多重散乱

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出典(authority):フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』「2019/11/08 02:46:33」(JST)

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散乱理論では単独のポテンシャルにおける電子（散乱するものは電子以外にも光や他の粒子など様々なものが存在）の散乱を扱ったが、現実の散乱は、多数のポテンシャル下でかつ散乱される対象も多数存在する。また一つの電子に限っても、散乱は一回限りでなく複数回散乱される。このような多重な散乱を扱う理論が多重散乱理論(Multiple scattering theory)である。

格子上に配置したランダムなポテンシャル下での電子

多重散乱理論には扱う対象により様々なものが考えられるが、以下に一つの例として並進対称に配置した格子系において、各格子（サイト）上にポテンシャルがランダム（非周期的）に配置した場合を考える。以下、散乱されるのは電子としておく。

サイトnにあるポテンシャルをV_n、自由電子（または無摂動）のハミルトニアンをH₀として、系を記述するハミルトニアンHを、

$H=\,H_{0}+\sum _{n}V_{n}$

とする。次にこれを以下のように変形する。

$H=[H_{0}+{\tilde {V}}(z)]+\sum _{n}[V_{n}-{\tilde {V}}_{n}(z)]={\tilde {H}}(z)+v(z)$

ここで、

${\tilde {V}}(z)=\sum _{n}{\tilde {V}}_{n}(z)$

であり、${\tilde {V}}_{n}(z)$は任意の周期ポテンシャル。つまりポテンシャルV_nを周期的部分${\tilde {V}}$と非周期的部分$\,v$とに分けた訳である。zは複素エネルギー。上式で、v(z)は次のようv_n(z)の和になっている。

$v(z)=\sum _{n}[V_{n}-{\tilde {V}}_{n}(z)]=\sum _{n}v_{n}(z)$

更に、この系におけるグリーン関数をG(z)とすると、G(z)は、

$G(z)={\frac {1}{z-{\tilde {H}}-v}}={\frac {1}{(z-{\tilde {H}})\left(1-{\frac {v}{z-{\tilde {H}}}}\right)}}$

であり、

${\tilde {G}}={\frac {1}{z-{\tilde {H}}}}$

とし、非周期ポテンシャル部分vに関して展開すると、

$G(z)={\tilde {G}}\{1+v{\tilde {G}}+v{\tilde {G}}v{\tilde {G}}+\cdots \}={\tilde {G}}+{\tilde {G}}T{\tilde {G}}$

$$

 
   
     
       T
       =
       v
       +
       v
       
         
           
             G
             ~
           
         
       
       v
       +
       v
       
         
           
             G
             ~
           
         
       
       v
       
         
           
             G
             ~
           
         
       
       v
       +
       ⋯
     
   
   {\displaystyle T=v+v{\tilde {G}}v+v{\tilde {G}}v{\tilde {G}}v+\cdots }
 

となる。Tを総散乱行列と言う。総散乱行列Tをサイトの和の形で表すと、

$T=\sum _{n}v_{n}+\sum _{n}v_{n}{\tilde {G}}\sum _{m}v_{m}+\sum _{n}{\tilde {G}}\sum _{m}v_{m}{\tilde {G}}\sum _{p}v_{p}\cdots$

となる。サイトnのポテンシャルv_nのみを考え、散乱理論の場合と同じ要領でt行列が定義できる。

$t_{n}=v_{n}\{1+{\tilde {G}}v_{n}+{\tilde {G}}v_{n}{\tilde {G}}v_{n}\cdots \}=v_{n}{\frac {1}{1-v_{n}{\tilde {G}}}}=v_{n}[1-v_{n}{\tilde {G}}]^{-1}$

加えて、

$t_{n}=v_{n}+v_{n}{\tilde {G}}\{v_{n}+v_{n}{\tilde {G}}v_{n}+v_{n}{\tilde {G}}v_{n}{\tilde {G}}v_{n}\cdots \}=v_{n}+v_{n}{\tilde {G}}t_{n}$

である。総散乱行列TはサイトnでのT_nの和、

$T=\,\sum _{n}T_{n}$

と表現でき、各T_nは、

${\begin{aligned}T_{n}&=v_{n}+v_{n}{\tilde {G}}\sum _{m}v_{m}+v_{n}{\tilde {G}}\sum _{m}v_{m}{\tilde {G}}\sum _{p}v_{p}+\cdots \\&=v_{n}\left\{1+{\tilde {G}}\left[\sum _{m}v_{m}+\sum _{m}v_{m}{\tilde {G}}\sum _{p}v_{p}+\cdots \right]\right\}\\&=v_{n}\left[1+{\tilde {G}}\sum _{m}T_{m}\right]\end{aligned}}$

更に、

$T_{n}=v_{n}+v_{n}{\tilde {G}}T_{n}+v_{n}{\tilde {G}}\sum _{m\neq n}T_{m}=t_{n}\left[1+{\tilde {G}}\sum _{m\neq n}T_{m}\right]$

である。ここで、

$(1-v_{n}{\tilde {G}})T_{n}=v_{n}+v_{n}{\tilde {G}}\sum _{m\neq n}T_{m},\quad t_{n}=v_{n}[1-v_{n}{\tilde {G}}]^{-1}$

よりt_nが出てくる。以上から総散乱行列Tは、t行列により次のように表される。

$T=\sum _{n}t_{n}+\sum _{n}t_{n}{\tilde {G}}\sum _{m\neq n}t_{m}+\sum _{n}t_{n}{\tilde {G}}\sum _{m\neq n}t_{m}{\tilde {G}}\sum _{p\neq m}t_{p}+\cdots$

形式解の提示

ここでポテンシャルが全て同じであると考える。そして総散乱行列Tを次のように分解する。

$T=\,\sum _{n,n'}T_{nn'}$

分解されたT_nn'は、

$T_{nn'}=t_{n}\delta _{nn'}+t_{n}G_{0}\sum _{m\neq n}T_{mn'}$

となる。G₀は自由電子のグリーン関数とする（${\tilde {G}}\to G_{0}$）。これにより、厳密な形式解を得ることができる。T_nn'は更に、

${\begin{aligned}T_{nn'}&=t_{n}\delta _{nn'}+t_{n}G_{0}\sum _{m\neq n}(t_{m}\delta _{mn'}+t_{m}G_{0}\sum _{p\neq m}T_{pn'})\\&=t_{n}\delta _{nn'}+t_{n}G_{0}t_{n'}+t_{n}G_{0}\sum _{m\neq n}t_{m}G_{0}t_{n'}+\cdots \end{aligned}}$

となる。T_nn'はサイトnから始まって、サイトn'で終わる全ての散乱過程を記述していることとなる。一方T_nは、

$T_{n}=\,\sum _{n'}T_{nn'}$

であり、これはサイトnは考慮されるが、終点としてのサイトn'を考えていない。そして、T_nn'の形式解は（但し、ここでr→kへのフーリエ変換及び、角運動量表示を導入している）、

$T_{nn'}^{LL'}(\kappa )=\tau _{n}^{l}(\kappa )\left[\delta _{nn'}^{LL'}+\sum _{n_{1},L_{1}}B_{nn_{1}}^{LL_{1}}(\kappa )\cdot T_{{n_{1}}n'}^{{L_{1}}L'}(\kappa )\right]$

$T_{nn'}(\mathbf {k} ,\mathbf {k'} )=(4\pi )^{2}\sum _{L,L'}Y_{L}(\mathbf {k} )T_{nn'}^{LL'}(k,k')Y_{L'}(\mathbf {k'} )$　：　角運動量表示

となる（形式解導出の詳細は省略）。$B_{nn_{1}}^{LL_{1}}$は構造定数と言われるもので、結晶格子の種類にのみ依存する定数である。$\kappa =k={\sqrt {E}}$であり。L,L',lなどは軌道角運動量に関しての指標である。τ_n(κ)はt行列t_nに相当する。ここで構造定数は具体的には、

${\begin{aligned}B_{nn_{1}}^{LL_{1}}(\kappa )&=-\left[4\pi i\kappa \sum _{L_{1}}i^{l-l'-l_{1}}C_{LL'L_{1}}Y_{L_{1}}(\mathbf {R} _{n}-\mathbf {R} _{n'})h_{l}^{+}(\kappa |\mathbf {R} _{n}-\mathbf {R} _{n'}|)\right](1-\delta _{nn'})\\C_{LL'L_{1}}&=\int Y_{L}(\mathbf {q} )Y_{L'}(\mathbf {q} )Y_{L_{1}}(\mathbf {q} )\,d\Omega _{q}\end{aligned}}$

となる。$$

 
   
     
       
         h
         
           l
         
         
           +
         
       
     
   
   {\displaystyle h_{l}^{+}}
 

は球ハンケル関数、Y_Lは球面調和関数である。尚、形式解は次のようにも表される。

$T_{nn'}^{LL'}(\kappa )=\{[\tau ^{-1}(\kappa )-B(\kappa )]^{-1}\}_{nn'}^{LL'}$

この形式解から、状態密度をD(E)の表式を得ることができる。この時、上式左辺を$T_{nn'}^{LL'}(\kappa )=T(\kappa )$と略して表示。

${\begin{aligned}D(E)-D_{0}(E)&={\frac {2}{N\pi }}\mathrm {Im\,Tr} {\frac {d}{dE}}\ln[T(\kappa )]\\&=-{\frac {2}{N\pi }}\mathrm {Im\,Tr} {\frac {d}{dE}}\ln[\tau ^{-1}-B(\kappa )]\\&=-{\frac {2}{N\pi }}\mathrm {Im\,Tr} \left[T(\kappa )\left({\frac {d\tau ^{-1}}{dE}}-{\frac {dB(\kappa )}{dE}}\right)\right]\\&=-{\frac {2}{N\pi }}\mathrm {Im} \sum _{n,L}\sum _{n_{1},L_{1}}T_{nn_{1}}^{LL_{1}}\left[\delta _{{n_{1}}n}^{{L_{1}}L}{\frac {d(\tau _{n}^{l}(\kappa ))^{-1}}{dE}}-{\frac {d}{dE}}B_{{n_{1}}n}^{{L_{1}}L}(\kappa )\right]\end{aligned}}$

ここで、係数2はスピンの縮重度、Nは全サイト数、Imは虚数部分、Trはトレース（跡）を取ることを意味する。D₀(E)は自由電子の状態密度。

D₀(E)の起源

グリーン関数から状態密度を求める式は（エネルギーは全てEとする）、

$D(E)=-{\frac {1}{\pi }}\mathrm {Im} \,G(E)=-{\frac {1}{\pi }}\mathrm {Im} \,\{{\tilde {G}}(E)+{\tilde {G}}(E)T(E){\tilde {G}}(E)\}$

であり（スピン縮重度などの係数は省略）、ここで${\tilde {G}}(E)\to G_{0}(E)$とすると、

${\begin{aligned}D(E)=-{\frac {1}{\pi }}\mathrm {Im} \,G(E)&=-{1 \over {\pi }}\mathrm {Im} \,\{G_{0}(E)+G_{0}(E)\,T(E)\,G_{0}(E)\}\\&=D_{0}(E)-{\frac {1}{\pi }}\mathrm {Im} \,G_{0}(E)\,T(E)\,G_{0}(E)\end{aligned}}$

となりD₀(E)を移項すると、D(E) - D₀(E)が出てくる。

ランダムな系の多重散乱

以上は、ポテンシャルを全て同一とみなしたが、最初の前提であるポテンシャルがランダムである場合、その扱いは難しくなる。ランダムさ（乱れ）には構造的な乱れ、配置の乱れなど多様な状況を考えることができるが、ここでは先にあるように原子の配置のみが乱れた系である置換型の不規則二元合金を考えるのが比較的扱いが楽である。このランダムな問題を解くものとして、平均化によってランダムさを一様なものとして扱うアプローチがある。これに関係する近似手法として単サイト近似、平均場近似（有効媒質近似）がある。多重散乱理論を出発点として、このようなランダムな系を扱うバンド計算手法として、ATAやCPAがある。ランダムでない通常の周期的な系を、多重散乱理論を利用して解くバンド計算手法にKKR法がある。

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Japanese Journal

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• 佐藤 亮一,白井 宏
• 電子情報通信学会技術研究報告 = IEICE technical report : 信学技報 119(272), 261-264, 2019-11-07
• NAID 40022094673

• 導体平板上の二つのクラックからの電磁波散乱に関する基礎研究 (電磁界理論研究会・電磁界理論一般)

• 佐藤 亮一,白井 宏
• 電気学会研究会資料. EMT = The papers of technical meeting on electromagnetic theory, IEE Japan 2019(103-152), 261-264, 2019-11-07
• NAID 40022089469

• 観測電磁界データから抽出した入射波を用いる逆散乱解析の検討

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• … <p>ほとんどの電磁波逆散乱解析では，入射電磁界を既知として散乱界データから対象散乱物体を推定している．しかし，1．対象物体とアンテナ，及び対象物体と不要散乱体との間に発生する多重散乱を考慮する必要がある，2．解析領域から対象物体を除去できないといった問題があり，正確な入射波情報を取得することはできない．そこで，我々は測定された全電磁界から入射波情報を抽出する数値解析法を提案 …
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関

多発性、複数、多発、マルチプル

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　　[★] 炭酸水素ナトリウム、ジアスターゼ、ゲンチアナ末