Wikipedia preview
出典(authority):フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』「2020/03/09 15:26:28」(JST)
[Wiki ja表示]
対数正規分布
確率密度関数μ = 0
累積分布関数μ = 0
母数
μ
∈
R
{\displaystyle \mu \in \mathbb {R} }
σ
>
0
{\displaystyle \sigma >0}
台
(
0
,
∞
)
{\displaystyle (0,\infty )}
確率密度関数
f
(
x
)
=
1
2
π
σ
x
exp
(
−
(
ln
x
−
μ
)
2
2
σ
2
)
{\displaystyle f(x)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma x}}\exp \left(-{\frac {(\ln {x}-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)}
累積分布関数
1
2
erfc
[
−
ln
x
−
μ
2
σ
]
{\displaystyle {\frac {1}{2}}\operatorname {erfc} \!\left[-{\frac {\ln x-\mu }{{\sqrt {2}}\sigma }}\right]}
期待値
e
μ
+
σ
2
/
2
{\displaystyle e^{\mu +\sigma ^{2}/2}}
中央値
e
μ
{\displaystyle e^{\mu }}
最頻値
e
μ
−
σ
2
{\displaystyle e^{\mu -\sigma ^{2}}}
分散
e
2
μ
+
σ
2
(
e
σ
2
−
1
)
{\displaystyle e^{2\mu +\sigma ^{2}}(e^{\sigma ^{2}}-1)}
歪度
e
σ
2
−
1
(
e
σ
2
+
2
)
{\displaystyle {\sqrt {e^{\sigma ^{2}}-1}}(e^{\sigma ^{2}}+2)}
尖度
e
4
σ
2
+
2
e
3
σ
2
+
3
e
2
σ
2
−
6
{\displaystyle e^{4\sigma ^{2}}+2e^{3\sigma ^{2}}+3e^{2\sigma ^{2}}-6}
エントロピー
1
2
+
1
2
ln
(
2
π
σ
2
)
+
μ
{\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\ln {(2\pi \sigma ^{2})}+\mu }
テンプレートを表示
確率論および統計学において、対数正規分布 (たいすうせいきぶんぷ、英: log-normal distribution )は、連続確率分布の一種である。この分布に従う確率変数の対数をとったとき、対応する分布が正規分布に従うものとして定義される。そのため中心極限定理の乗法的な類似が成り立ち、独立同分布に従う確率変数の積は漸近的に対数正規分布に従う。
定義
定数 μ と定数 σ > 0 に対し、正の実数を値にとる確率変数 X の確率密度関数 f (x ) が
f
(
x
)
=
1
2
π
σ
x
exp
(
−
(
ln
x
−
μ
)
2
2
σ
2
)
,
0
<
x
<
∞
{\displaystyle f(x)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma x}}\exp \left(-{\frac {(\ln x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right),\quad 0<x<\infty }
で与えられるとき、確率変数 X は対数正規分布に従うという。また、上記の確率密度分布に対応する対数正規分布を Λ(μ , σ 2 ) と表記する。なお、正規分布と異なり、分布のパラメータ μ , σ 2 自体は平均、分散に対応しない。
このとき、対応する分布関数 F (X ) は
F
X
(
x
;
μ
,
σ
)
=
1
2
[
1
+
erf
(
ln
x
−
μ
σ
2
)
]
=
1
2
erfc
(
−
ln
x
−
μ
σ
2
)
=
Φ
(
ln
x
−
μ
σ
)
{\displaystyle {\begin{aligned}F_{X}(x;\mu ,\sigma )&={\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \!\left({\frac {\ln x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)\right]\\&={\frac {1}{2}}\operatorname {erfc} \!\left(-{\frac {\ln x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)\\&=\Phi {\bigg (}{\frac {\ln x-\mu }{\sigma }}{\bigg )}\end{aligned}}}
である。ただし、erfc は相補誤差関数、Φ は標準正規分布の分布関数である。
正規分布との関係
対数正規分布という名は、対数正規分布 Λ(μ , σ 2 ) に従う確率変数 X の対数関数を取ったときに、新たな確率変数 Y = ln X が正規分布 N(μ , σ 2 ) に従うことに由来する。また、正規分布に従う確率変数が負の値を取りうるのに対して、対数正規分布に従う確率変数は正の値のみ取るという性質を有する。
性質
平均・分散
対数正規分布 Λ(μ , σ 2 ) に従う確率変数 X に対し、平均 E(x ) および分散 V(x ) はそれぞれ以下で与えられる。
E
(
X
)
=
e
μ
+
σ
2
/
2
,
V
(
X
)
=
e
2
μ
+
σ
2
(
e
σ
2
−
1
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} (X)&=e^{\mu +\sigma ^{2}/2},\\\operatorname {V} (X)&=e^{2\mu +\sigma ^{2}}(e^{\sigma ^{2}}-1).\end{aligned}}}
再生性
対数正規分布 Λ(μ 1 , σ 1 2 ) に従う確率変数 X と対数正規分布 Λ(μ 2 , σ 2 2 ) に従う確率変数 Y が互いに独立であるとき、確率変数の積 XY は対数正規分布 Λ(μ 1 + μ 2 , σ 1 2 + σ 2 2 ) に従う。
この性質は正規分布が再生性を有することから導かれる。
中心極限定理の類似
正の値を取る独立同分布に従う確率変数 X 1 , …, Xn が条件
μ
=
E
(
ln
X
i
)
<
∞
σ
2
=
V
(
ln
X
i
)
<
∞
{\displaystyle {\begin{aligned}\mu &=\operatorname {E} (\ln X_{i})<\infty \\\sigma ^{2}&=\operatorname {V} (\ln X_{i})<\infty \end{aligned}}}
を満たすならば、積 X 1 …Xn は漸近的に対数正規分布 Λ(nμ , nσ 2 ) に従う。
n 次対数正規分布
Espensheid らによって提案された次の分布 fn (x ) をn 次対数正規分布 (n -th order log-normal distribution ) という[3] :
f
n
(
x
)
=
c
n
x
n
exp
(
−
(
ln
x
−
ln
μ
)
2
2
(
ln
σ
)
2
)
{\displaystyle f_{n}(x)=c_{n}x^{n}\exp \left(-{\frac {(\ln x-\ln \mu )^{2}}{2(\ln \sigma )^{2}}}\right)}
ここで、μ , σ はそれぞれ平均、分散に関する値、cn は正規化のための定数で
c
n
−
1
=
2
π
ln
σ
μ
n
+
1
exp
(
(
n
+
1
)
2
(
ln
σ
)
2
2
)
{\displaystyle c_{n}^{-1}={\sqrt {2\pi }}\ln \sigma \mu ^{n+1}\exp \left({\frac {(n+1)^{2}(\ln \sigma )^{2}}{2}}\right)}
である。通常の対数正規分布は n = −1 次の場合に相当する。
0次対数正規分布
特に0次対数正規分布 (ZOLD):
f
0
(
x
)
=
exp
(
−
(
ln
x
−
ln
μ
)
2
2
(
ln
σ
)
2
)
2
π
ln
σ
μ
exp
(
(
ln
σ
)
2
2
)
{\displaystyle f_{0}(x)={\frac {\exp \left(-{\dfrac {(\ln x-\ln \mu )^{2}}{2(\ln \sigma )^{2}}}\right)}{{\sqrt {2\pi }}\ln \sigma \mu \exp \left({\dfrac {(\ln \sigma )^{2}}{2}}\right)}}}
は、最頻値が μ に等しく、σ に依存しないことから感覚的な理解が容易で、物理学の分野で用いられることがある。
脚注
^ 高橋幹二、日本エアロゾル学会編 『エアロゾル学の基礎』 森北出版、2003年、124頁。ISBN 4-627-67251-9。
参考文献
蓑谷千凰彦『統計分布ハンドブック』朝倉書店、2003年。
Crow, Edwin L.; Shimizu, Kunio (1988). Lognormal distributions . Statistics: Textbooks and Monographs. 88 . Marcel Dekker. ISBN 0-8247-7803-0. MR 0939191. Zbl 0644.62014. https://books.google.com/books?id=B8kNa1khS4QC .
関連項目
UpToDate Contents
全文を閲覧するには購読必要です。 To read the full text you will need to subscribe.
1. 自動血液分析装置 automated hematology instrumentation [show details] …measured (ie, it is instrument-specific). Further, a patient true platelet distribution may not fit a log-normal distribution , and manufacturers each specify a defined range of MPV within their algorithms …
2. 成人における代謝性アシドーシスへのアプローチ approach to the adult with metabolic acidosis [show details] … the normal range for the anion gap increases by approximately 4 mEq/L: The normal value of the serum anion gap was previously between 7 and 13 mEq/L. This normal range has decreased… the pH is equal to (-log [H+ ]), 6.10 is the pKa (equal to the -log of the dissociation constant for the reaction),…
3. 巨核球の生物学と血小板の産生 megakaryocyte biology and the production of platelets [show details] …locus of the production of single platelets is not in the bone marrow but in the lungs. The log-normal distribution of platelet sizes has long suggested that megakaryocytes or large fragments of megakaryocytes …
4. カドミウムの疫学および毒性 epidemiology and toxicity of cadmium [show details] …cadmium intake based upon the type and amount of food consumed. Since this variation follows a log-normal distribution , most individuals ingest between 4 and 60 mcg per day (eg, ±2 standard deviations [SDs]) …
5. 血液透析における水質の維持 maintaining water quality for hemodialysis [show details] … water distribution system. The quality management program should include routine maintenance and monitoring practices and a written description of actions to be taken when deviations from normal operation… the water treatment infrastructure and provided with a log sheet to record all measures of water treatment system performance.…
Japanese Journal
定置網漁業におけるクロマグロの割当量の管理方式について
田中 栄次
日本水産学会誌, 2020
… 年間漁獲量の確率分布を多変量対数正規分布 で,月別漁獲量の割合をディリクレ分布で表した。 …
NAID 130007797750
ラテン超方格法を用いた地表断層変位に対する物性値の不確実性の影響評価
羽場 一基,畑 明仁,澤田 昌孝,堀 宗朗
日本地震工学会論文集 20(1), 1_13-1_25, 2020
… 確認した.その結果,地表に断層変位が出現する時の主断層底部の限界入力ずれ変位は,物性値の不確実性の影響を大きく受けることが分かった.また,物性値が対数正規分布 に従う場合,限界入力ずれ変位の確率分布は対数正規分布 でよく近似できることが分かった.この時,物性値の変動係数が0.3以下の条件では,限界入力ずれ変位の期待値と標準偏差は10回程度の計算でも全230回の計算結果 …
NAID 130007792947
渡部 靖憲,野中 拓実
土木学会論文集B2(海岸工学) 75(2), I_73-I_78, 2019
… ジェットの着水に伴って生じる気泡群の幾何学的,運動学的特徴の界面活性依存性を実験的に明らかにしようとするものである.界面活性水及び海水の水面が分裂して生成される小径気泡のサイズ分布は対数正規分布 で記述され,両者共に同等の平均気泡径,気泡数そして終末速度を達成する.即ち,提案するレンジの界面活性濃度の水は海水によるエアレーション過程を矛盾なくシミュレート可能である.残留気泡の …
NAID 130007730327
Related Links
前半は対数正規分布の応用例(ゆるい話),後半は対数正規分布の確率密度関数と平均,分散を計算します。 富の分布 各人が持っている資産の分布は対数正規分布っぽいと言われています。これを(少し強引ですが)説明してみます。
対数正規分布の確率変数 x を与え、確率密度関数 f(x)、下側累積確率 P(x)、上側累積確率 Q(x)を求めます。 ゲストさん 新規会員登録 ログイン はじめに 使い方 計算例 スマートフォン English お金の計算 健康の計算 こよみの計算 環境の ...
対数正規分布の確率密度関数は正規分布に従う確率変数とその確率密度関数から確率変数の変換をすることで得られる.まず,以下のような標準正規分布に従う確率変数 Y=lnX (=log e X) を考える.この対数における真数Xが対数正規分布
Related Pictures
★リンクテーブル★
[★]
英
normal
関
正常 、直鎖状 、通常 、ノルマル 、普通 、規定濃度 、正常型
[★]
英
Gaussian distribution 、normal distribution
関
ガウス分布 、Gaussian分布
-ガウス分布
[★]
英
logarithm 、logarithmic 、log
関
記録 、対数的 、ログ