルD も
D
i
j
k
l
=
D
j
i
l
k
{\displaystyle D_{ijkl}=D_{jilk}}
の性質を持ち、独立な成分は36(= 62 )個となる。さらに単位体積あたりの弾性ひずみエネルギー
d
W
≡
σ
i
j
d
ϵ
i
j
{\displaystyle dW\equiv \sigma _{ij}\,d\epsilon _{ij}}
を用いて弾性率が
D
i
j
k
l
=
∂
2
W
∂
ϵ
i
j
∂
ϵ
k
l
{\displaystyle D_{ijkl}={\frac {\partial ^{2}W}{\partial \epsilon _{ij}\partial \epsilon _{kl}}}}
と表せることから
D
i
j
k
l
=
D
k
l
i
j
{\displaystyle D_{ijkl}=D_{klij}}
が成り立つため、最終的に弾性率テンソルD の独立な成分は21(= 6×(6+1)/2)個となる[6] 。
等方均質材料の弾性率の相関関係
一般に、等方性物質(無定形ポリマー、非晶性・無配向ポリマーなど)では3種の弾性率(引張弾性率
E
{\displaystyle E}
、剪断弾性率
G
{\displaystyle G}
、体積弾性率
K
{\displaystyle K}
)の関係について次式が成り立つ[3] 。
E
=
2
G
(
1
−
ν
)
=
3
K
(
1
−
2
ν
)
{\displaystyle E=2G(1-\nu )=3K(1-2\nu )}
ここで、
ν
{\displaystyle \nu }
とは、縦方向のひずみと横方向のひずみとの比(ポアソン比)である。結晶性ポリマー、繊維、フィルム、繊維充填複合材料、一般の射出成形物などは等方性物質ではない。高分子鎖、充填繊維、結晶相などに配向を持ち、その程度は内部と表面で異なる。これ異方性物質は、独立した2つ以上の弾性率を持つ[7] 。
材料が等方均質弾性材料とすると、弾性率テンソルD の独立な成分は2個まで絞られ[4] 、次式のように書ける[8] 。
D
i
j
k
l
=
λ
δ
i
j
δ
k
l
+
G
(
δ
i
k
δ
j
l
+
δ
i
l
δ
j
k
)
{\displaystyle D_{ijkl}=\lambda \delta _{ij}\delta _{kl}+G(\delta _{ik}\delta _{jl}+\delta _{il}\delta {jk})}
ここでδはクロネッカーのデルタである。
この場合、ヤング率E 、ポアソン比ν、体積弾性率K 、剛性率G 、ラメの第一定数λの5つの弾性率はそれぞれ、2つを用いて残りの3つを表すことができる。その関係を下に示す。ここで、α = (E 2 + 9λ2 + 2E λ)1/2 とする。
等方均質弾性体における各弾性率間の変換式
E
{\displaystyle E}
(ヤング率)
ν
{\displaystyle \nu }
(ポアソン比)
K
{\displaystyle K}
(体積弾性率)
G
{\displaystyle G}
(剛性率)
λ
{\displaystyle \lambda }
(ラメの第一定数)
E
,
ν
{\displaystyle E,\nu }
E
{\displaystyle E}
ν
{\displaystyle \nu }
E
3
(
1
−
2
ν
)
{\displaystyle {\dfrac {E}{3(1-2\nu )}}}
E
2
(
1
+
ν
)
{\displaystyle {\dfrac {E}{2(1+\nu )}}}
E
ν
(
1
+
ν
)
(
1
−
2
ν
)
{\displaystyle {\dfrac {E\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )}}}
E
,
K
{\displaystyle E,K}
E
{\displaystyle E}
3
K
−
E
6
K
{\displaystyle {\dfrac {3K-E}{6K}}}
K
{\displaystyle K}
3
K
E
9
K
−
E
{\displaystyle {\dfrac {3KE}{9K-E}}}
3
K
(
3
K
−
E
)
9
K
−
E
{\displaystyle {\dfrac {3K(3K-E)}{9K-E}}}
E
,
G
{\displaystyle E,G}
E
{\displaystyle E}
E
−
2
G
2
G
{\displaystyle {\dfrac {E-2G}{2G}}}
G
E
3
(
3
G
−
E
)
{\displaystyle {\dfrac {GE}{3(3G-E)}}}
G
{\displaystyle G}
G
(
E
−
2
G
)
3
G
−
E
{\displaystyle {\dfrac {G(E-2G)}{3G-E}}}
E
,
λ
{\displaystyle E,\lambda }
E
{\displaystyle E}
2
λ
E
+
λ
+
α
{\displaystyle {\dfrac {2\lambda }{E+\lambda +\alpha }}}
E
+
3
λ
+
α
6
{\displaystyle {\dfrac {E+3\lambda +\alpha }{6}}}
E
−
3
λ
+
α
4
{\displaystyle {\dfrac {E-3\lambda +\alpha }{4}}}
λ
{\displaystyle \lambda }
ν
,
K
{\displaystyle \nu ,K}
3
K
(
1
−
2
ν
)
{\displaystyle 3K(1-2\nu )}
ν
{\displaystyle \nu }
K
{\displaystyle K}
3
K
(
1
−
2
ν
)
2
(
1
+
ν
)
{\displaystyle {\dfrac {3K(1-2\nu )}{2(1+\nu )}}}
3
K
ν
1
+
ν
{\displaystyle {\dfrac {3K\nu }{1+\nu }}}
ν
,
G
{\displaystyle \nu ,G}
2
G
(
1
+
ν
)
{\displaystyle 2G(1+\nu )}
ν
{\displaystyle \nu }
2
G
(
1
+
ν
)
3
(
1
−
2
ν
)
{\displaystyle {\dfrac {2G(1+\nu )}{3(1-2\nu )}}}
G
{\displaystyle G}
2
G
ν
1
−
2
ν
{\displaystyle {\dfrac {2G\nu }{1-2\nu }}}
ν
,
λ
{\displaystyle \nu ,\lambda }
λ
(
1
+
ν
)
(
1
−
2
ν
)
ν
{\displaystyle {\dfrac {\lambda (1+\nu )(1-2\nu )}{\nu }}}
ν
{\displaystyle \nu }
λ
(
1
+
ν
)
3
ν
{\displaystyle {\dfrac {\lambda (1+\nu )}{3\nu }}}
λ
(
1
−
2
ν
)
2
ν
{\displaystyle {\dfrac {\lambda (1-2\nu )}{2\nu }}}
λ
{\displaystyle \lambda }
K
,
G
{\displaystyle K,G}
9
K
G
3
K
+
G
{\displaystyle {\dfrac {9KG}{3K+G}}}
3
K
−
2
G
6
K
+
2
G
{\displaystyle {\dfrac {3K-2G}{6K+2G}}}
K
{\displaystyle K}
G
{\displaystyle G}
K
−
2
3
G
{\displaystyle K-{\frac {2}{3}}G}
K
,
λ
{\displaystyle K,\lambda }
9
(
K
−
λ
)
3
K
−
λ
{\displaystyle {\dfrac {9(K-\lambda )}{3K-\lambda }}}
λ
3
K
−
λ
{\displaystyle {\dfrac {\lambda }{3K-\lambda }}}
K
{\displaystyle K}
3
2
(
K
−
λ
)
{\displaystyle {\frac {3}{2}}(K-\lambda )}
λ
{\displaystyle \lambda }
G
,
λ
{\displaystyle G,\lambda }
G
(
3
λ
+
2
G
)
λ
+
G
{\displaystyle {\dfrac {G(3\lambda +2G)}{\lambda +G}}}
λ
2
λ
+
2
G
{\displaystyle {\dfrac {\lambda }{2\lambda +2G}}}
3
λ
+
2
G
3
{\displaystyle {\dfrac {3\lambda +2G}{3}}}
G
{\displaystyle G}
λ
{\displaystyle \lambda }
複素弾性率
詳細は「粘弾性#複素弾性率」を参照
「動的弾性率」も参照
粘弾性体に対しては、弾性率は複素数で表される。複素弾性率の実部は貯蔵弾性率、虚部は損失弾性率と呼ばれる。
脚注
^ 『機械工学辞典』日本機械学会、丸善、2007年、第2版、816頁。ISBN 978-4-88898-083-8。
^ 小林英男; 轟章 『固体の弾塑性力学』 数理工学社、2007年、14頁。 ISBN 978-4-901683-51-7。
^ a b 中前勝彦 (Nov 1988). “入門講座 弾性率および粘弾性”. 高分子 37 (11): 826-829. doi:10.1295/kobunshi.37.826. https://doi.org/10.1295/kobunshi.37.826 .
^ a b 吉川弘道. “構成方程式の基本知識―考え方と定式化― (PDF) ”. 2013年8月4日 閲覧。
^ 総和規約を用いており、総和記号が省略されていることに注意。
^ a b 中曽根祐司編 『異方性材料の弾性論』 コロナ社、2014年、80-83頁。 ISBN 978-4-339-04633-5。
^ L. E. Nielsen:小野木重治 訳 (1980). 高分子と複合材料の力学的性質 . 化学同人. pp. 26.
^ 井田喜明 『自然災害のシミュレーション入門』 朝倉書店、2014年、14頁。 ISBN 978-4-254-16068-0。
関連項目
UpToDate Contents
全文を閲覧するには購読必要です。 To read the full text you will need to subscribe.
1. 赤血球細胞膜:構造、機構、動態 red blood cell membrane structure organization and dynamics [show details] …stability are regulated by multiple membrane properties such as elastic shear modulus , bending modulus , and yield stress. Elastic shear modulus is a measure of the magnitude of force needed to induce uni-axial …
2. COPDに気道粘膜作用薬と気道クリアランスが果たす役割 role of mucoactive agents and secretion clearance techniques in copd [show details] …states. For instance, in one study of mucus transport in patients with cystic fibrosis, the elastic modulus (capacity to be deformed elastically) was found to be negatively correlated with mucociliary …
3. 血小板機能検査 platelet function testing [show details] …force (PCF) – The force exerted by activated platelets on the fibrin network; Elastic modulus (EM) – The elastic modulus (clot rigidity), a measure of the physical structure of the fibrin/cellular network…
4. 肝線維症の非侵襲的評価:超音波エラストグラフィ noninvasive assessment of hepatic fibrosis ultrasound based elastography [show details] …measurement). The values are reported as either shear wave speed (m/s) or converted to kPa (elastic modulus ). In general, the measured speed may be converted into stiffness values: velocity squared and …
5. 注入可能軟部組織充填剤:臨床的使用の概要 injectable soft tissue fillers overview of clinical use [show details] …literature detailing rheologic properties (flow-related properties) of fillers . These include elastic modulus (G') and viscosity (G). Consideration of rheologic properties can aid in selecting an appropriate…
Japanese Journal
表面/材料分析講座 走査型プローブ顕微鏡/原子間力顕微鏡
未重合レジンセメントと未重合フロアブルレジンの結合力
杉井 英樹,吉田 晋一郎,友清 淳,濱野 さゆり,長谷川 大学,前田 英史
日本歯科保存学雑誌 63(1), 44-51, 2020
… <p> 目的 : 抜歯の原因として歯根破折が増加しているが, その要因としてポストに使用される金属と歯根象牙質の弾性率 の違いが示唆されている. … そこで, その対策としてファイバーポストとコンポジットレジンを併用し, 支台築造体自体の弾性率 を象牙質のそれに近似させる試みがなされてきた. …
NAID 130007804959
バルクフィルコンポジットレジンの硬化初期における重合収縮応力の発生挙動と窩洞切断面の観察
神谷 直孝,神谷 昌宏,藤田 (中島) 光,岩崎 太郎,谷本 安浩,平山 聡司
日本歯科保存学雑誌 63(1), 14-21, 2020
… これらについて収縮応力, 曲げ強度, 弾性率 , 重合収縮率および重合率の経時的変動を測定した. … 弾性率 は, SDRがBBH, BBFと比較して有意に低い値を示した. … SDRの弾性率 とBBHの重合収縮率は有意に小さく, 収縮応力の発生は緩やかであった. …
NAID 130007804954
Related Links
弾性定数,弾性係数とも。弾性体の応力とひずみの比。比例限度内では応力とひずみは比例する(フックの法則)ので弾性率は物質によってきまる。 弾性限界内で、応力をひずみで割った値。ヤング率・剛性率などがある。弾性係数。
結論から言いますと、弾性率(ヤング率)が大きい材料ほど硬いといえます。逆に、弾性率が小さい材料ほど、柔らかいといえるわけです。 これは、弾性率を表す式である弾性率におけるフックの法則によって説明することができます。
9.弾性率|材料力学 FEMで構造解析を実施する場合、使用する材料の特性として設定する項目には必ず弾性率があります。弾性率は前項で説明した応力ひずみ線図における弾性域(の線形部)の傾きで、弾性係数とも呼ばれます。
★リンクテーブル★
[★]
英
effective arterial elastance , Ea
同
実効動脈エラスタンス
[★]
英
volume elasticity modulus, bulk modulus
[★]
英
rate
関
比
集団における現象発生の頻度を表す指標。全体に対する部分の割合を示す。
値は0~1
[★]
英
elasticity 、resilience 、elastic
関
回復力 、弾力