ボルツマン分布

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Boltzmann distribution

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Boltzmann分布

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出典(authority):フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』「2014/12/04 17:46:47」(JST)

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ボルツマン分布（ボルツマンぶんぷ 英語:Boltzmann distribution）は気体分子がとり得るエネルギー準位による分布の様子を表現した理論式である。気体分子の速度に関する分布関数であるマクスウェル=ボルツマン分布をより一般化したものに相当する。

量子論では粒子はフェルミ粒子とボーズ粒子とに大別でき、その１粒子状態の占有数の分布はそれぞれフェルミ分布、ボーズ分布と呼ばれる。ボルツマン分布は、この二種類の粒子の違いが現れないような条件におけるフェルミ分布とボーズ分布の近似形(古典近似)である。古典的粒子もボルツマン分布に従う。

核磁気共鳴および電子スピン共鳴などにおいても、磁場の中で分裂した2つの準位の占有率はボルツマン分布に従う。

概要

全体の分子数に対する、 のエネルギー準位にある分子数の比率 は以下のボルツマン分布の式で表される。ここで はボルツマン定数、 は絶対温度、 は のエネルギーの状態数である。

はある系のあらゆるエネルギー準位にあるすべての分子数の合計を表す。

は分配関数である。

また、量子化したエネルギー準位に対するボルツマン分布は、以下の式で表される。ここで はある分子のもつエネルギー と基底状態のエネルギー とのエネルギーの差である。

さらに のエネルギー準位と のエネルギー準位にある分子の比率は以下の式で表される。

ボルツマン分布は気体の温度が充分に高く、密度が充分に低く、かつ量子効果が無視されるような系において適用される。ボルツマン分布はしばしば の項で表現され、ここで は逆温度を表す記号である。 もしくは の項は、その状態の出現する確率を表すボルツマン因子である。

また を と置き逆温度で表せばボルツマン分布は以下の式で表される。

分子のエネルギーは単純に粒子の運動エネルギーで与えられる。

また重力が働く場合は位置エネルギーの項が加わる。

この場合の気体分子の垂直分布は以下の式で表される。

またエネルギー準位が から の間にある場合の の状態は以下のような式で近似される場合もある。ここで は状態密度である。このエネルギー分布は古典的な粒子が従うものである。

が大きな値を取るような場合、もしくは状態密度が小さい場合のように古典的粒子として扱うには限界が生じ、かつ粒子の波動関数が実質的に重複していない場合は、ボース=アインシュタイン分布およびフェルミ=ディラック分布の両方がボルツマン分布になる。

参考文献

外部リンク

• 抗体科学研究所
• Derivation of the distribution for microstates of a system

関連項目

• カノニカル分布
• 最大エントロピー原理

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• レプリカ解析を用いたシャープ比の典型値評価 (情報論的学習理論と機械学習)

• 新里 隆
• 電子情報通信学会技術研究報告 = IEICE technical report : 信学技報 113(286), 91-98, 2013-11-12
• NAID 40019910225

• ボルツマン分布の特性に基づくシステム局所化と均一化の調和を実現する自律分散的秩序形成技術(分散技術)

• 作元 雄輔,会田 雅樹,下西 英之
• 電子情報通信学会技術研究報告. IN, 情報ネットワーク 112(464), 143-148, 2013-02-28
• … 目標をうまくバランスさせる仕組みについては検討されてない.本稿では,トレードオフの関係にある制御目標をバランスさせる汎用的な仕組みを構築するためにシステム局所化と均一化の例を取り上げ,ボルツマン分布の特性に基づくシステム局所化と均一化のバランスを実現する自律分散的秩序形成技術を提案する.さらに,仮想計算機配置問題を扱った実験を通じて,提案技術の有効性を確認するとともに,ネットワーク …
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• B308 統計力学の正しい認識に基づく気象学への応用(その1) : 竜巻強度分布はマクスウェルボルツマン分布よりもグランドカノニカル分布が近い(降水システムII,一般口頭発表)

• 西垣 語人
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• NAID 110009568817

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